Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7

 Chuyên đề I: Các bài toán về tỷ lệ thức
A.Kiến thức cơ bản
1. Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ thức bằng nhau.
2. Bổ xung:
Nếu: = = = K Thì 
B.Các bài toán
Dạng 1:
Tìm thành phần chưa biết của tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số bằng nhau).
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết.
 5.x=8.y=20.z và x – y - z=3.
**Có thể định hướng học sinh giải theo 3 cách
*Để tìm được 3 số x, y, z cần sử dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau. Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết của bài toán, biến đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau.
Cách 1.
Vì 5x = 8y ị = (1)
 8y = 20z ị = ị = (2)
 Từ (1) và (2) ị = = 
*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của bài toán.
Cách 2:
Vì 5.x = 8.y = 20.z ị 
Cách 3:
5x=8y=20z 
Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 ) là 40 ta được.
 ị = = =
Trong các cách giải trên:Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhưng hơi dài.
Cách 2: Ngắn song bước biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu)
Cách 3:Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn.
Ví dụ 2: Tìm x, y biết
 .
*Hướng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có cách làm hợp lý:
Một số bài toán:
Bài 1. Tìm 3 số x, y, z biết.
 và x.y.z = 12
Bài 2. Tìm x, y biết.
 và x10. y10 = 1024
Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đượng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8.
Dạng 2.
Chứng minh tỷ lệ thức.
Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm vững phương pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng minh đẳng thức ở các lớp trên. Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiểu và chứng minh được các tính chất của tỷ lệ thức và tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau.
Ví du 1: Cho tỷ lệ thức ạ 1 Với a, b, c, d ạ 0
Chứng minh rằng : 
Giáo viên định hướng cho học sinh các cách chứng minh.
Cách 1. Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức
 Û a.d = b.c
Để có được tỷ lệ thức ( Điều cần chứng minh ) cần có hai tích bằng nhau. Ta biến đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai.
Xét tích (a-b). c = a.c - b.c
 = a.c - a.d
 = a.(c-d) (Vì ị a.d = b.c Đặt thừa số chung)
Vậy (a-b).c = a.(c-d) ị .
Cách 2. Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số đó bằng tỷ số thứ 3.
Đặt = K ị 
Nếu có: (1)
 (2)
 Từ (1) và (2) ị .
**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai vế để chúng có cùng một giá trị.
Cách 3. Vì ị ị 1- 
 ị 
*Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét các cách giải. Giáo viên chốt lại cách nào hay vận dụng và giải quyết được nhiều bài toán nhất. Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý.
Ví dụ 2. Cho ( c ạ m ).
 CMR: .
Cách 1. Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.
Cách 2. Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.
Đặt = K. Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng .
Các bài toán:
Bài 1. Cho b2 = a.c. Chứng minh rằng. .
Bài 2. Cho ạ m 1 và c ạ 0
CM rằng: .
Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.
 Thì có thể suy ra được biểu thức.
 .
Dạng 3.
Tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1: Cho bốn số a, b, c, d; Sao cho a + b + c + d ạ 0
Biết 
Tính giá trị của K.
Cách 1. áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta được. 
 ị K = 3
Cách 2. Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số ị a = b = c = d 
 ị K=3
Các bài toán:
Bài 1: Biết Và a, + 3b, - 2c, ạ 0
 Tính giá trị của biểu thức P = 
Bài 2. Cho M = .
 Tính giá trị của M biết các số x, y, z tỷ lệ với 5; 4; 3.
Bài 3. Cho các số A, B, C tỷ lệ với các số a, b, c.
 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức. Q = 
Không phụ thuộc vào giá trị của x,y.
Chuyên đề II: Phương pháp tam giác bằng nhau
 Đối với học sinh lớp 7 bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Cách làm thông thường cũng là cách làm được coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần chứng minh đó bằng nhau. Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải tạo ra bằng cách vẽ thêm đường phụ. Đường phụ có thể là đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đường vuông góc, song song,vẽ tia phân giác
 Ví du1: Cho r ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là rABE và rACF.
a.CM rằng BF = CE và BF ^ CE
b.Gọi M là trung điểm của BC
 CM rằng AM = EF
 Câu a. GV hướng dẫn học sinh những định hướng ban đầu.
Thường đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên.
Giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa kết luận và 
giả thiết của bài toán. Những câu hỏi đó học sinh được rèn, 
tập dượt nhiều lần. Sau này đó chính là những suy nghĩ, tư duy
của học sinh khi làm toán.
Sơ đồ phân tích đi lên:
BE = CE
rABF = rAEC
AB = AE éBAF = éEAC AF = AC
 (gt) ( = 90 o + éBAC) (gt)
Câu b: Học sinh vẽ tách riêng hình, định hướng cho học sinh cách chứng minh thường là 2 cách:
 Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ được đoạn thẳng mới. CM đoạn đó bằng đoạn thẳng lớn.
 Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn. 
CM một nửa của nó bằng đoạn thẳng nhỏ
Với bài toán làm theo cách 1 ( Hình vẽ )
Khai thác bài toán:
 1. Vẽ thêm đường cao AH của r ABC ( H ẻ BC ). Chứng minh đường thẳng AH đi qua trung điểm EF.
 2. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của BE, CF. Tính các góc của rMIK.
Các bài toán:
 Bài 1: Cho rABC vuông cân tại A, trung tuyến AM. Trên cạnh AB lấy điểm E, trên cạnh AC lấy điểm F sao cho é EMF = 90 o. Chứng minh AE = AC.
 Bài 2: Cho rABC có đường cao AH và đường trung tuyến AM chia góc A thành 3 góc bằng nhau. Lấy điểm E thuộc cạnh AC sao cho AE = AH
 a. CM rằng ME = BC
 b. Tính các góc của rEMC
 c. Biết AB = 4cm. Tính AC.
 Bài 3. Cho tam giác rABC. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đường trung trực của tam giác đó. Chứng minh.
 a. AH bằng hai lần khoảng cách từ O đến BC.
Ba điểm H, G, O thẳng hàng.
 Chuyên đề III. Phương pháp tam giác đều
 *Phương pháp tam giác đều thể hiện một cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau. Giúp cho việc giải bài toán được thuận lợi. Nhất là dạng toán tính số đo của góc.
 Ví dụ: Cho tam giác rABC cân ở A, éA = 80o .Gọi O là một điểm ở trong tam giác sao cho éOBC = 30o , é OCB=100 . Tính é COA.
 *Hướng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc.
 rABC cân tại A, éA=800 ị éB = éC = 500
 *Liên quan đến góc của tam giác đều.
 500 + 100 = 600 
 Vậy để dựng tam giác đều: Như hình vẽ
 Nối D với A : r CBO = r CDA (c.g.c)
 ị CA=CO.
 *Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thường là góc đặc biệt hoặc góc được gắn vào tam giác đặc biệt ( r Cân, rVuông cân, một nửa r đều) hoặc gắn vào tam giác đã biết được số đo các góc của nó.
Các bài toán.
 Bài 1. Cho rABC cân tại A, éA=1000. Gọi O là một điểm trên tia phân giác của éC Sao cho éCBO = 300. Tính é CAO
 Bài 2. Cho rABC Cân tại A, éA=1000 .Trên tia AC lấy điểm D Sao cho AD = BC
 Tính é CBD
 Bài 3. Cho rABC Cân tại A, éA=800 .Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho éBAI =500 Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho éABK=300. Hai đoạn thẳng AI và BK cắt nhau tại H :
 CM rằng r HIK Cân.