Kẻ thêm đường phụ để giải một số bài Toán hình học 7

KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
2
PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận
- Luật giáo dục 2005 (Điều 5) quy định: ‘‘Phương pháp giáo dục phải phát huy tính
tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho nguời học năng lực
tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên’’.
- Mục đích của việc đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối
dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo ‘‘Phương pháp dạy học tích cực’’ nhằm giúp
học sinh :
 Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả
năng tự học, tinh thần hợp tác, kĩ năng vận dụng kiến thức vào trong thực tiễn;
 Tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập; làm cho ‘‘việc học’’ là quá trình
kiến tạo, tìm tòi, khám phá, luyện tập, khai thác và xử lí thông tin... Học sinh tự
hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất.
 Tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lí. Chú
trọng hình thành các năng lực (tự học, sáng tạo, hợp tác,...) dạy phương pháp và
kĩ thuật lao động khoa học, dạy cách học.
- Làm thế nào để đạt được các mục đích trên ?
Để trả lời được câu hỏi này, trước tiên giáo viên trước vấn đề đó người giáo viên cần
phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối
hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối
tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo.
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết
được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương
pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức
các môn học.
II. Cơ sở thực tế
- Trong các môn học trong trường THCS thì môn Toán là một trong những môn
quan trọng nhất nhưng có thể nói là khó nhất. Ở trường THCS, học sinh được học ba phân
môn của toán học, đó là Số học, Đại số và Hình học. Trong ba phân môn đó thì học sinh
thường gặp khó khăn trong việc giải các bài toán Hình học.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
3
- Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu
không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự
liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí
có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế
nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
- Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ
thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các
yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn
chứ không phải là một công việc tuỳ tiện. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân
theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên
đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì
sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ
đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm
như vậy mới giải được bài toán? Gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng
phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được
cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố
phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác
lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất
ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp
thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm
yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách
giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
- Đã có nhiều tài liệu, chuyên đề, sáng kiến viết về việc kẻ thêm đường phụ trong
hình học 7, nhưng những tác giả đó mới chỉ nêu được một số cách hoặc nêu được nhưng
chưa đầy đủ và không chỉ rõ khi nào thì kẻ thêm đường phụ ấy. Vì vậy, tôi viết sáng kiến
“Vẽ đường phụ để giải một số bài toán Hình học 7” nhằm giải quyết các vấn đề đặt ra.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
4
PHẦN B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG
- Trong quá trình dạy học sinh giải một bài toán Hình học lớp 7, tôi thấy học sinh
thường gặp một số khó khăn sau đây :
 Khó khăn trong việc giải bài tập đòi hỏi phải vẽ thêm đường phụ.
 Chưa biết suy luận để thấy được sự cần thiết phải vẽ thêm đường phụ.
 Vẽ đường phụ còn tuỳ tiện làm hình vẽ trở nên rối, gây khó khăn cho việc giải
bài toán.
 Sau khi đã vẽ đường phụ, học sinh thường quan tâm đến việc tìm lời giải của bài
toán mà không tìm hiểu xem tại sao người ta lại kẻ thêm đường phụ như vậy.
- Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng
nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác
bằng nhau. Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta
thường làm theo một cách gồm các bước sau:
 Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng (hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc)
thuộc hai tam giác nào?
 Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
 Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh (hay cặp góc) tương ứng
bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được
cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác
cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể
nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học
7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và
thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP VẼ ĐƯỜNG PHỤ
1. Vẽ giao điểm của hai đường thẳng
a) Mục đích
Vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng nhằm làm xuất hiện tam giác mới có mối liên
hệ về góc và cạnh với các tam giác đã có trong hình vẽ.
b) Sử dụng khi nào?
Ta thường dùng cách vẽ này khi giữa hai đối tượng liên quan (đoạn thẳng, đường
thẳng, tam giác,  ) thường chưa hoặc ít có mối liên hệ về độ dài, về góc.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
5
Ví dụ 1. Cho ∆ABC có  0A 90 ,> AB < AC. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A,
vẽ tia Bx vuông góc với BC; trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng
bờ AB chứa điểm C, vẽ tia By vuông góc với BA; trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA.
Chứng minh rằng DA ⊥ EC.
Phân tích :
- Để chứng minh DA ⊥ EC, ta
có thể sử dụng tính chất từ song song và
song song đến vuông góc, nhưng rất
khó tìm ra đường thẳng thứ ba trên hình
vẽ có quan hệ vuông góc và song song
với DA và EC (H. 1a).
- Ta có thể nghĩ đến việc chứng
minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng
900. Như vậy cần phải vẽ thêm giao
điểm của hai đường thẳng này. Kéo dài
DA cắt BC và EC theo thứ tự tại H và K
(H. 1b). Ta phải chứng minh  0HKC 90= .
- Ta dễ dàng chứng minh được ∆ABD = ∆EBC (c.g.c), suy ra  1 1D C= nên để chứng
minh  0HKC 90= ta chứng minh  HKC HBD= (vì  0HBD 90 )= .
- Để chứng minh  HKC HBD= ta có thể so sánh các cặp góc của hai tam giác là
∆HBD và ∆HKC. Rõ ràng hai tam giác này đã có hai cặp góc bằng nhau nên ta dễ dàng tìm
ra lời giải của bài toán.
Giải : (H. 1b)
Gọi H, K theo thứ tự là giao điểm của DA với BC, EC.
Xét ∆ABD và ∆EBC có :
AB = BE (gt)
 
1 3B B= (cùng bằng 0 290 B− )
AD = BC (gt)
Suy ra ∆ABD = ∆EBC (c.g.c).
Do đó  1 1D C= .
Xét ∆HBD và ∆HKC có  1 1D C= (cmt),  1 2H H= (đối đỉnh) nên  HBD HKC= .
Suy ra  0HKC 90= (vì  0HBD 90= ) hay HK ⊥ EC.
Vậy DA ⊥ EC (đpcm).
Nhận xét :
x x
y yb)a)
2
1
1
13
1
2
Hình 1
H
K
D
E
D
E
A
B
A
BC C
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
6
Rõ ràng nếu ta không vẽ thêm giao điểm thì rất khó tìm ra lời giải của bài toán. Việc vẽ
thêm giao điểm của các đường thẳng làm xuất hiện mối liên hệ giữa các góc của hai tam giác
và việc chứng minh bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
Ví dụ 2. Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB, vẽ các tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax. Đường
vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D. Chứng minh rằng CD = AC + BD.
Phân tích :
- Để chứng minh CD = AC + BD (H. 2a) ta cần tìm ra một đoạn thẳng trung gian để
so sánh. Từ đây ta thấy có ít nhất hai hướng giải quyết :
Một là, trên CD lấy một điểm I sao cho CI = CA (H. 2b). Như vậy ta cần phải chứng
minh DI = DB. Nhưng để chứng minh được điều này lại không hề đơn giản.
x
y
x
y
x
y
c)a) b)
2
1
21
Hình 2
I
D
O
D
O
E
D
O BAA B BA
CC C
Hai là, kéo dài CO cắt DB tại E (H. 2c). Dễ dàng chứng minh AC = BE và CD = DE.
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh.
Giải : (H. 2c)
Gọi E là giao điểm của CO và DB.
Xét ∆OAC và ∆OBE có :
  0OAC OBD 90= =
OA = OB (gt)
 
1 2O O= (đối đỉnh)
Nên ∆OAC = ∆OBE (g.c.g), suy ra AC = BE và OC = OE.
Xét ∆OCD và ∆OED có :
OC = OE (cmt)
  0DOC DOE 90= =
OD là cạnh chung
Nên ∆OCD = ∆OED (c.g.c), suy ra CD = DE.
Mà DE = BD + BE = BD + AC.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
7
Vậy CD = AC + BD.
Nhận xét :
Nhờ vẽ thêm giao điểm ta đã làm xuất hiện các tam giác bằng nhau, từ đó suy ra các
đoạn thẳng bằng nhau. Hơn nữa, sự xuất hiện một đoạn thẳng trung gian là DE làm cho việc
chứng minh trở nên đơn giản hơn rất nhiều.
2. Kẻ thêm đoạn thẳng
a) Mục đích
Kẻ thêm đoạn thẳng nhằm làm xuất hiện hai tam giác bằng nhau, tam giác cân, tam
giác đều.
b) Một số cách kẻ thêm đoạn thẳng
 Kẻ thêm đoạn thẳng bằng cách nối hai điểm đã có trong hình vẽ
Ví dụ 3. Cho hình vẽ 1, trong đó AB // CD, AD // BC. Chứng minh rằng : AB = CD,
AD = BC.
Phân tích :
- Để chứng minh AB = CD,
AC = BD ta cần tìm ra hai tam giác
chứa các cạnh này bằng nhau. Nhưng
 ...  7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
17
⇒ AH = BF (3)
Chứng minh tương tự, ta có ∆HAE = ∆GBA (cạnh huyền – góc nhọn)
⇒ AH = CG (4)
Từ (3) và (4) suy ra : BF = CG.
Xét ∆IFB và ∆IGC có :
  0IFB IGC 90= =
BF = CG (chứng minh trên)
 IBF ICG= (vì  0IBF 90 BIF= − ,  0ICG 90 CIG= − , mà  CIG BIF= (đối đỉnh))
nên ∆IFB = ∆IGC (g.c.g) ⇒ IB = IC.
Vậy I là trung điểm của BC.
6. Phương pháp tam giác đều
a) Mục đích
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, đó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh
bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Để tạo thêm được vào
trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau ta có thể vẽ tam giác cân, và đặc biệt là
tam giác đều.
b) Sử dụng khi nào?
Chúng ta thường sử dụng phương pháp tam giác đều khi hình vẽ đã có một tam giác
cân với một góc có số đo cho trước
Đối với các bài tập về tính số đo góc, trước tiên ta cần chú ý đến những tam giác chứa
góc có số đo xác định như :
- Tam giác cân có một góc xác định.
- Tam giác đều.
- Tam giác vuông cân.
- Tam giác vuông có một góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông bằng nửa cạnh
huyền...
Sau đó ta nghĩ đến việc tính số đo của góc cần tìm thông qua mối liên hệ với các góc
của một trong các hình chứa góc có số đo hoàn toàn xác định nêu trên (Thường là đi với mối
liên hệ bằng nhau của một tam giác rồi rút ra góc tương ứng của chúng bằng nhau).
Ví dụ 14. Cho ∆ABC cân tại A,  0A 20 .= Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD =
BC. Tính ACD.
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
18
Phân tích: (H. 14a)
c)a) b)
Hình 14
1
1
1
200
D KD
A
D
E
AA
B C CB CB
Dễ tính được :   0 0 0 0B C 80 60 20 60 A= = = + = +
Ta có thể nghĩ đến việc dựng tam giác đều. Chẳng hạn dựng tam giác đều BCE. Khi đó
 0 0 0ACE 80 60 20= − = .
Dễ chứng minh
+) ∆ADC = ∆CEA (c.g.c) ⇒  ACD EAC= .
+) ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒  EAB EAC= .
Từ đó :   

0BACACD EAC EAB 10
2
= = = =
Giải :
Cách 1. (h. 14a) ∆ABC cân tại A nên  
0 0 0
0180 A 180 20ABC ACB 80
2 2
− −
= = = =
Dựng điểm E thuộc miền trong ∆ABC sao cho ∆BEC đều. Hiển nhiên BC = BE = EC
và    0BCE CDE BEC 60= = = . Suy ra    0 0 0ACE ACB BCE 80 60 20= − = − =
Xét ∆ADC và ∆CEA có :
AD = EC (= BC),  ACE CAD= (= 200), AC chung
nên ∆ADC và ∆CEA (c.g.c) ⇒  ACD EAC= (1)
Xét ∆AEB và ∆AEC có :
AB = AC (vì ∆ABC cân tại A), BE = CE (vì ∆BEC đều), AE chung
nên ∆AEB = ∆AEC (c.c.c) ⇒ EAB EAC= ⇒    0BACEAB EAC 10
2
= = = (2)
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
19
Từ (1) và (2) suy ra  0ACD 10=
Cách 2.
Dựng điểm K nằm khác phía với B đối với AC sao cho ∆AKC đều. Khi đó AK = KC =
AC và    01 1A C AKC 60= = = ;  0 0 0DAK 20 60 80= + =
Xét ∆AKD và ∆BAC có :
AK = AB ( = AC),  KAD ABC= (= 800), AD = BC (gt)
nên ∆AKD = ∆BAC (c.g.c) ⇒ KD = AC và   01K BAC 20= =
Do đó :    0 0 02 1K AKC K 60 20 40= − = − =
Ta lại có KC = KD (= AC) ⇒∆KCD cân tại K
⇒  
0 0 0
2 0180 K 180 40KCD KDC 70
2 2
− −
= = = =
Vậy    0 0 0ACD KCD KCA 70 60 10= − = − =
Nhận xét :
- So với cách 1, cách 2 dài hơn và phức tạp hơn.
- Có thể dựng AED đều (E và C nằm khác phía đối với AB) (Hình 15a); hoặc dựng
ABE đều (E và C nằm cùng phía đối với AB) (Hình 15b)
Hình 15
b)a)
E
D
A
E
D
A
CB B C
Ví dụ 15. Cho ∆ABC vuông cân tại A. Điểm E nằm trong tam giác ấy sao cho
  0EAC ECA 15= = . Tính AEB?
Phân tích: (H. 16a)
- Ta có :  0 0 0 0 0BAE 90 15 75 60 15= − = = + .
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
20
- Từ đây ta có thể nghĩ đến việc tạo ra tam giác đều cạnh AE (H. 16b) hoặc cạnh AB
(H. 16c).
c)a) b)
Hình 16
D
E
D
EE
A C
B B
CA
B
CA
Giải :
Ta có :    0 0 0BAE BAC EAC 90 15 75= − = − =
∆ABC vuông cân tại A nên   0ABC ACB 45= =
Cách 1. (H. 16b)
Vì điểm E nằm trong góc ABC nên  0ABE 45<
Suy ra    0 0 0AEB 180 BAE ABE 105 ABE 60= − − = − >
Dựng điểm D nằm trong ∆ABE sao cho ∆ADE đều. Khi đó AD = AE = DE và
   0ADE AED DAE 60= = =
Do đó  0 0 0 0BAD 90 15 60 15= − − =
Xét ∆DAB và ∆EAC có :
AD = AE (vì ∆ADE đều),   0BAD CAE ( 15 )= = , AB = AC (gt)
nên ∆DAB = ∆EAC (c.g.c) ⇒ BD = CE và   0ABD ACE 15= =
∆ABD cân tại D (vì   0ABD BAD 15= = ) nên :
 0 0 0 0BDA 180 2ABD 180 2.15 150= − = − =
Suy ra :   0 0 0 0 0BDE 360 (BDA BDE) 360 (150 60 ) 150= − + = − + =
Ta có ∆DBA = ∆DAE (c.g.c) vì :
DA = DE (vì ∆ADE đều),   0BDA BDE 150= = , BD chung
nên   0BAD BED 15= =
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
21
Vậy    0 0 0AEB AED BED 60 15 75= + = + =
Cách 2. (H. 16c)
Dựng điểm D sao cho ∆ABE đều (D và C nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Suy
ra  0ABD 60= và AB = AD = BD.
Ta có   0 0 0 0 0EAD 90 (ABD EAC) 90 (60 15 ) 15= − + = − + =
Xét ∆AEC và ∆AED có : AE chung,   0EAC EAD 15= = , AC = AD (cùng bằng AB)
Nên ∆AEC = ∆AED (c.g.c) ⇒ EC = ED và   0AED AEC 150= = .
Mà EC = EA (do ∆AEC cân tại E) ⇒ EA = ED.
Xét ∆BEA và ∆BED có BA = BD, EA = ED (chứng minh trên), BE chung
Nên ∆BEA = ∆BED (c.c.c) ⇒  
 0
0AED 150AEB DEB 75
2 2
= = = = .
Nhận xét :
- Cách 1 dài và khó hiểu hơn cách 2.
- Việc tạo ra những tam giác đều như vậy nhằm tạo ra những góc bằng nhau và
những cạnh bằng nhau.
BÀI TẬP
Kẻ thêm đường vuông góc
1. Tính độ dài x trong các hình vẽ sau :
2. Tính độ dài x trong hình 18 :
A
B
C120
0
6
x
15
A
B
C
300
6
8
x
600
x
6 63
A
B
C
Hình 17a) b) c)
C A
B
C
18
7
x
x
Hình 19
6 2
1350
6B
A
x
b)a)
x450B C
10
A
6 2
Hình 18
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
22
3. Tính độ dài x trong hình 17.
4. Cho ∆ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm,  0B 60 .= Tính BC.
5. Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy các điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh
BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân
giác của góc A.
6. Cho ABC có  0C 30= , đường cao AH bằng nửa cạnh BC. Gọi D là trung điểm của
AB. Tính BCD.
7. Cho ABC có  0C 30= và BC = 2AB. Tính A và B.
8. Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng
nhau. Chứng minh rằng ∆ABC là tam giác vuông
9. Cho góc vuông xOy, tia phân giác Oz. từ A thuộc tia Oz kẻ AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy (B ∈
Ox, C ∈ Oy). Lấy điểm M trên AB, nối MO rồi từ M vẽ đường thẳng tạo với MO một
góc bằng góc BMO và cắt AC tại N. Tính MON.
10. Cho ∆ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH
vuông góc với BC. Trên tian AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông
góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng :
a) BA = BH ; b)  0DBK 45=
Kẻ thêm đoạn thẳng
11. Cho ∆ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Chứng minh rằng BC = 2AM.
12. Trong miền trong của góc nhọn xOy, vẽ tia Oz sao cho  yOz 2xOz.= Qua điểm A
thuộc tia Oy, vẽ AH vuông góc với Ox, cắt Oz ở B. Trên tia Bz lấy điểm D sao cho
OA. Chứng minh rằng ∆AOD là tam giác cân.
13. Cho ∆ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB (D và C nằm khác phía đối với
AB). Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC (E và B nằm khác phía đối với AC).
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM ⊥ DE.
Kẻ thêm đường song song
14. Trên cạnh BC của ∆ABC lấy các điểm E và F sao cho BE = CF. Qua E và F, vẽ các
đường thẳng song song với BA, chúng cắt cạnh AC theo thứ tự ở G và H. Chứng minh
rằng EG + FH = AB.
15. Cho ∆ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ đường vuông góc với
tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng
minh rằng :
a) AE = AF ; b) BE = CF ; c) AB ACAE
2
+
= .
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
23
Kẻ thêm đường phân giác
16. Cho ∆ABC có  0A 60 ,= tia phân giác BE và CD. Gọi I là giao điểm của BE và CD.
Chứng minh rằng :
a) BD + CE = BC ; b) ID = IE.
17. Cho ∆ABC có  0B 60 ,=  0C 30 .= Lấy điểm D trên cạnh AC, điểm D tren cạnh AB sao
cho  0 0ABD 20 , ACE 10 .= = Gọi K là giao điểm của BD và CE. Tính các góc của
∆KDE.
Dựng tam giác đều
18. Cho tam giác ABC có  0C 75= . Đường cao AH có độ dài bằng nửa BC. Tính B.
19. Cho ∆ABC cân tại A,  0A 100 .= Trên tia AB lấy điểm D sao cho AD = BC.
Tính ADC.
20. Cho ∆ABC vuông ở A, có  0B 75 .= Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH =
2AC. Tính BHC.
21. Cho ∆ABC cân tại A,  0A 40 .= Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao
cho  0CBx 10 .= CBx = 100. Trên Bx lấy điểm E sao cho BE = BA. Tính BEC.
22. Cho∆ABC cân tại A,  0A 20 .= Các điểm M, N theo thứ tự trên AB, AC sao
cho 0BCM 50 ,=  0CBN 60 .= Tính BNM.
23. Cho ∆ABC cân tại A,  0A 80 .= Gọi D là điểm ở trong tam giác sao cho
 0DBC 10 ,=  0DCB 30 .= Tính BAD.
24. Cho ∆ABC có  0A 120 .= Trên tia phân giác của góc A, lấy diểm D sao cho AD =
AB + AC. Chứng minh rằng ∆BCD đều.
25. Cho ∆ABC cân tại A,  0A 80 .= Gọi K là điểm trong tam giác sao cho  0KBC 10 ,=
 0KCB 120 .= Chứng minh rằng ∆ABK là tam giác cân và tính BAK.
26. Cho ∆ABC có các góc nhỏ hơn 1200. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác đều ABD,
ACE. Gọi M là giao điểm của DC và BE. Chứng minh rằng :
a)  0BMC 120= ; b)  0AMB 120= .
KẺ THÊM ĐƯỜNG PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC 7
Trần Ngọc Đại, THCS Thuỵ Thanh, năm học 2010 - 2011
24
PHẦN C – KẾT LUẬN
Trên đây chỉ mới là một số bài toán minh hoạ ở một số dạng thường gặp khi vẽ hình
phụ, tuy chưa được đầy đủ và phong phú nhưng đó là những ví dụ tiêu biểu thể hiện cách dẫn
dắt hướng dẫn học sinh vẽ hình phụ trong chứng minh hình học.
Với kinh nghiệm nhỏ bé đó trong quá trình dạy toán nói chung, dạy môn hình học nói
riêng việc hướng cho học sinh tới việc tự tìm tòi nghiên cứu, sáng tạo, tư duy lôgíc tìm ra
hướng đi đúng đắn trong việc chứng minh một bài hình. Từ đó học sinh có thể tự mình giải
quyết được nhiều bài toán khó. Từ đó học sinh sẽ ham mê thích thú với môn hình học đòi hỏi
đầy tính sáng tạo, tính kiên trì.
Ở phạm vi đề tài này rất rộng, rất đa dạng và phong phú. Kinh nghiệm hướng dẫn học
sinh về vẽ đường phụ trong chứng minh hình học THCS chỉ là một phần nhỏ không thể lại
không thiếu sót và chắn chắn còn nhiều hạn chế. Để kinh nghiệm thêm phong phú và để
phục vụ tốt công tác giảng dạy sau này, kính mong được sự đóng góp ý kiến của thầycô, đồng
nghiệp.
Xác nhận của nhà trường Thuỵ Thanh, ngày 20 tháng 02 năm 2011
Người viết
Trần Ngọc Đại