Giáo án Dạy thêm môn Toán Lớp 7 - Buổi 8: Các phương pháp giải toán chia hết - Năm học 2010-2011

Ngày soạn : 10/02/2011
Ngày dạy : 15/02/2011
đại số : 
các phương pháp giải toán chia hết
A/ Mục đích yêu cầu :
	+ Học sinh nắm được các phương pháp giải toán chia hết 
	+ Vận dụng được các phương pháp linh hoạt trong việc giải bài tập 
B/ Nội dung
 I /Kiến thức cơ bản cần nắm
I) Phương pháp 1: Chứng minh A(n) p ta xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho p
Ví dụ : Chứng minh A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4) 5
Khi chia n cho 5 ta có các số dư là 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 
Nếu r = 0 ị A 5
Nếu r = 1 ị n = 5k + 1 ị n2 =25k2+ 10k + 1 ị n2 + 4 5
Nếu r = 2 ị n = 5k + 2 ị n2 = 25k2 + 20k + 4 ị n2 + 1 5
Nếu r = 3 ị n = 5k + 3 ị n2 = 25k2 + 30k + 9 ị n2 + 1 5
Nếu r = 4 ị n = 5k + 4 ị n2 = 25k2 + 40k + 16 ị n2 + 4 5
A(n) là tích của 3 số , trong mọi trường hợp đều có thừa số chia hết cho 5 ị A(n) 5
II) Phương pháp 2: Để chứng minh A(n) m ta phân tích m = p.q ( p, q là các số nguyên tố cùng nhau ) ; chứng minh A(n) p và A(n) q
Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau thì phân tích A(n) ra thừa số 
 A(n) = B(n).C(n) và chứng minh A(n) p và C(n) q ị B(n) .C(n) p.q
Ví dụ : Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
 Gọi hai số chẵn đó là 2k và 2k + 2
 Tích của chúng là 2k.(2k+2) = 4k2 + 4k = 4k(k + 1)
 Ta thấy 4 4 ; k(k+1) 2 (tích hai số tự nhiên liên tiếp )
 Vậy A(k) = 4k(k+1) 4 . 2 ị A(k) 8
III) Phương pháp 3: Chứng minh A(n) m ị Tách A(n) thành tổng nhiều số hạng và chứng minh mỗi số hạng đều chia hết cho m
Ví dụ 1: Tìm n ẻ N sao cho n + 2 7 - n
Nếu A B thì A ± kB B n + 2 7 - n Û n + 2 + 7 - n 7 - n
áp dụng vào bài tập trên Û 9 7 - n hay n - 7 là Ư(9)
 7 - n Ê 7
 Vậy 7 - n = {1 ; 3} 
 Vậy n = 6 ; 4
Ví dụ 2: Tìm x ; y ; z để 579xyz 5; 7 ; 9
 Vì 5 ; 7 ; 9 là các số nguyên tố sánh đôi nên 579xyz 5 ; 7 ; 9 khi
 579xyz 5 . 7 . 9 tức là 579xyz 315 
 579xyz = 579 000 + xyz = 1838 . 315 + 30 + xyz 
 579xyz 315 Û xyz + 30 315 vì 30 Ê xyz Ê 999
 ị xyz + 30 = 315 ; 630 ; 945 ị xyz = 315 - 30 = 285
 xyz = 630 - 30 = 600
 xyz = 945 - 30 = 915 
 IVPhương pháp 4 :So sánhsố dư ( đồng dư)
 Nếu a : m dư r1
 b : m dư r2 thì a º b ( m) 
 a º b (mod m) Û a - b m 
Ví dụ 1 : Một số tự nhiên a chia cho b được thương là 18 và dư 24 . Nếu số bị chia và số chia giảm đi 6 lần thì thương và số dư như thế nào ?
 Gọi số phải tìm là a , ta có :
 a = 18b + 24 (b>24) 
Theo định nghĩa phép chia khi số chia và a : 6 = ( 18b + 24 ) : 6
số bị chia giảm đi 6 lần ta có gì ? = ( b: 6) . 18 + (24 : 6) (b > 4)
Có nhận xét gì về thương và số dư ? Vậy thương không đổi , số dư giảm 6 lần 
Ví dụ 2 : Tìm các số tự nhiên trong khoảng từ 10 000 đến 15 000 khi chia cho 393 và 655 đều dư 210
 Gọi số phải tìm là x . theo bài ra ta có :
 x = 393 q1 + 210 (1)
 x = 655 q2 + 210 (2)
Từ (1) và (2) ị số nào chia hết cho 10 000 < x < 15 000 (3)
393 và 655 ? ị x - 210 393 và 655
Tìm BCNN (393;655) BCNN ( 393 ; 655 ) = 1965 
 x - 210 = 1965k ( k = 1 ; 2; 3.....) 
 x = 1965k + 210 
 Từ (3) ị 10 000 < 1965k + 210 < 15 000
 ị 9790 < 1965 k < 14790 
 ị 5 Ê k < 8
 ị k = 5 ; 6 ; 7
Với k = 5 ị x = 1965 . 5 + 210 = 10 035
Với k = 6 ị x = 1965 . 6 + 210 = 12 000
Với k = 7 ị x = 1965 . 7 + 210 = 13 695
vậy các số cần tìm là 11 035 ; 12 000 ; 13 695
V / Một số bài tập vận dụng 
Bài 1 : 
Một số chia cho 4 dư 3 , chia cho 9 thì dư 5. hỏi số đó chia cho 36 thì dư bao nhiêu ?
Gọi số cần tìm là a thì a có dạng như thế nào ?
 Vì a chia 4 dư 3 nên a = 4q1 + 3
 Vì a chia 9 dư 5 nên a = 9q2 + 5
Cần thêm vào a bao nhiêu để a chia hết ị a + 13 4 và a + 13 9
 Mà (4 ; 9 ) = 1 ị a + 13 36
 ị a +13 = 36 k \ k ẻ N*
 ị a = 36k - 13 
 = 36(k - 1) + 36 - 13 = 36t + 23
ị a chia 36 dư 23
Bài 2 : Cho P = ( a + 5 ) ( a + 8 ) 
 Q = ab ( a + b )\ a ; b ẻ N*
 Chứng minh rằng P; Q luôn là số chẵn
Có nhận xét gì về a + 5 và a + 8 ? a + 5 và a + 8 khác tính chẵn lẽ
 P chẵn hay lẽ ? ị trong hai số a + 5 và a + 8 có một 
 Vì sao ? số chẵn và một số lẽ ị P chẵn 
Nhận xét Q Nếu a hoặc b chẵn ị ab chẵn ị Q chẵn
 Nếu a lẽ , b lẽ ị a + b chẵn ị Q chẵn 
 ị P ; Q luôn là số chẵn 
 II/ Bài tập về nhà
1/ Cho A = ( 4n + 6n + 8n + 10n) - ( 3n + 5n +7n +9n)
 B = 1995n + 1996n + 1997 n ( n ẻ N )
 tìm số dư khi chia A và B cho 2 
2/ cho tổng S = a + a2 + a3 +......... + an ( n ẻ N )
Với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 ( a ạ - 1)