Khảo sát học sinh giỏi lần 1 Môn Toán 7

TRƯỜNG THCS VĂN LANG
ĐỀ KHẢO SÁT 
KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN 7
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi 01 trang
Câu 1 (3 điểm). Tìm x biết:
a) ;
 b) ;
 c) Tìm x, y biết: 
Câu 2 (2 điểm). 
 a) Cho 
và . Chứng minh: 
b) Cho x – y = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:+2009
Câu 3 ( 1,5 điểm). 
a) Cho .Tính S ? Chứng minh rằng S không là số chính phương ?
b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
Câu 4 (3 điểm).
	Cho có AB = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm M sao cho và AM = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho và AN = AC. Từ A vẽ đường thẳng . Chứng tỏ d là trung trực của MN
Câu 5 (0,5điểm).
Cho . Chứng minh rằng 
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh .................................................................................... SBD ...................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3 điểm). Tìm x; y biết:
a) 
 b) ;
 c) 
	§¸p ¸n 	
Thang ®iÓm
a) Đẳng thúc đổi thành:
0.25
Từ tính chất về GTTĐ và (1) chỉ ra được 
	0,25
 Với thì trở thành 
0,25
 Biến đổi : 
0,25
 Suy ra: x = 2025078
 b) 
0,25
0,25
0,50
c) Áp dung tc dãy tỉ số bằng nhau ta có 
0,25
Nếu thì từ (1) suy ra 
0,25
Nếu thì từ suy ra 
0,25
Thay vào (1) tìm được . Vậy 
0,25
Câu 2 (2 điểm). 
 a) Cho 
và . Chứng minh: 
b) Cho x – y = 3, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:+2009
	§¸p ¸n 	
Thang ®iÓm
a) 
Suy ra: ( Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
0,50
Từ: 
0,50
b) Ta có với mọi x,y 
0,25
 Do đó:
0,25
Dấu '' ='' xảy ra khi 
0,25
Vậy giá trị nhỏ nhất của B = 2013 
0,25
Câu 3 (1.5điểm). 
a) Cho . Tính S ? Chứng minh rằng S không là số chính phương ?
b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
a) Tính được . Ta biết rằng số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. S chia hết cho 3, nhưng chia 9 dư 3 , do đó S không là số chính phương.
0.75
b) Ta có mà (p, 3) = 1 nên (1)
p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẽ, p – 1 và p + 1 là hai số chẳn liên tiếp, có một số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8 (2)
Từ (1) và (2) suy ra (p – 1)(p + 1) chia hết cho 2 nguyên tố cùng nhau là 3 và 8 
Vậy (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24.
0.75
Câu 4 (3 điểm).
	Cho có AB = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C lấy điểm M sao cho và AM = AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm N sao cho và AN = AC. Từ A vẽ đường thẳng . Chứng tỏ d là trung trực của MN
	§¸p ¸n 	
Thang ®iÓm
0,25
Vì mà chúng có vị trí so le trong nên AM // BC 
Tương tự cũng từ 
0,50
Do qua A có hai đường thẳng AM, AN cùng song song với BC nên theo tiên đề Ơclit suy ra A, M, N thẳng hàng MN // BC
0,75
Từ ( quan hệ từ vuông góc đến song song) (1)
0,75
Lại có: MA = AB; AN = AC mà AB =AC AM = AN (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra d là đường trung trực của MN
0,25
Câu 5 (0,5điểm).
Cho . Chứng minh rằng 
	§¸p ¸n 	
Thang ®iÓm
Biến đổi được 
0,25
Ghép nhóm: 
Suy ra: 
0,25
Hay: