Một số bài toán "quỹ tích" cơ bản

 A. đặt vấn đề
I/. Cơ sở lí luận
	Bước vào thế kỹ 21, nước ta đang trong công cuộc đổi mới giáo dục - đào tạo nhằm đáp ứng yêu cầu cao của xã hội. Vấn đề nâng cao chất lượng dạy học ở các cấp học, bậc học được đặt ra hết sức cấp bách. Chính vì vậy trong mấy năm gần đây ngành giáo dục - đào tạo rất coi trọng việc đổi mới phương pháp dạy học với định hướng "Tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tích cực để sáng tạo.
	Để làm được điều đó thì Toán học đóng một vai trò hết sức quan trong, nó là chìa khoá mở cữa cho các ngành khoa học khác. Chính vì vậy, hơn ai hết giáo viên dạy toán là người phải suy nghĩ: Làm thế nào để "Tích cực hoá hoạt động của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học" nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề , rèn luyện kĩ năng vận dụng vào thực tiển, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui và hứng thú học tập cho học sinh.
II/. Cơ sở thực tiển
	Qua thực tiển dạy môn tự chọn toán 9 - chủ đề nâng cao và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh rất có ý thức học tập đặc biệt là các học sinh khá giỏi, rất hay tìm tòi học hỏi những kiến thức không có trong chương trình học. Trong những kiến thức đó tôi nhận thấy phương pháp giải bài toán quỷ tích được áp dụng rất nhiều trong các kì thi học sinh giỏi cũng như thi vào các trường chuyên chọn. Trong khi đó thì đa số học sinh ở đây khi giải một bài toán “Quỹ tích” thì thường gặp khó khăn, một số em làm được thì thiếu bước giải hoặc không giới hạn được quỹ tích cần tìm. Do đó tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số bài toán quỹ tích cơ bản” 
 B. Giải quyết vấn đề
Với định hướng giúp học sinh hoạt động tích cực, độc lập, sánh tạo và khơi dậy trong học sinh khả năng tự học. Tôi đã trăn trở suy nghĩ làm thế nào để học sinh biết cách giải các dạng bài toán cơ bản và một trong những dạng toán đó là bài toán “Quỹ tích” Cho nên tôi đã hướng dẫn cho học sinh cách giải. Sau đây là cách làm của tôi.
I/. Đôi nét về bài toán tập hợp điểm.
Định nghĩa tập hợp điểm .
 Một hình H được gọi là tập hợp điểm (Quỹ tích) của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất T.
Phương pháp giải toán tập hợp điểm .
 Để tìm tập hợp điểm các điểm M có tính chất T ta làm theo các bước sau:
Bước 1. Tìm cách giải.
Xác định các yếu tố cố định và không đổi.
Xác định các điều kiện của điểm M
Dự đoán tập hợp điểm (vẽ một số trường hợp để biết quỷ tích đó là đường thẳng, đoạn thẳng, đường tròn hay cung tròn)
Bước 2. Trình bày cách giải.
Phần thuận. Chứng minh các điểm M có tính chất T đều thuộc hình H.
Giới hạn. Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ M chỉ thuộc một phần B của hình H (nếu được).
Phần đảo. Chứng minh mọi điểm M’ bất kỳ thuộc hình B đều có tính chất T
M
A
B
II/. Các tập hợp điểm cơ bản.
Tập hợp điểm là trung trực.
Định lí: 
 Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt 
A và B cố định là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “đường trung trực”. 
Tập hợp điểm là tia phân giác. 
Định lí:
 Tập hợp các điểm M nằm trong góc xoy khác 
góc bẹt và cách đều hai cạnh của góc là tia phân
giác của góc xoy.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “tia phân giác”. 
Hệ quả:
 Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳng 
xx’ và yoy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo 
thành. Bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông
góc với nhau. 
Tập hợp điểm là hai đường thẳng song song.
a
a
M
Định lí:
x
 Tập hợp các điểm M cách đường thẳng d
d
 một khoảng cho trước một khoảng bằng a (a > 0)
cho trước là hai đường thẳng song song với 
y
đường thẳng đã cho và cách đường thẳng đó 
một khoảng bằng a
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “hai đường thẳng song song ”. 
Tập hợp điểm là một đường thẳng song song.
a
d
d’
M
h
Định lí:
 Tập hợp các điểm M cách đều hai đường
thẳng song song cho trước là một đường thẳng 
song song và nằm cách đều hai đường thẳng đó.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “một đường thẳng song song ”. 
O
M
R
Tập hợp điểm là đường tròn. 
Định lí:
 Tập hợp các điểm M cách điểm O cho 
trước một khoảng cách không đổi (R > 0) là
 đường tròn tâm O bán kính R.
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “đường tròn ”. 
Tập hợp điểm là cung chứa góc.
Định lí:
 Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB 
cho trước một góc AMB có số đo không đổi a
 (0 < a < 1800) là hai cung chứa góc a dựng
 trên đoạn AB
Gọi tắt tập hợp điểm cơ bản này là “cung chứa góc ”. 
Hệ quả:
 Tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng AB 
cho trướcdưới một góc 900 là đường tròn đường kính AB.
III/. Một số bài toán quỷ tích cơ bản. 
Các bài toán quỹ tích là đoạn thẳng, tia, đường thẳng.
Ví dụ 1. Cho góc vuông xOy cố định. A là điểm cố định trên tia Ox, B là điểm chuyển động trên Oy. Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.
 Giải
Phần thuận.
Góc xOy là góc vuông nên ABO vuông tại O
M là trung điểm của AB nên OM là trung tuyến
Do đó OM = MA= MB
Suy ra MO = MA
Mà O và A cố định nên M thuộc đường trung trực
 của đoạn thẳng OA
Giới hạn.
Khi B O thì M M1 ( M1 là trung điểm của đoạn OA)
Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì M chạy xa vô tận trên tia M1z thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.
Vậy điểm M chuyển động trên tia M1z của đường trung trực của đoạn thẳng OA và nằm trong góc xOy.
Phần đảo.
Giả sử M là một điểm bất kì thuộc tia M1z. Đường thẳng AM cắt tia Oy tại B
Vì M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA nên MO = MA
 	 MAO = MOA (1)
 Mặt khác OAB vuông tại O nên OBM + OAM = 90o (2)
 và BOM + MOA =90o (3)
	Từ (1),(2) và (3) suy ra OBM = BOM 
 MB = MO
	MO = MA và MB = MO MB = MA
	Do đó M là trung điểm của AB
Kết luận
Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là tia M1z thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA và thuộc miền trong của góc xOy.
Ví dụ 2. Cho góc vuông xOy, trên tia Ox lấy điểm A cố định, B là điểm chuyển động trên tia Oy. Tìm tập hợp các điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại C
 Giải
Phần thuận.
Vẽ CH Ox ( H Ox) 
 CK Oy ( K Oy)
Xét hai tam giác vuông HAC và KBC có: 
 CA = CB (ABC vuông cân tại C)
 ACH = BCK ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
 Do đó HAC = KBC ( cạnh huyền , góc nhọn)
 CH = CK
Mà góc xOy cố định nên C thuộc đường phân giác của góc xOy
Giới hạn.
Khi B O thì C C1(C1 thuộc OZ và OA C1vuông cân tại C1)
Khi B chạy xa vô tận trên Oy thì C chạy xa vô tận trên tia C1z thuộc phân giác của góc vuông xOy
Vậy điểm C chuyển động trên tia C1z thuộc phân giác của góc vuông xOy.
Phần đảo.
Giả sữ C bất kì thuộc tia C1z. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với CA và cắt tia Oy tại B.
Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ C xuống tia Ox và Oy .
Ta có CH = CK và HCK = 90o
Xét hai tam giác vuông HAC và KBC có: 
 CH = CK 
 ACH = BCK ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Do đó HAC = KBC ( cạnh góc vuông , góc nhọn)
 CA = CB
Do đó tam giác ABC vuông cân tại C.
Kết luận
Vậy tập hợp các điểm C là tia C1z thuộc phân giác của góc vuông xOy.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 3 cm, BC = 5 cm. Tìm tập hợp các M sao cho diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC.
Giải
a) Phần thuận.	Tam giác ABC có:
4 cm
3 cm
 AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 = BC2 
nên ABC vuông tại A
5 cm
	Do đó S =AB.AC = 3.4 = 6 cm2
	Gọi MH là đường cao của MBC
	Vì S = 6 cm2
Nên MH = = = cm. 
Do đó M thuộc đường thẳng a và a' song song với BC và cách BC một khoảng cm.	
b) Giới hạn.
	M là điểm tuỳ ý trên hai đường thẳng a và a'
c) Phần đảo.
	Lấy điểm M bất kì trên đường thẳng a hoặc a'. 
 Vẽ MHBC MH = cm
	S= BCMH =.4.3 = 6 cm2
Do đó S = S
d) Kết luận
Vậy tập hợp các điểm M là hai đường thẳng a và a' song song với đạon thẳng BC và cách BC một khoảng cm.
Ví dụ 4. Cho hai đường thẳng d và d' song song với nhau và cách nhau một khoảng bằng 4 cm, Avà B là các điểm chuyển động trên d và d'. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
M
H
A
K
B
d
d'
a
 Giải
a) Phần thuận
	Vẽ MH d ( H d)
 MK d' ( H d')
Ta có: MH d , d // d'(gt)
 MH d'
 MH d' , MK d' 
 H, M , K thẳng hàng; HK = 4 cm
AMH có AH // BK (d // d')
 = = 1
 MH = MK
Do đó MH = MK = = 2 cm
d và d' song song với nhau và cách nhau một khoảng bằng 4 cm.
Do đó M thuộc đường thẳng a song song và nằm giữa hai đường thẳng d và d' và cách đường thẳng d và d' một khoảng bằng 2 cm.
Giới hạn.
A chuyển động trên d, B chuyển động trên d’ nên M thuộc đường thẳng a.
Phần đảo.
Lấy điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Qua M kẻ đường thẳng cắt d, d’ lần lượt tại A, B và vẽ MH d, MK d’(H d, K d’) 
Ta có : H, M, K thẳng hàng và MH = MK = 2cm
AMK có AH // BK (d // d’)
	 = = 1
	MA = MB
	Vậy M là trung điểm của AB
Kết luận
Tập hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường thẳng a song song và nằm giữa hai đường thẳng d và d’và cách đường thẳng d và d' một khoảng bằng 2 cm.
Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD, điểm I chuyển động trên đường chéo AC. M là điểm đối xứng của D qua I. Tìm tập hợp các điểm M khi điểm I chạy trên đoạn thẳng AC.
Giải
Phần thuận.
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Ta có, O và I là trung điểm của cạnh
DB và DM của tam giác DBM
Nên OI // MB
Đường thẳng AC cố định , điểm B cố định.
Do đó M thuộc đường thẳng qua B và song song cới AC.
Giới hạn.
Khi I A thì M M1(M1 đối xứng với D qua A)
Khi I C thì M M2(M2 đối xứng với D qua C)
Vậy M chuyển động trên đoạn thẳng M1M2
Phần đảo.
Lấy điểm M bất kì thuộc đoạn thẳng M1M2. DM cắt AC tại I 
Tam giác DBM có OI // BM và BO = DO nên ID = IM (I là trung điểm của BM)
D và M đối xứng nhau qua I
Kết luận
Tập hợp các điểm M khi điểm I chạy trên đoạn thẳng AC là đoạn thẳng M1M2 thuộc đường thẳng qua B và song song với AC.
Ví dụ 6. Cho Đoạn thẳng AB = a, điểm B di chuyển trên AB. Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ AC vẽ các tam giác đều ABM và BCN. Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng nối các trọng tâm của tam giác ABM và BCN.
Phần thuận.
Gọi E và F là trọng tâm của ABM và BCN.
Ta có EH =MH = AB= AB: 
 FK =NK = BC= BC: 
Mà IP là đường trung bình của hình thang
EFKH nên: 
IP =(EH+FK) =( AB+ BC)
 =(AB + BC) =
Do đó I nằm trên đường thẳng song song với AC và cách AC một khoảng bằng 
Giới hạn.
Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ACD
Khi B C thì E G và F C do đó I I2 (I2 là trung điểm của GC)
Khi B A thì E A và F G do đó I I1 (I1 là trung điểm của GA)
Vậy I nằm trên đoạn thẳng I1I2 thuộc đường thẳng song song với AC và cách AC một khoảng bằng 
Phần đảo.
Giã sử I’ là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng I1I2, Vẽ đoạn thẳng EF sao cho I’ là trung điểm của EF (E GA, F GC)
Đường thẳng vuông góc với AC cắt AD và CD tại M và N, cắt AC tại H và K.
Ta có: ;
Do đó MH + NK = 3(EH + FK) = 6.I’P = 6= (IP AC)
Từ M vẽ MB//DC (B AC)=> Tam giác AMB đều, mà MH AB nên E là trọng tâm.
 	=> MH = AB
Suy ra NK = - AB = BC
Mặt khác CK = NK.cotg C = BC.= => KB = KC
 => Tam giác BNC đều, mà MH AB nên F là trọng tâm.
Kết luận
Vậy tập hợp các điểm I là đoạn thẳng I1I2 thuộc đường thẳng song AC và cách AC một khoảng bằng 
Các bài toán quỹ tích là cung tròn, đường tròn.
Ví dụ 7. Cho đường tròn tâm O bán kính R. A là điểm cố định nằm trong đường tròn, B là điểm chuyển động trên đường tròn đó. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.
Giải
Phần thuận.
Gọi I là trung điểm của OA I cố định
Điểm I và M lần lượt là trung điểm của 
đoạn thẳng AO và AB nên:
IM là đường trung bình của tam giác ABO.
MI =OB = 
	MI = không đổi và I cố định.
 Do đó M nằm trên đường tròn tâm I bán kính 
Giới hạn.
Điểm B chuyển động trên đường tròn (O; R) nên M chuyển động trên đường tròn (I; )
Phần đảo.
Giã sử M (I; ). Trên tia đối của tia MA lấy điểm B sao cho MB = MA. Cần chứng minh điểm B (O; R) 
Thật vậy: M và I lần lượt là trung điểm của của cạnh AB và AO của tam giác AOB nên IM là đường trung bình của tam giác AOB
 MI = OB do đó OB = 2 OM = R
 B thuộc đường tròn ( O ; R)
Kết luận.
Tập hợp trung điểm M của đoạn thẳng AB là đường tròn (I; ) (I là trung điểm của OA)
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạch BC cố định. Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong. Tìm tập hợp các điểm I khi A thay đổi. 
(Bài 44 trang 86 SGK toán 9-T2)
Giải
Phần thuận.
Ta có BIC = 1800 – (IBC + ICB)
 = 1800 – (ABC + ACB)
 = 1800 – 900 = 1350 
Điểm I nhìn đoạn BC cố định dưới một góc 1350 nên I nằm trên hai cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AB.
Giới hạn.
Vì ABC là tam giác nên B và C không thuộc quỹ tích nói trên
Phần đảo. 
Giã sử I’ là điểm bất kì thuộc c4eung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AB.
Vẽ tia Bx sao cho BI’ là tia phân giác của CBx
Vẽ tia Cy sao cho CI’ là tia phân giác của BCy
Gọi A là giao điểm của Bx và Cy.
Ta có BI’C = 1350 
 => I’BC + I’CB = 1800 -1350= 450
Do đó ABC + ACB = 900 => BAC = 900
Vậy tam giác ABC vuông ở A
Kết luận.
Vậy quỹ tích các điểm I là hai cung chứa góc 1350 dựng trên đoạn AB trừ hai điểm B và C.
Ví dụ 8. Cho nữa đường tròn đường kính AB cố định. C là một điểm trên nữa đường tròn, trên dây AC kéo dài lấy điểm D sao cho CD = CB. Tìm quỹ tích các điểm D khi C chạy trên nữa đường tròn đã cho. 
(Bài 36 trang 79 SBT toán 9-T2) 
Giải
Phần thuận.
Ta có ACB = 900 và CD = CB 
=> tam giác vuông cân tại C => ADB = 450
Điểm D nhìn đoạn BC cố định dưới một góc 450 nên 
D nằm trên hai cung chứa góc 450 dựng trên đoạn AB.
Giới hạn. 
Khi C A thì D B0 (B0 là giao điểm của cung chứa góc 450 vad tia tiếp tuyến ã tại A của nữa đường tròn.
Khi C B thì D B 
Do đó quỹ tích các điểm D là cung BB1.
Phần đảo. 
Giã sử D’ là một điểm bất kì trên cung BB1, AD cắt nữa đường tròn đường kính AB tại C.
Tam giác BCD vuông tại B, mà ADB = 450 nên tam giác BCD vuông cân tại B
=> CD = CB
Kết luận.
Vậy quỹ tích các điểm D là cung BB1 thuộc cung chứa góc 450 dựng trên đoạn AB nằm cùng phía với nữa đường tròn đường kính AB.
Ví dụ 7. Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Một đường thẳng d quay quanh A nhưng không cắt BC. D là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d. Tìm tập hợp các điểm D
Giải
a) Phần thuận:
Điểm D đối xứng với điểm B qua đường thẳng d 
nên A d => AD = AB, AB cố định.
Vậy D thuộc đường tròn tâm A bán kính AB
Giới hạn:
Khi đường thẳng d chứa đoạn thẳng AB thì D B
Khi đường thẳng d chứa đoạn thẳng AC thì D C
Vậy D’ chuyển động trên cung lớn BC của đường tròn (A; AB)
Phần đảo:
Lấy điểm D’ bất kì trên cung lớn BC của đường tròn (A; AB)
Ta có AD = AB 
=> D thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BD qua A
Kết luận:
Tập hợp các điểm D là cung tròn AB của đường tròn (A; AB)
Ví dụ 8. Cho AB là dây cung cố định của đường tròn (O; R), C là điểm chuyển động trên cung lớn AB. Trên tia CA lấy điểm D sao cho CD = CB . Tìm tập hợp các điểm D.
Giải.
Phần thuận:
Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.
Xét DCI và BCI có: 
E
 CD = CB (gt)
 DCI = BCI ; CI chung.	
Do đó DCI = BCI (c.g.c) 
Suy ra ID = IB ( IB không đổi)
Điểm I cố định
Vậy D thuộc đường tròn (I; IB)
b) Giới hạn:
	Khi C A thì D E (E là giao điểm của
tiếp tuyến tại A với đường tròn (O; R) và
đường tròn (I; IB) ).
	Khi C B thì D B
Vậy D chuyển động trên cung ABE của đường tròn (I; IB).
c) Phần đảo:
Lấy điểm D’ bất kì thuộc cung ABE của (I; IB).
=> ID’ = IB
Vẽ phân giác góc BID’ cắt (O; R) tại C.
Xét D’CI và BCI có:
ID’ = IB 
DIC = BIC ( theo cách vẽ )	
CI chung.
Do đó DCI = BCI (c.g.c) => DCI = BCI và CD = CB
Mà BCI =sđ BI => D’CB = sđ AB hay ACB = sđ AB
	Do đó A, D, C thẳng hàng.
d) Kết luận:
	Tập hợp các điểm D là cung BAE của đường tròn (I; IB) 
( I là điểm chính giữa của cung nhỏ AB)
Bài tập áp dụng.
Cho đường tròn (O), A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O). BOC là đường kính quay quanh O. Tìm tập hợp tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB, Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O). C là điểm chuyển động trên nữa đường tròn (O) qua C cắt Ax tại D. Tìm tập hợp tâm I của các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC.
Cho hai điểm cố định A và B. Tìm tập hợp tâm O của các đường tròn sao cho tiếp tuyến kẻ từ A và B đến các đường tròn có bán kính nhỏ hơn có độ dài bằng nhau.
Cho đường tròn (O; R) cố định, BC là dây cung cố định, A là điểm chuyển động trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC. Tìm tập hợp các điểm D
Cho AB là dây cung cố định của đường tròn cố định (O; R). M là điểm chuyển động trên cung lớn AB. H là hình chiếu của A trên phân giác Mx của góc AMB. Tìm tập hợp các điểm H.
V/. Kết quả đạt được.
Sau khi tôi áp dụng biện pháp này cho học sinh khá giỏi lớp 8 và 9 ăm học 2006-2007, tôi nhận được một số kết quả sau:
Học sinh biết vẽ một số trường hợp để nhận biết “Quỹ tích” đó là đường thẳng hay đường tròn.
Học sinh giới hạn được quỷ tích cuả những bài toán cụ thể.
Học sinh trình bày đầy đủ lời giải một bài toán “Quỹ tích”.
Phát huy tính tích cực, độc lập, tự giác của học sinh.
Sau khi hướng dẩn cho học sinh phương pháp giải bài toán toán quỹ tích và khảo sát tôi nhận thấy kết quả như sau:
Khối
Số học
sinh
Kết quả
Ghi chú
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Khối 8
45
6
27
10
2
Khối 9
42
6
24
9
3
C/. Kết luận. 
	Trên đây là biện pháp tôi đã áp dụng cho học sinh khá và giỏi lớp 8 và 9 trường tôi. Do tuổi đời và tuổi nghề còn ít, thời gian nghiên cứu chưa thật được nhiều., nên các bài toán đưa ra chưa thật hợp lí và cách giải củng chưa thật logíc. Rất mong được sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn