Giáo án phụ đạo 9

ĐẠI SỐ Ky II
 I. PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. Phương trình bậc nhất hai ẩn 
Phương trình luôn có vô số nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by = c 
B. Phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1) Phương pháp thế:
 *Phương pháp: Tìm x theo y hoặc y theo x trong một phương trình của hệ rồi thay thế vào phương trình còn lại.
2) Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình đã cho để được một phương trình mới.
Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ và giữ nguyên phương trình kia.
*Phương pháp: Biến đổi hai phương trình của hệ sao cho hệ số của x hoặc y trong hai phương trình đối nhau.
3) Phương pháp đặt ẩn phụ:
*Phương pháp: Đặt ẩn phụ rồi biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình mới, sau đó giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
C. Phương pháp giải hệ phương trình bằng đồ thị
Phương pháp: Vẽ đồ thị của hai phương trình trên cùng một hệ trục toạ độ 
a) Nếu đồ thị của hai phưong trình cắt nhau tại một điểm thì toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ.
b) Nếu đồ thị của hai phương trình không cắt nhau thì hệ phương trình vô nghiệm.
c) Nếu đồ thị của hai phương trình trùng nhau thì hệ phương trình có vô số nghiệm.
D. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Bước 1: Lập hệ phương trình: 
Chọn hai ẩn (Thường là x và y)
Nêu rõ đơn vị cho ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
EChú ý:	*Loại toán chuyên động: S = v.t	
 S: là quãng đường, đơn vị km (hoặc m)
 v: là vận tốc, đơn vị km/h (hoặc m/s)
 t: là thời gian, đơn vị giờ (h) (hoặc giây (s) )
Ngoài ra, cần đọc kỹ đề để hiểu được chuyển động của các động tử là chuyển động cùng chiều hay ngược chiều, xuất phát cùng một lúc hay không cùng một lúc. Có thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng để hình dung bài toán dễ hơn:
+ Nếu động tử chuyển động trên dòng nước chảy thì: 	
 vxuôi dòng = v động tử + vdòng nước
	 	vngược dòng = vđộng tử - vdòng nước
* Loại toán về công việc đồng thời (Hoặc các vòi nước chảy)
Trong loại toán này, khối lượng công việc tương tự như quãng đường trong toán 
chuyển động. Thời gian có ý nghĩa như thời gian trong toán chuyển động. Năng suất làm việc của mỗi đội (Hoặc năng suất chảy của vòi nước) có ý nghĩa tương tự như vận tốc của các động tử trong toán chuyển động
E. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax2 (a 0)
Phương pháp: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
Bước 2: Nêu tính chất biến thiên (Đồng biến, nghịch biến, và tại x = 0)
Bước 3: Lập bảng giá trị.
Bước 4: Dựa vào bảng giá trị vẽ đồ thị
Bước 5: Nhận xét đồ thị vẽ được:
+ Trường hợp a > 0: Đồ thị hàm số y = ax2 là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực tiểu, Parapol có bề lõm quay về phía y dương, và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
+ Trường hợp a < 0: Đồ thị hàm số y = ax2 là một Parapol có đỉnh O(0;0) cực đại, Parapol có bề lõm quay về phía y âm, và nhận trục Oy làm trục đối xứng.
F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: ax2 + bx +c = 0
1) Phương pháp giải theo phương trình tích:
Có thể biến đổi tương đương để phương trình bậc hai thành phương trình tích ( tích các thừa số bậc nhất). Để giải phương trình :f(x) = ax2 + bx + c = 0 , ta biến đổi phương trình về dạng q(x).g(x) = 0 trong đó q(x), g(x) là các đa thức bậc nhất, rồi giải các phương trình này để tìm nghiệm của phương trình đã cho:
EChú ý:	Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (lớp 8)
2) Phương pháp dùng công thức nghiệm:
Bước 1: Lập biệt số 
Bước 2: Xét dấu của :
* Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
* Nếu = 0 thì phương trình có hai nghiệm kép: 
* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
3)Phương pháp dùng công thức nghiệm thu gọn
Bước 1: 	+ Xác định b’: Ta có b = 2b’	
 	+Lập biệt số thu gọn:
Bước 2: Xét dấu của :
* Nếu > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
* Nếu = 0 thì phương trình có hai nghiệm kép: 
* Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
4) Tính nhẫm nghiệm của phương trình bậc hai:
a) Biết S = x1 + x2 = 	;	P = x1.x2 = 	Suy ra: x1 = và x2 = 
b) Biết được: a + b + c = 0	Suy ra: x1 = 1 ; x2 = 
c) Biết được: 	Suy ra: 
EChú ý: So sánh a + c với b 
* Nếu a + c = b thì sử dụng 
* Nếu a + c và b là hai số đối nhau thì sử dụng a + b + c = 0
5) Phương pháp đồ thị:
Phương pháp: Tách phương trình bậc hai thành hai phần ở hai vế khác nhau: 
	Một vế có dạng: y = ax2 	(D)
	Một vế có dạng: y = ax + b	(P)
Sau đó vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
a) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) cắt đồ thị của parapol (P) thì hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình đã cho.
b) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) tiếp xúc đồ thị của parapol (P) thì hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình đã cho.
c) Nếu đồ thị của đường thẳng (D) không cắt đồ thị của parapol (P) thì pt đã cho vô nghiệm.
EChú ý: Có thể sử dụng phương pháp trên để giải các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng(D) và Parapol (P): {Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (D) cắt parapol (P) tại hai điểm phân biệt hoặc tại một điểm(Tiếp xúc) hoặc đường thẳng (D) không cắt parapol (P)}
(D): y = a1x + b1
	(P): y = a2x2
Lược giải: 
Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm giữa (D) và (P) là: a2x2 = a1x + b1
	ax2 + bx + c = 0 	(1)	{Phương trình (1) có chứa tham số m}
Bước 2: 
* (D) cắt (P) tại hai điểm phân biệt > 0 
	Suy ra giá trị của m
* (D) tiếp xúc với (P) 	 = 0	Suy ra giá trị của m
* (D) không cắt (P) 	 < 0	Suy ra giá trị của m
Bước 3: Kết luận 
6) Phương trình bậc hai có tham số m Dạng: ax2 + bx + c = 0 	(1)
Phương pháp: tìm giá trị của tham số m thoả mãn điều kiện bài toán.
Lập biệt số hoặc của phương trình bậc hai đã cho theo m
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 	 0 (hoăc 0)
Từ đó suy ra giá trị tham số m 
b) Phương trình (1) có nghiệm kép	 =0 (hoăc = 0)	Từ đó suy ra giá trị tham số m
c) Phương trình (1) vô nghiệm 	 < 0 (hoăc < 0) 	Từ đó suy ra giá trị tham số m
7) Giải và biện luận (về số nghiệm) của phương trình bậc hai
Phương pháp: 
Bước 1: Lập biệt số hoặc của phương trình bậc hai đã cho theo m
Bước 2: Biện luận trong 3 trường hợp của (hoặc )
a) Nếu > 0 ( hoặc > 0 ) : Suy ra m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Tính nghiệm phân biệt đó theo m
b) Nếu = 0 ( hoặc = 0 ) : Suy ra m để phương trình có nghiệm phân kép. Tính nghiệm kép đó theo m
c) Nếu < 0 ( hoặc < 0 ): Suy ra m để phương trình vô nghiệm
G.PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC HAI
1) Phương trình có ẩn ở mẫu:
Bước 1: Thu tất cả về một vế, vế còn lại bằng 0
Bước 2: Đặt điều kiện các mẫu khác 0. Từ đó suy ra điều kiện của ẩn trong phương trình
Bước 3: Giải phương trình bằng cách quy đồng mẫu thức
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn và kết luận nghiệm
2) Phương trình trùng phương:	ax4 + bx2 + c = 0	(a0)	(1)
Bước 1: Đặt x2 = t, 	t0
Bước 2: Giải phương trình bậc hai trung gian. 
Ta có: Phương trình (1)at2 + bt + c = 0 	(2)
Bước 3: Với mỗi giá trị không âm của t, ta giải phương trình x2 = t để tìm x
Lược giải:
* Nếu < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm
 phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu = 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép: t0 
+ S < 0 t0 < 0: phương trình (1) vô nghiệm
+ S = 0 t0 = 0: phương trình (1) có nghiệm kép x = 0
+ S > 0 t0 > 0 : phương trình (1) có hai nghiệm kép x 
* Nếu> 0 thì pt (2) có hai nghiệm phân biệt: 
+ P < 0 t1 < 0 < t2 : Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x 
+t1 < t2 = 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = 0
+0 = t1 < t2 : Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt: x = 0 ; x 
+t1 < t2 < 0 : Phương trình (1) vô nghiệm 
+0 < t1< t2 : Phương trình (1) có 4 nghiệm: x ; x 
Tóm lại: Phương trình: ax4 + bx2 + c = 0	(a0)	(1)
 Đặt t = x2 0 
Phương trình (1) at2 + bt + c = 0	(a0)
, , 
+ Phương trình(1) có 4 nghiệm phân biệt 
+ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt 
+Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
+ Phương trình (1) có 1 nghiệm 
+ Phương trình (1) vô nghiệm 
H. HỆ THỨC VI- ÉT
1) Tính giá trị của biểu thức nghiệm pt bậc hai bằng cách không giải phương trình
Phương pháp: 
Bước 1: Xét biệt số = b2 – 4ac > 0 hoặc = b’2 – ac hoặc P = ac < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 
Bước 2: Tìm tổng S và tích P của phương trình rồi thay vào biểu thức.
EChú ý: Một số biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
Giả sử phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a0) có hai nghiệm x1 , x2 Ta có các hệ thức sau: a)	b)
c) 	d) 
e)	
f) 	g) 
h) 	 
i) 
2) Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 , x2
Bước 1: Lập tổng S = x1 + x2 và tích P = x1x2
Bước 2: Kiểm tra điều kiện: S2 - 4P 0 ?
Bước 3: 	+ Nếu S2 – 4P 0 thì x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0
+ Nếu S2 – 4P < 0: Không có phương trình nào có hai nghiệm x1, x2
3) Tìm giá trị của tham số m của phương trình bậc hai thoả hệ thức cho trước
Bước 1: Lập biệt số (hoặc) cho 0 hoặc 0 để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm
Bước 2: Tìm m trong hệ thức cho trước. Sau đó, chọn giá trị m thích hợp với điều kiện và 
trả lời.
4) Giá trị lớn nhất:
“ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số bằng nhau”
Giả sử x1 + x2 =s không đổi, còn P = x1x2 thay đổi
Do điều kiện: S2 – 4P 0 Suy ra P Vậy maxP = khi và chỉ khi 
5) Giá trị nhỏ nhất:
“ Nếu hai số dương có tích không thay đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số bằng nhau”
Giả sử: x1 ,x2 >0 và x1x2 = P không đổi, còn x1 + x2 = S thay đổi
Do điều kiện: S2 – 4P 0	Suy ra: 	
	Vậy minS = khi và chỉ khi :x1 = x2 = 
6) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc tham số m
Bước 1: Lập biệt số (hoặc )
Bước 2: Cho 0 (hoặc 0) để suy ra điều kiện tham số m cho phương trình có nghiệm
Bước 3: Gọi x1 , x2 là các nghiệm của phương trình. 
Theo định lý Vi-ét tínhtheo m 
Bước 4: Thay m từ (1) vào (2) ta được hệ thức cần tìm.
7) Phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai
Bước 1: Chọn ẩn, ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn.
Bước 2: Lập phương trình:
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
+ dựa vào mối liên hệ giữa các đại lượng để lập phươnh trình.
Bước 3: Giải phương trình
Bước 4: Đối chiếu với điều kiện ở bước 1 để trả lời
8) Tìm giá trị của tham số m để hai phương t ... cầu: 
*BÀI TẬP
A.ĐẠI SỐ
I. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
a) 	b) 	c) 	d) 	
 e) 	 f) 	h)
II. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH
 BẬC HAI
a) 	b) 	c) 	d) 	
e) 	f) 	g) 	h) 
i) 	j) 	k) 	l) 
m) 	n) 	o) 	 p)
q) 	r) 	s) 
t) 	u) 	v) 
III. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
a) 	b) 	c) 
IV. VẬN DUNG HỆ THỨC VI-ÉT TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC THEO CÁC NGHIỆM 
Bài 1: Không giải phương trình: Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm gấp đôi các nghiệm của phương trình trên.
Bài 2: Cho phương trình: 
a) Chứng tỏ rằng phương trình trên có hai nghiệm phân biệt 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = – 4 và tính nghiệm kia.
c) Tìm m để tổng hai nghiệm của phương trình bằng – 11. Tìm hai nghiệm đó.
Bài 3:Không dùng công thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau: .
a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt .
b) Tính:	 	 	
Bài 4: Cho phương trình: 
a) Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
Bài 5: Cho phương trình: . 
Gọi là hai nghiệm của phương trình trên. Xác định m để :
a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 b)Phương trình có nghiệm kép.	
c) Phương trình vô nghiệm.	
d) Phương trình có hai nghiệm trái dấu. 
e)Phương trình có hai nghiệm cùng dấu.
f)Phương trình có hai nghiệm dương.
g) Phương trình có hai nghiệm âm.
h) Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà giá trị tuyệt đối của nghiệm âm lớn hơn nghiệm dương.
Bài 6: Cho phương trình: 
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
V. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG (d) VÀ PARAPOL (P)
Bài 1: Cho 
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng toạ độ Oxy.
b) Chứng minh rằng: (P) và (d) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất.
c) Xác định toạ độ giao điểm giữa (P) và (d).
Bài 2: Cho , m là tham số và (d): y = ax + b
a) Tìm a và b biết rằng (d) đi qua A( –1; 3) và B(2 ;0)
b) Tìm m sao cho (P) tiếp xúc với (d) vừa tìm được. Tìm toạ độ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d).
Bài 3: Cho 
a) Vẽ (P).
b) Tìm giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Vẽ (d),xác định toạ độ của A và B khi m = 2
c) Tìm giá trị của m để (d) tiếp xúc với (P).
Bài 4: Cho 
a) Xác định a để (P) đi qua điểm A( 2; 1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.	
b) Tìm m để (d) không cắt (P).
c)Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.	
d) Tìm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất.
e) Xác định toạ giao điểm tiếp xúc của (P) và (d).	
f) Xác định m để (P) và (d) có ít nhất một điểm chung.
g) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = – 3.
Bài 5: Cho 
a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 
b) Tìm m để (P) và (d) có ít nhất một điểm chung.
Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol 
a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
c) Từ A và B vẽ AH xx’;BK x’x.Tính diện tích của tứ giác AHBK.
Bài 7: Cho hàm số y = ax2 có đồ thị (P)
a) Tìm a biết rằng (P) qua A(1 ; –1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.
b) Trên (P) lấy B có hoành độ bằng –2 . Viết phương trình của đường thẳng AB và tìm toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung.
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng (d) và (P). ( C khác O).
VI. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁH LẬP HEÄ PHƯƠNG TRÌNH 
Bài 1: Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ hai sẽ bằng số sách ở giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi giá.
Bài 2: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4 km và một đoạn xuống dốc dài 5 km. Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ A về B hết 41 phút ( vận tốc lên dốc, xưống dốc lúc đi và về như nhau ). Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc.
Bài 3: Một ô tô đi từ C đến D, nếu tăng thêm vận tốc là 20 km/ h thì sẽ đến nơi sớm hơn 1 giờ. nếu tăng thêm 1h thì người đó phải bớt đi vận tốc là 10 km/h. Tính vận tốc và thời gian của ô tô.
Bài 4: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai điạ điểm A,B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau, sau 1 giờ 40 phút gặp nhau. Tính vận tốc thực của mỗi ca nô. Biết rằng vận tốc ca nô xuôi dòng hơn vận tốc ca nô ngược dòng là 9 km/h và vận tốc nước là 3 km/h.
Bài 5: Hai người cách nhau một quãng đường AB dài 120 km khởi hành cùng mộ lúc. Nếu hai người đi cùng chiều, gặp nhau sau 6 giờ. Nếu hai người đi ngược chiều, gặp nhau sau 2 giờ. Tính vận tốc của mỗi người.
Bài 6: Chữ số hàng chục của một số có hai chữ số lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 5. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau sẽ được một số bằng số cho ban đầu. Tính số cho ban đầu.
Bài 7: Trong tháng giêng, hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng 2, tổ 1 vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 12%, nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
Bài 8: Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự định làm trong 12 ngày. Họ cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội 1 được điều động đi làm việc khác, đội 2 tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên. ( với năng suất bình thường ).
VII. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
Bài 1: Liên đội trường giao cho lớp 9A nhặt 105 kg giấy vụn. Vì mỗi bạn góp nhiều hơn chỉ tiêu được giao là 1 kg. Nên dù có 4 bạn chưa nộp nhưng số giấy vụn đã vượt chỉ tiêu 19 kg. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh.
Bài 2: Một ca nô xuôi dòng 44 km rồi ngược dòng 27 km. Hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết vận tốc thực của ca nô là 20 km/h. Tính vận tốc dòng nước.
Bài 3: Một ca nô xuôi dòng một khúc sông dài 90 km rồi đi ngược dòng về 36 km. Biết rằng thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian đi ngược dòng là hai giờ và vận tốc khi đi xuôi dòng hơn vận tốc khi đi ngược dòng là 6 km/h. Tính vận tốc ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng.
Bài 4: Một người đi xe đạp từ A đến B dài 12,5 km. Một giờ sau, một người đi mô tô đuổi theo với vận tốc lớn hơn vận tốc xe đạp là 40 km/h. Hai xe đến nơi cùng một lúc. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 5: Hai địa điểm Avà B cách nhau 30 km. Một ô tô khởi hành từ A đến B, đi được 12 km. thì ở B một người đi xe đạp đi ngược chiều về A. Ô tô đến B nghỉ lại 18 phút rồi quay trở về A đến nơi sớm hơn người đi xe đạp 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe. Biết rằng ô tô đi nhanh hơn xe đạp 25 km/h.
Bài 6: Một người đi xe đạp dự định đi từ A đến B dài 20 km. với vận tốc không đổi, nhưng sau khi đi được 1 giờ, ngưòi đó giảm vận tốc mỗi giờ 2 km, nên đến B chậm hơn dự định 15 phút. Tính vận tốc lúc đầu của người đi xe đạp.
B.HÌNH HỌC
Baøi 1: Cho đường tròn tâm O đường kính EF. Trên EF lấy điểm N và vẽ đường tròn tâm O’đường kính NF. Gọi M là trung điểm của EN. Từ M kẻ dây AB vuông góc với EN, AF cắt (O’) tại K.
Tứ giác AEBN là hình gì? Vì sao?
CM: Tứ giác MBFK nội tiếp.
Cho EF = 10cm, . Gọi cung của (O) bị chắn bởi góc này là . Tính diện tích hình quạt tròn OEnA.
Baøi 2: Cho tam giác ABC có góc B bằng 900 và có BC > BA, đường cao BH. Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B, vẽ nửa đường tròn tâm O đường kính CH cắt BC tại M, vẽ nửa đường tròn tâm O’ đường kính HA cắt AB tại N. Chứng minh:
BMHN là hình chữ nhật.
Tứ giác CMNA là tứ giác nội tiếp.
BM . BC = BN .BA
Cho , CH = 8 cm. Tính diện tính hình quạt COM.
Baøi 3: Cho (O;R), kẻ hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn OA lấy điểm E bất kì ( E nằm giữa O, A ). Qua E kẻ đường thẳng , CE cắt đường tròn tại F. Kẻ tiếp tuyến Fx cắt d tại I.
Chứng minh tứ giác OEFI nội tiếp.
Tứ giác OIEC là hình gì?
Cho , CD = 10 cm. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây FD và cung FD.
Khi di chuyển trên AB thì I di chuyển trên đường nào?
Baøi 4: Cho tam giác ABC (AB = AC) nội tiếp (O). Các đường cao AG, BE,CF gặp nhau tại H.
Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Chứng minh AF . AC = AH . AG.
Chứng minh GE là tiếp tuyến của (I).
Cho bán kính của đường tròn tâm I là 2 cm, . Tính diện tích hình quạt IFHE.
Baøi 5: Cho tam giác ABC đều ngoại tiếp (O;R). Gọi D, E là hai tiếp điểm trên AB, BC. Tia OB cắt (O) tại I. Chứng minh:
Tứ giác BDOE nội tiếp.
I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Cho R = 2 cm. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng BD, BE và . 
Baøi 6: Cho A là một điểm ở ngoài (O, R ). Vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với (O).
Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.
AC2 = AD . AE VÀ AD .AE = OA2 – R2.
Biết . Tính diện tích hình quạt OBC theo R.
Baøi 7: Cho nửa (O) đường kính AB. Hai điểm C, D nằm trên nửa đường tròn ấy, sao cho C nằm giữa A và D. AC và BD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F. Chứng minh:
Bốn điểm E, C, F, D cùng thuộc một đường tròn.
Baøi 8: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Một dây cung AC bất kì, kẻ tiếp tuyến Ax. Vẽ tia phân giác của cắt đường tròn tại E, cắt BC tại D. Chứng minh rằng:
Tam giác ABD cân, .
Gọi I là giao điểm của AC và BE. CMR: .
Tìm quỹ tích của điểm D khi C di động trên nửa đường tròn.
Baøi 9: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng (d) tiếp xúc với cả hai đường tròn tại B và C, cắt tiếp tuyến tại A ở M. Chứng minh rằng:
Tam giác ABC vuông.
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của OM và AB, O’M và AC. Chứng minh tứ giác MEAF là hình chữ nhật.
Baøi 10: Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ hai đường kính AC và AD.
Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
Một cát tuyến di động qua A cắt (O) và (O’) tại M và N. Chứng minh rằng: 
CMND là hình thang vuông. 
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của MN và CD. CMR: Bốn điểm A, P, Q, B thuộc một đường tròn.
Baøi 11: Cho (O) đường kính AB, dây cung AC bất kì. Trên AC lấy điểm D sao cho CD = CA.
Chứng minh cân.
Vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại A cắt đường tròn tại E. Trên AE lấy điểm F sao cho EF = EA. Chứng minh rằng ba điểm C, O, E thẳng hàng; F, B, D thẳng hàng.
Baøi 12: Cho nửa đường tròn đường kính CD. Lấy E bất kì thuộc nửa đường tròn ấy. Kẻ hai tiếp tuyến Cx và Dy. Tiếp tuyến tại E của nửa đường tròn cắt tiếp tuyến tại C ở A và cắt tiếp tuyến tại D ở B.
Các tam giác CED, AOB là tam giác gì ? Vì sao?
Chứng minh AB = AC + BD.
Tìm vị trí của E sao cho AC + BD nhỏ nhất.
Cho . CMR: Tam giác EBD là tam giác đều. 
Baøi 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, Ax, By là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại A và B. Lấy trên tia Ax điểm M rồi vẽ tiếp tuyến MP cắt By tại N.
CMR: 
Chứng minh: AM .BN = R2.
Tính tỉ số 
Tính thể tích của hình do nửa hình tròn APB quay quanh AB sinh ra. 
Baøi 14: BT 41/129, 7/134, 15/136 SGK toán 9 tập 2.