Giáo án môn Đại số lớp 7 - Các phép tính trên tập hợp số hữu tỉ

	C¸c phÐp tÝnh trªn tËp hîp sè h÷u tØ.
(Bài 1 – 4)
I. Những kiến thức cần nhớ
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng với a, b Z; b 0.
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Các phép toán trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
Nếu 
Thì ; 
b) Nhân, chia số hữu tỉ:
* Nếu 
* Nếu 
Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu 
Chú ý: 
+) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép cộng và phép nhân trong Z
+) Với x Q thì 
Bổ sung:
* Với m > 0 thì
II. Bài tập
Bài 1. Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí
a) 
b) 
Bµi 2 TÝnh:
 	 	 A = 26 : + : 
Bài 3. Tìm x, biết:
a) ; b) 
Bài 4. T×m x, biÕt: a.	b.
Bµi 5: T×m x, biÕt: a.	b. 
 c.	d.
Bµi 6 TÝnh: 	 E = 
Bài tập 
1. thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) b) c) d) 
e) f ) g) h) 
 i) k) m) n) 
o) p) q) r) 
s) t) u) 
v) x) 
2. thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) b) c) d) 
 e) f) g) h) 
 i) k) m) n) 
 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) b) c) d) e) f) g) h) i) 
k) m) n) o) p) q) 
4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: ( tÝnh nhanh nÕu cã thÓ )
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) h) 
i) k) 
m) n) 	 p) q) 	 u) 	v) 
5.Thùc hiÖn phÐp tÝnh
a) b) 
c) d) 
e) f) g) 
6*. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
7. T×m x biÕt :
a) b) c) 
d) e) f) 
g) 
8. t×m x biÕt :
9.t×m x biÕt :
e. 	 g. 
10. t×m x biÕt :
11.t×m x biÕt :
e. 	 g. 
12.t×m sè nguyªn x biÕt :
13. t×m x biÕt :
g. h. i. k. 
14. T×m x biÕt :
C¸c bµi to¸n t×m x ë líp 7
A.Lý thuyÕt:
D¹ng 1: A(x) = m (m Î Q) hoÆc A(x) = B(x)
C¸ch gi¶i:
Quy t¾c : Muèn t×m x d¹ng: A(x) = B(x)
-Ta thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ë tõng vÕ (nÕu cã).
-ChuyÓn c¸c sè h¹ng chøa x sang mét vÕ,c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x( sè h¹ng ®· biÕt ) chuyÓn sang vÕ ng­îc l¹i.
-TiÕp tôc thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh ë tõng vÕ (nÕu cã).§­a ®¼ng thøc cuèi cïng vÒ mét trong c¸c d¹ng sau:
x cã mét gi¸ trÞ kiÓu: ax = b ( a≠ 0)Þ x= 
x kh«ng cã gi¸ trÞ nµo kiÓu: ax = b ( a = 0)
x cã v« sè gi¸ trÞ kiÓu: ax = b ( a = 0, b = 0)
 Sau ®©y lµ c¸c vÝ dô minh ho¹:
D¹ng 2: |A(x)| = B ; ( B ≥ 0) 
C¸ch gi¶i:
C«ng thøc gi¶i nh­ sau:
 |A(x)| = B ; ( B ≥ 0) Þ 
D¹ng 3 :|A(x)| = B(x) 
C¸ch gi¶i:
C«ng thøc gi¶i nh­ sau:
|A(x)| = B(x) ; (B(x) ³ 0) Þ 
 |A(x)| = B(x) ; (B(x) <0) Þ x kh«ng cã gi¸ trÞ nµo. 
D¹ng 4: + |B(x)| =0
C¸ch gi¶i:
C«ng thøc gi¶i nh­ sau:
 + |B(x)| =0 Þ 
D¹ng5: |A(x)| = |B(x)| 
C¸ch gi¶i:
 |A(x)| = |B(x)| Þ 
D¹ng 6: |A(x)| ± |B(x)| =± c (c ³ 0 ; cÎ Q) 
C¸ch gi¶i:
 Ta t×m x biÕt: A(x) = 0 (1) gi¶i (1) t×m ®­îc x1 = m .
 Vµ t×m x biÕt: B(x) = 0 (2) gi¶i (2) t×m ®­îc x2= n.
 Råi chia kho¶ng ®Ó ph¸ dÊu GTT§ ( dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi) 
 TH1 : NÕu m > n Þ x1 > x2 ; ta cã c¸c kho¶ng sau ®­îc xÐt theo thø tù tr­íc sau: x< x2 ; x2£ x < x1 ; x1£ x .
+ Víi x< x2 ta lÊy 1 gi¸ trÞ x = t (tÎ kho¶ng x< x2;t nguyªn còng ®­îc) thay 
vµo tõng biÓu thøc d­íi dÊu GTT§ xem biÓu thøc ®ã d­¬ng hay ©m ®Ó lµm 
c¨n cø khö d©ó GTT§ ®Ó gi¶i tiÕp. 
+Víi:x2£ x < x1 hoÆc x1£ x ta còng lµm nh­ trªn. 
 TH2 : NÕu m < n Þ x1 < x2 ; ta cã c¸c kho¶ng sau ®­îc xÐt theo thø tù tr­íc sau: x< x1 ; x1£ x < x2 ; x2£ x .
+ Víi x< x1 ta lÊy 1 gi¸ trÞ x = t (tÎ kho¶ng x< x1;t nguyªn còng ®­îc) thay 
vµo tõng biÓu thøc d­íi dÊu GTT§ xem biÓu thøc ®ã d­¬ng hay ©m ®Ó lµm 
c¨n cø khö d©ó GTT§ ®Ó gi¶i tiÕp. 
+Víi:x1£ x < x2 hoÆc x2£ x ta còng lµm nh­ trªn 
Chó ý:
NÕu TH1 x¶y ra th× kh«ng xÐt TH2 vµ ng­îc l¹i ;v× kh«ng thÓ cïng mét lóc x¶y ra 2 TH
Sau khi t×m ®­îc gi¸ trÞ x trong mçi kho¶ng cÇn ®èi chiÕu víi kho¶ng ®ang xÐt xem x cã thuéc kho¶ng ®ã kh«ng nÕu x kh«ng thuéc th× gi¸ trÞ x ®ã bÞ lo¹i.
NÕu cã 3;4;5 BiÓu thøccã dÊu GTT§ chøa x th× cÇn s¾p xÕp c¸c x1;x2;x3;x4;x5 Theo thø tù råi chia kho¶ng nh­ trªn ®Ó xÐt vµ gi¶i.Sè kho¶ng b»ng sè biÓu thøc cã dÊu GTT§+1
 D¹ng 7:(biÓu thøc t×m x cã sè mò) D¹ng n = m hoÆc A(x) = mn 
B. Bµi tËp: 
Bµi 1: T×m x biÕt
 a) x+ = ; 3 - x = ; b) x- = ; c) -x- = - ; d) -x = 
Bµi 2 (biÓu thøc t×m x cã sè mò) 
T×m x biÕt
 a) 3 = ; b) 2 = ; c) x+2 = x+6 vµ xÎZ
C¸c bµi to¸n t×m x ®Æc biÖt ë líp 7: 
Bµi 3
 a) + + = víi xÏ 
 b) + + - = víi xÏ 
c) T×m x biÕt : 
Bµi tËp vÒ "gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét sè h÷u tû"
Bµi 1:
T×m x biÕt : =2 ; b) =2 
 a) ; b) ;c) ;d) 2- ;e) ;f) 
 a) = ; b) =- ; c) -1 + =- ; 
 d) ( x-1)( x + ) =0 ; e) 4- 
Bµi 2: T×m x,y,z Q biÕt : a);
b) 
 c) ; d) 
 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
 a) ; b) ;c) ; M=5 -1; 
C= 2 ; E = 2+ 2 d) ; 
e) D = + ; B = + ; g) C= x2+ -5
 h) A =3,7 + ; i) B = -14,2 ; k) C = + +17,5
 n) M = + ; p) 
Bµi 4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc sau:
 a) ; b) ; c) - ; d) D = - 
 e) P = 4- - ; f) G = 5,5 - ; g) E = - - 14,2 
 g) A = 5- 3 2 ; B = ;
 Bµi 5: Khi nµo ta cã: 
 Bµi 6: 
a)Chøng minh r»ng:nÕu b lµ sè d­¬ng vµ a lµ sè ®èi cña b th×: a+b= + 
 b) Chøng minh r»ng :" x,y Î Q 
 ³ - 
 £ + 
 ³ - 
 Bµi 7: TÝnh gi¸ trÞ biÓun thøc: 
Bµi 8:T×m x,y biÕt: 
Bµi 9: T×m c¸c sè h÷u tû x biÕt :
 a) >7 ; b) -10 
Bµi 10: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc :A = x2 - 2x cã gi¸ trÞ ©m .
µi 11: T×m c¸c gi¸ trÞ cña x sao cho;
 a)2x+3>5 ; b) -3x +1 7 ; e) <5 ;
g) 2 
Bµi 12: Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× :
a) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× : x>3x ; b) (x+1)(x-3) 0 ; d) 
b)Cã bao nhiªu sè n Î Z sao cho (n2-2)(20-n2) > 0
Bµi 13: 
TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = 2x +2xy - y víi =2,5 y= - 
 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: A = 3a-3ab -b ; B = - 
 Bµi 14: T×m x,y biÕt :a)2 = ;b) 7,5- 3 =- 4,5 
c) + = 0 
 Bµi 15: PhÇn nguyªn cña sè h÷u tû x , ký hiÖu lµ lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v­ît qu¸ x nghÜa lµ: £ x< +1.
 T×m : ; ; ; 
 Bµi 15: T×m phÇn nguyªn cña x ( ) biÕt 
a) x-1 < 5 < x 
b)x< 17< x+1
c) x<-10 < x+0,2
 Bµi 15: PhÇn lÎ cña sè h÷u tû x ký hiÖu lµ , lµ hiÖu x- nghÜa lµ : 
 = x - . 
 T×m biÕt x= ; x= -3,75 ; x = 0, 45
Luü THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
I. Tóm tắt lý thuyết:	
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu xn, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1): xn = ( x Î Q, n Î N, n > 1)
	Quy ước: x1 = x; 	x0 = 1;	(x ¹ 0)
	Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng , ta có: 
2.Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số:
	 	(x ¹ 0, )
Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.
Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.
3. Luỹ thừa của luỹ thừa. 
Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.
4. Luỹ thừa của môt tích - luỹ thừa của một thương.
 	 (y ¹ 0)
Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa.
Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.
Toùm taét caùc coâng thöùc veà luyõ thöøa
x , y Î Q; x = y = 
1. Nhân hai lũy thừa cùng cơ số 
	xm . xn = ()m .( )n =( )m+n 
2. Chia hai lũy thừa cùng cơ số
	xm : xn = ()m : ( )n =( )m-n (m≥n)
3. Lũy thừa của một tích 
	(x . y)m = xm . ym 
4. Lũy thừa của một thương 
	(x : y)m = xm : ym 
5. Lũy thừa của một lũy thừa 
	(xm)n = xm.n 
6. Lũy thừa với số mũ âm.
	xn = 
* Quy ước: a1 = a; a0 = 1.
II. Luyện tập:
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên
Phương pháp: 
Cần nắm vững định nghĩa: xn = x.x.x.  .x ; n thừa số 
(xÎQ, nÎN, n > 1)
Quy ước: x1 = x; 	x0 = 1;	(x ¹ 0) 
Bài 1: Tính 
a)	b) 	c) 	d) 
Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông
a) 	b) 	c) 	
Bài 3: Điền số thích hợp vào ô vuông:
a) 	b) 	c) 
Bài 4: Viết số hữu tỉ dưới dạng một luỹ thừa. Nêu tất cả các cách viết.
Dạng 2: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số.
Phương pháp: 
Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số.
 	(x ¹ 0, )
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa
Sử dụng tính chất: Với a ¹ 0, a , nếu am = an thì m = n 
Bài 1: Tính
a) 	b) 	c) a5.a7
Bài 2: Tính 	a) 	b) 	c) 
Bài 3: Tìm x, biết:	a) 	b) 	
Dạng 3: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng số mũ.
Phương pháp: 
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một thương:
 	 (y ¹ 0)
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa
Bài 1: Tính
a) 	b) (0,125)3.512	c) 	d) 
Bài 2: So sánh	224 và 316
Bài 3: Tính giá trị biểu thức
	a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 4 Tính .
1/ 	2/ 	3/ 	4/ 253 : 52	5/ 22.43 	6/ 	7/ 
8/ 	9/ 	10/ 	11/ 	12/ 13/ 273:93 
14/ 1253:93 ;	15/ 324 : 43 ;16/ (0,125)3 . 512 ;17/(0,25)4 . 1024
Bài 5:Thực hiện tính:
Baøi taäp naâng cao veà luyõ thöøa
Bµi 1: Dïng 10 ch÷ sè kh¸c nhau ®Ó biÓu diÔn sè 1 mµ kh«ng dïng c¸c phÐp tÝnh céng, trõ, nh©n, chia.
Bµi 2: TÝnh:
	a) (0,25)3.32;	b) (-0,125)3.804;	c) ;	d) .
Bµi 3: Cho x Î Q vµ x # 0. H·y viÕt x12 d­íi d¹ng:
TÝch cña hai luü thõa trong ®ã cã mét luü thõa lµ x9 ?
Luü thõa cña x4 ?
Th­¬ng cña hai luü thõa trong ®ã sè bÞ chia lµ x15 ?
Bµi 4: TÝnh nhanh:
	a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)(1.9.9.9);	
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )(1000 – 503).
Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cña:
M = 1002 – 992 + 982 – 972 +  + 22 – 12;
N = (202 + 182 + 162 +  + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 +  + 32 + 12);
P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1.
Bµi 6: T×m x biÕt r»ng: a) (x – 1)3 = 27;	b) x2 + x = 0;c) (2x + 1)2 = 25;
	d) (2x – 3)2 = 36; 	e) 5x + 2 = 625;	f) (x – 1)x + 2 = (x – 1)x + 4;	g) (2x – 1)3 = -8. 	h) = 2x;
Bµi 7: T×m sè nguyªn d­¬ng n biÕt r»ng:
	a) 32 4;	c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243.
Bµi 8: Cho biÓu thøc P = . H·y tÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 7 ?
Bµi 9: So s¸nh: a) 9920 vµ 999910; b) 321 vµ 231;	c) 230 + 330 + 430 vµ 3.2410.
Bµi 10: Chøng minh r»ng nÕu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 th× víi bÊt k× sè h÷u tØ x vµ y nµo ta còng cã: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bµi 11: Chøng minh ®¼ng thøc: 1 + 2 + 22 + 23 +  + 299 + 2100 = 2101 – 1.
Bµi 12: T×m mét sè cã 5 ch÷ sè, lµ b×nh ph­¬ng cña mét sè tù nhiªn vµ ®­îc viÕt b»ng c¸c ch÷ sè 0; 1; 2; 2; 2.
tØ lÖ thøc vµ d·y tØ sè b»ng nhau
 + Tæ leä thöùc laø moät ñaúng thöùc giöõa hai tæ soá: hoaëc a:b = c:d.
	- a, d goïi laø Ngoaïi tæ. b, c goïi laø trung tæ.
+ Neáu coù ñaúng thöùc ad = bc thì ta coù theå laäp ñöôïc 4 tæ leä thöùc :
+ Tính chaát: =
+ Neáu coù thì ta noùi a, b, c tæ leä vôùi ba soá 3; 4; 5.
+ Muoán tìm moät thaønh phaàn chöa bieát cuûa tæ leä thöùc, ta laäp tích theo ñöôøng cheùo roài chia cho thaønh phaàn coøn laïi:
	Töø tæ leä thöùc 
	1/ Toùm taét lyù thuyeát:
	2/ Baøi taäp:
Baøi 1:Thay tæ soá caùc soá baèng tæ soá cuûa caùc soá nguyeân:
 ; 2,1:5,3 ; ; 0,23: 1,2
Baøi 2: Caùc tæ soá sau ñaây coù laäp thaønh tæ leä thöùc khoâng?
	a) vaø ;	b) 0,25:1,75 vaø ;	c) 0,4: vaø .
Baøi 3: Coù theå laäp ñöôïc tæ leä thöùc töø caùc soá sau ñaây khoâng? Neáu coù haõy vieát caùc tæ leä thöùc ñoù: 3; 9; 27; 81; 243.
Baøi 4: Tìm x trong caùc tæ leä thöùc sau:
a) ; b) ; c) ; 
d) ; e) 2,5:x = 4,7:12,1
Baøi 5: Tìm x trong tæ leä thöùc:
	a) ;	b ... gãc b»ng nhau.
2. Bµi tËp về hai đường thẳng vuông góc .
1/ VÏ gãc xOy cã sè ®o b»ng 450. LÊy ®iÓm A bÊt k× trªn Ox, vÏ qua A ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ®­êng tia Ox vµ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia Oy.
2/ VÏ gãc xOy cã sè ®o b»ng 600. VÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi ®­êng tia Ox t¹i A. Trªn lÊy B sao cho B n»m ngoµi gãc xOy. Qua B vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia Oy t¹i C. H·y ®o gãc ABC b»ng bao nhiªu ®é.
3/ VÏ gãc ABC cã sè ®o b»ng 1200 , AB = 2cm, AC = 3cm. VÏ ®­êng trung trùc cña ®o¹n AB. VÏ ®­êng trung trùc cña ®o¹n th¼ng AC. Hai ®­êng th¼ng vµ c¾t nhau t¹i O.
4/ Cho gãc xOy= 1200, ë phÝa ngoµi cña gãc vÏ hai tia Oc vµ Od sao cho Od vu«ng gãc víi Ox, Oc vu«ng gãc víi Oy. Gäi Om lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xOy, On lµ tia ph©n gi¸c cña gãc dOc. Gäi Oy’ lµ tia ®èi cña tia Oy. Chøng minh:
 a/ Ox lµ tia ph©n gi¸c cña gãc y’Om.
 b/ Tia Oy’ n»m gi÷a 2 tia Ox vµ Od.
 c/ TÝnh gãc mOc.
 d/ Gãc mOn = 1800.
5/ Cho gãc nhän xOy, trªn tia Ox lÊy ®iÓm A. KÎ ®­êng th¼ng ®i qua A vu«ng gãc víiOx, ®­êng th¼ng nµy c¾t Oy t¹i B. KÎ ®­êng vu«ng gãc AH víi c¹nh OB. 
 a/ Nªu tªn c¸c gãc vu«ng.
 b/ Nªu tªn c¸c cÆp gãc cã c¹nh t­¬ng øng vu«ng gãc.
6/ Cho gãc bÑt AOB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB ta vÏ hai tia OC vµ OD sao cho . Gäi tia OE lµ tia ®èi cña tia OD. Chøng minh r»ng:
 a/ .
 b/ Tia OB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc COE.
. 
3. Bµi tËp về hai đường thẳng song song
1/ Cho hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. H·y vÏ mét ®­êng th¼ng a ®i qua A vµ mét ®­êng th¼ng b ®i qua B sao cho b // a.
2/ Cho hai ®­êng th¼ng a vµ b. §­êng th¼ng AB c¾t hai ®­êng th¼ng trªn t¹i hai ®iÓm A vµ B.
 a/ H·y nªu tªn nh÷ng cÆp gãc so le trong, nh÷ng cÆp gãc ®èi ®Ønh, nh÷ng cÆp gãc kÒ bï.
 b/ BiÕt . TÝnh nh÷ng gãc cßn l¹i.
3/ Cho tam gi¸c ABC, . Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy ®iÓm O. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa ®iÓm C bê lµ ®­êng th¼ng AB ta vÏ tia Ox sao cho . Gäi Ay lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CAO. 
 Chøng minh: Ox // BC; Ay // BC.
4/ Cho hai ®­êng th¼ng a vµ b. §­êng th¼ng AB c¾t hai ®­êng th¼ng trªn t¹i hai ®iÓm A vµ B.
 a/ NÕu biÕt th× hai ®­êng th¼ng a vµ b cã song song víi nhau hay kh«ng? Muèn a // b th× ph¶i thay ®æi nh­ thÕ nµo?
 b/ BiÕt th× a vµ b cã song song kh«ng? Muèn a // b
 th× ph¶i thay ®æi nh­ thÕ nµo?
5 Mét ®­êng th¼ng c¾t hai ®­êng th¼ng xx’, yy’ t¹i hai ®iÓm A, B sao cho hai gãc so le trong . Gäi At lµ tia ph©n gi¸c cña gãc xAB, Bt’ lµ tia ph©n gi¸c cña gãc Aby. Chøng minh r»ng:
 a/ xx’ // yy’
 b/ At // Bt’.
6/ VÏ hai ®­êng th¼ng a vµ b sao cho a // b. LÊy ®iÓm M n»m ngoµi hai ®­êng th¼ng a vµ b. VÏ ®­êng th¼ng c ®i qua M vµ vu«ng gãc víi a, víi b.
7/ Cho gãc xOy vµ ®iÓm M trong gãc ®ã. Qua M kÎ MA vu«ng gãc víi Ox c¾t Oy t¹i C, kÎ MB vu«ng gãc víi Oy c¾t Ox t¹i D. ú­ D vµ C kÎ c¸c tia vu«ng gãc víi Ox, Oy c¸c tia nµy c¾t Oy vµ Ox lÇn l­ît t¹i E vµ F vµ c¾t nhau t¹i N. T×m c¸c cÆp gãc cã c¹nh t­¬ng øng song song.
* Tiªn ®Ò ¥clÝt.
 - Më réng: Ph­¬ng ph¸p chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p ph¶n chøng.
Bµi tËp.
1/ Cho tam gi¸c ABC, qua A vÏ ®­êng th¼ng a // BC, qua B vÏ b // AC.
a/ VÏ ®­îc mÊy ®­êng th¼ng a, mÊy ®­êng th¼ng b, v× sao?
b/ a vµ b c¾t nhau t¹i O. 
H·y x¸c ®Þnh mét gãc ®Ønh O sao cho cã sè ®o b»ng gãc C cña tam gi¸c ABC.
2/ Trong hai ®­êng th¼ng a vµ b song song víi nhau. §­êng th¼ng c c¾t a vµ b t¹i A vµ B. Mét gãc ®Ønh A b»ng n0. TÝnh sè ®o c¸c gãc ®Ønh B.
3/ Cho tam gi¸c ABC, qua A vÏ ®­êng th¼ng a // BC, qua B vÏ b // AC, qua C vÏ c // AB.a, b, c lÇn l­ît c¾t nhau t¹i P, Q, R.
 H·y so s¸nh c¸c gãc cña tam gi¸c PQR vµ c¸c gãc cña tam gi¸c ABC.
4/ Cho tam gi¸c ABC, trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm M. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C vµ tia Mx sao cho .
a/ Chøng minh r»ng: Mx // BC, Mx c¾t AC.
b/ GoÞ D lµ giao ®iÓm cña Mx vµ AC. LÊy N n»m gi÷a C vµ D. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa B vÏ tia Ny sao cho .
 Chøng minh r»ng: Mx // Ny.
5/ Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:
a/ NÕu ®­êng th¼ng m song song víi c¹nh BC th× m sÏ c¾t c¸c ®­êng th¼ng AB, AC.
b/ NÕu ®­êng th¼ng m song song víi c¹nh BC vµ c¾t c¹nh AB th× m sÏ c¾t c¹nh AC.
6/ Cho tam gi¸c ABC. Trªn nöa mÆt ph¼ng AC kh«ng chøa ®iÓm B, vÏ tia Ax sao cho . Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB kh«ng chøa ®iÓm C, vÏ tia Ay sao cho . Chøng minh: Ax vµ Ay lµ hai tia ®èi nhau.
tæng ba gãc trong mét tam gi¸c
I. Lý thuyÕt
1. DABC coù 
2. DABC, A = 900 cã: 
3. A 
 B C x 
 =; > AÂ; > 
II/ Bài tập:
1/ T×m gi¸ trÞ x ë h×nh vÏ
 A
 300 1100
B C
 D
 400
 x x
 E F
2/ Cho tam gi¸c ABC cã ¢ = 600, . Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. TÝnh 
 3/ Cho DABC, ®iÓm M n»m trong tam gi¸c ®ã. Tia BM c¾t AC ë K.
a) So s¸nh vµ 
b) So s¸nh vµ 
4/ Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ BH vu«ng gãc víi AC (HÎAC), kÎ CK vu«ng gãc víi AB (KÎAB). H·y so s¸nh vµ 
5/ Cho tam gi¸c ABC cã . Gäi Am lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ngoµi ë ®Ønh A. H·y chøng tá r»ng Am//BC.
Các tr­êng hîp b»ng nhau cña tam gi¸c
I.C¸c kiÕn thøc cÇn nhí
* NÕu ba c¹nh cña tam gi¸c nµy b»ng ba c¹nh cña tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau (trường hợp1)
DABC = DA’B’C’
 * NÕu hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña hai tam gi¸c nµy b»ng hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a cña tam gÝac kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau.
DABC = DA’B’C’
 HÖ qu¶: NÕu hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng hai c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau
DABC = DA’B’C’
 * NÕu mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cña tam gi¸c nµy b»ng mét c¹nh vµ hai gãc kÒ cu¶ tam gi¸c kia th× hai tam gi¸c ®ã b¨ng nhau.
 HÖ qu¶:
- NÕu mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng mét c¹nh gãc vu«ng vµ mét gãc nhän kÒ c¹nh Êy cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c ®ã b»ng nhau
- NÕu c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng nµy b»ng c¹nh huyÒn vµ mét gãc nhän cña tam gi¸c vu«ng kia th× hai tam gi¸c vu«ng ®ã b»ng nhau.
II/ Bài tập: 
1/ Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. Gäi D lµ trung ®iÓm cu¶ BC. 
Chøng minh r»ng:
DADB = DADC;
AD lµ tia ph©n gÝc cña gãc BAC;
AD vu«ng gãc víi BC.
 2/ Cho ®o¹n th¼ng AB = 6cm. Trªn mét nöa mÆt ph¼ng bê AB vÏ tam gi¸c ADB sao cho AD = 4cm, BD = 5cm, trªn nöa mÆt ph¼ng cßn l¹i vÏ tam gi¸c ABE sao cho BE = 4cm, AE = 5cm. Chøng minh:
DBD = DBAE;
DADE = DBED
3/ Cho gãc nhän xOy . vÏ cung trßn t©m O b¸n k×nh 2cm, cung trßn nµy c¾t Ox, Oy lÇn l­ît t¹Þ ë A vµ B. VÏ cung trßn t©m A vµ B cã b¸n kÝnh b»ng 3cm, chóng c¾t nhau t¹i ®iÓm C n»m trong gãc xOy. Chøng minh OC lµ tia ph©n cña gãc xO y
4/ Cho tam gi¸c ABC cã , vÏ cung trßn t©m B b¸n kÝnh b»ng AC, vÏ cung trßn t©m C b¸n kÝnh b»ng BA, hai cung trßn nµy c¾t nhau t¹i D n»mm kh¸c phÝa cña A ®èi víi BC.
TÝnh gãc BDC;
Chøng minh CD // AB.
5/ Cho tam gi¸c ABC cã AC > AB. Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho CE = AB. Gäi O lµ mét ®iÓm sao cho OA = OC, OB = OE .
Chøng minh:
DAOB = DCOE;
So s¸nh gãc OAB vµ gãc OCA
6/ Cho tam gi¸c ABC cã AB = AC. VÏ tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t BC ë D. Gäi M lµ trung ®iÓm n¨m gi÷a A vµ D. Chøng minh:
DAMB = DAMC
DMBD = DMCD
7/ Cho gãc nhän xOy. Trªn tia Ox lÊy hai ®iÓm A, C, trªn tia Oy lÊy hai ®iÓm B, D sao cho OA = OB, OC = OD (A n¨m gi÷a O vµ C, Bn¨m gi÷a O vµ D).
a) Chøng minh DOAD = DOBC;
b) So s¸nh hai gãc vµ 
8/ Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A. Trªn tia ®èi cña tia AC lÊy ®iÓm D sao cho AD = AC.
a) Chøng minh DABC = DABD;
b) Trªn tia ®èi cña tia AB lÊy diÓm M. Chøng minh DMBD = DMBC.
Gi¶i
9/ Cho gãc nhän xOy vµ tia ph©n gi¸c Oz cña gãc ®ã. Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A, trªn tia Oy lÊy ®iÓm B sao cho OA = OB. Trªn OZ lÊy ®iÓm I.
10/ Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn tia ®èi cña tia MA lÊy ®iÓm E sao cho ME = MA.
a) Chøng minh r»ng AC // BE.
b) Gäi I lµ mét ®iÓm trªn AC, K lµ mét ®iÓm trªn EB sao cho AI = EK. Chøng minh ba ®iÓm I, M, K th¼ng hµng.
11/ Cho tam gi¸c ABC. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê BC cã chøa ®iÓm A vÏ tia Bx vu«ng gãc víi BC, trªn ia Bx lÊy ®iÓm D sao cho BD = BC. Trªn nöa m¨t ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C vÏ tia By vu«ng gãc víi AB, trªn By lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. So s¸nh AD vµ CE.
12/ Qua trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB kÎ ®­êng th¼ng d vu«ng gãc víi AB. Trªn ®­êng th¼ng d lÊy hai ®iÓm H vµ K sao cho m lµ trung ®iÓm cña HK. Chøng minh AB lµ tia ph©n gi¸c cña gãc HAK vµ HK lµ tia ph©n gi¸c cña gãc AHB.
13/ Cho gãc xOy cã sè ®o 350. Trªn tia Ox lÊy ®iÓm A. Qua A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox c¾t Oy ë B. Qua B kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Oy c¾t Ox ë C. Qua C kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi Ox c¾t Oy ë D.
A) Cã bao nhiªu tam gi¸c vu«ng trong h×nh vÏ?
TÝnh sè ®o cña c¸c gãc .
14/ Cho tam gi¸c ABC cã , tia ph©n gi¸c BD cña gãc B (D Î AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA.
So s¸nh ®é dµi c¸ ®o¹n AD vµ DE; so s¸nh vµ .
Chøng minh AE ^ BD.
15/ Cho tam gi¸c ABC cã . Tia ph©n gi¸c BD vµ CE cña go¸c B vµ gãc C c¾t nhau t¹i O. tõ O kÎ OH ^ AC, OK ^ AB. Chøng minh:
DBCD = DCBE;
OB = OC;
OH = OK;
16/ Cho ABC cã gãc A b»ng 600. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë M, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB ë N. Chøng minh r»ng BN + CM = BC.
17/ Cho ABC vu«ng t¹i A, M lµ trung ®iÓm cña AC. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm K sao cho MK = MB. Chøng minh r»ng:
KC vu«ng gãc víi AC.
AK song song víi BC.
18/ Cho ABC, kÎ BD vu«ng gãc víi AC, kÎ CE vu«ng gãc víi AB. Trªn tia ®èi cña tia BD, lÊy ®iÓm H sao cho BH = AC. Trªn tia ®èi cña tia CE lÊy ®iÓm K sao cho CK = AB. Chøng minh r»ng AH = AK.
19/ Cho ABC cã AB = AC. Trªn c¹nh AB vµ AC lÊy c¸c ®iÓm D vµ E sao cho AD = AE. Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. Chøng minh r»ng:
a) BE = CD b) KBD = KCE. 
20/ Cho ABC cã gãc A = 600. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D, tia ph©n gi¸c cña gãc C c¾t AB ë E. C¸c tia ph©n gi¸c ®ã c¾t nhau ë I. Chøng minh r»ng ID = IE.
21/ Cho ®o¹n th¼ng AB, O lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn cïng mét nöa mÆt ph¼ng bê AB, vÏ c¸c tia Ax vµ By vu«ng gãc víi AB. Gäi C lµ mét ®iÓm thuéc tia Ax. §­êng vu«ng gãc víi OC t¹i O c¾t tia By t¹i D. Chøng minh r»ng: CD = AC + BD.
22/ Trªn c¹nh BC cña ABC, lÊy c¸c ®iÓm E vµ F sao cho BE =CF. Qua E vµ F vÏ c¸c ®­êng th¼ng song song víi BA, chóng c¾t c¹nh AC theo thø tù ë G vµ H. Chøng minh r»ng: EG + FH = AB.
23/ Cho ABC vu«ng t¹i A, AB = AC. Qua A vÏ ®­êng th¼ng d sao cho B vµ C n»m cïng phÝa ®èi víi ®­êng th¼ng d. KÎ BH vµ CK vu«ng gãc víi d. Chøng minh r»ng:
a) AH = CK b) HK = BH + CK 
24/ Cho ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC, N lµ trung ®iÓm cña AB. Trªn tia ®èi cña tia MB lÊy ®iÓm E sao cho ME = MB, trªn tia ®èi cña tia NC lÊy ®iÓm F sao cho NF = NC. Chøng minh r»ng:
a) MAE = MCB.
b) AE = AF.
c) Ba ®iÓm A, E, F th¼ng hµng. 
25/ Cho ®o¹n th¼ng AB, D lµ trung ®iÓm cña AB. KÎ Dx vu«ng gãc víi AB. Trªn Dx lÊy hai ®iÓm M vµ N (M n»m gi÷a D vµ N). Chøng minh r»ng:
a) NAD = NBD.
b) MNA = MNB.
c) ND lµ ph©n gi¸c cña gãc ANB.
d) Gãc AMB lín h¬n gãc ANB.