Một số đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8

đề 1 
Câu 1:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình:
a, = ++ (x là ẩn số)
b, + + = 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:
Xác định các số a, b biết:
 = +
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Đề 2 (44)
Câu 1:
Cho a,b,c thoả mãn: = = 
Tính giá trị M = (1 +)(1 +)(1 + )
Câu 2: 
Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2 
Chia hết cho y(x) = x2 – x + b
Câu 3: 
Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + 1 = 0 
Câu 4:
Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5:
Cho ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB> 2BC. Tính góc của 
b, Nếu AB < BC. Tính góc của .
	----------------------- hết ----------------------
đề 3 (45)
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2:
Cho A = : 
a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 + z2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P = 
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: 
1 < ++< 2
b, Cho x,y 0 CMR:
+ +
Câu 5:
Cho đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc 
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR đều.
----------------------- hết ----------------------
đề 4 (46)
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1
Câu 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A = + + 
b, Cho biểu thức: M = 
+ Rút gọn M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên.
Câu 3:
a, Cho abc = 1 và a3 > 36, 
CMR: + b2 + c2 > ab + bc + ca
b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 + 2xy + y2 - 2x + 2y +1
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất
P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b)
Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biết: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 6x + 15y + 10z = 3
Câu 6:
Cho . H là trực tâm, đường thẳng vuông góc với AB tại B, với AC tại C cắt nhau tại D.
a, CMR: Tứ giác BDCH là hình bình hành.
b, Nhận xét mối quan hệ giữa góc và của tứ giác ABDC.
----------------------- hết ----------------------
Đề 5 (47)
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị của A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0. Tính giá trị của D = x2003 + y2003 + z2003
Biết x,y,z thoả mãn: = ++
Câu 3: 
a, Cho a,b > 0, CMR: + 
b, Cho a,b,c,d > 0
CMR: +++ 0
Câu 4: 
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = với x,y > 0
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = với x > 0
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm Z của PT: xy – 4x = 35 – 5y
b, Tìm nghiệm Z của PT: x2 + x + 6 = y2
Câu 6: 
Cho M là một điểm miền trong của . D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ là điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: AB’A’B là hình bình hành.
b, CMR: CC’ đi qua trung điểm của AA’
----------------------- hết ----------------------
Đề 6 (48)
Câu 1:
Cho = và = 
Tính giá trị của biểu thức A = 
Câu 2: 
Cho x2 – x = 3, Tính giá trị của biểu thức
M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2
Câu 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > 0 và x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của N = +
Câu 4: 
a, Cho 0 a, b, c 1
CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho 0 <a0 <a1 < ... < a1997
CMR: < 3
Câu 5:
a,Tìm a để PT = 5 – a có nghiệm Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 
++ =
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD, trên CD lấy M, nối M với A. Kẻ phân giác góc cắt BC tại P, kẻ phân giác góc cắt CD tại Q
CMR PQ AM
----------------------- hết ----------------------
đề 7 (49)
Câu 1:
Cho a, b, c khác nhau thoả mãn:
 + + = 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:
Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A = ++
Câu 3:
Cho M = a5 – 5a3 +4a với aZ
a, Phân tích M thành nhân tử.
b, CMR: M120 aZ
Câu 4: 
Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+....+n = 
b, CMR: 12 +22 + 32 +......+n2 = 
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x2 = y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:
Giải BPT: > - 1
Câu 7:
Cho 0 a, b, c 2 và a+b+c = 3
CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8: 
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp 2 lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD một góc 150 cắt AD tại E
CMR: cân.
----------------------- hết ----------------------
đề 8 (50)
Câu 1:
Cho A = 
a, Rút gọn A
b, Nếu nZ thì A là phân số tối giản.
Câu 2:
Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 - )(1 - )
Câu 3: 
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 a, b , c 1
CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca 1
Câu 4: 
Tìm x, y, z biết:
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5: 
Cho nZ và n 1
CMR: 13 + 23 +33 +......+n3 = 
Câu 6: 
Giải bất phương trình:
(x-1)(3x+2) > 3x(x+2) + 5
Câu 7:
Chia tập N thành các nhóm: 1; (2,3); (4,5,6)....., nhóm n gồm n số hạng. Tính tổng các số trong nhóm 94.
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD. M, N là trung điểm AB, BC, K là giao điểm của CM và DN
CMR: AK = BC
----------------------- hết ----------------------
đề 9 (51)
Câu 1:
Cho M = + + ; N = + +
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: 
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 2
CMR: + + 1
Câu 3:
Cho x, y, z 0 và x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998
Tìm giá trị lớn nhất của M = x + y + z
Câu 4:
a, Tìm các số nguyên x để x2 – 2x -14 là số chính phương.
b, Tìm các số sao cho là số nguyên tố
Câu 5:
Cho a, b, c, d là các sô nguyên dương
CMR: A = + + + không phải là số nguyên.
Câu 6: 
Cho cân (AB=AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC PC
Câu 7: 
Cho x, y thoả mãn: 2x2 + + = 4 (x0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
----------------------- hết ----------------------
đề 10 (52)
Câu 1: 
Cho a, b, c > 0 và 
P = ++
Q = + + 
a, CMR: P = Q
b, CMR: P 
Câu 2:
Cho a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca) 0
Câu 3:
CMR x, yZ thì:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2)
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 6:
Cho x = ; y = 
Tính giá trị: M = 
Câu 7: 
Giải BPT: (x là ẩn số)
Câu 8:
Cho , trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
----------------------- hết ----------------------
Đề 11 (53)
Câu 1: 
Cho x = ; y = ; z = 
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
Câu 2: 
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A = 
Câu 3: 
a, Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1
CMR: b+c 16abc
b, Cho 0 < a, b, c, d < 1. CMR có ít nhất một bất đẳng thức sai trong các bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 1
8c(1-d) > 1
3b(1-c) > 2
32d(1-a) > 3
Câu 4:
Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1
Câu 5: 
a, Tìm nghiệm nguyên tố của PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + 1 là số chính phương.
Câu 6:
Tìm số có 2 chữ số mà số ấy là bội số của tích hai chữ số của nó.
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (BC// AD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD; Gọi E, F là trung điểm của AD, BC
CMR: E, O, F thẳng hàng.
----------------------- hết ----------------------
đề 12 (54)
Câu 1:
Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x+3 dư 1
f(x) chia cho x-4 dư 8
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thương là 3x và dư
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử:
A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b, Cho: 
CMR: 
Câu 4:
CMR: ++.....+ < Với nN và n1
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: M = (x≠0; y≠0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phương trình sau không có nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đường vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF DE
b, CMR: CM = EF; CM EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
----------------------- hết ----------------------
đề 13 (55)
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-)(1-).....(1-)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b-a) = 4a2
Tính M = 
Câu 2:
a, Cho a, b, c > o
CMR: + + 
b, Cho ab 1
CMR: + 
Câu 3: 
Tìm x, y, z biết:
x+2y+3z = 56 và ==
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A = 
Câu 5:
Giải BPT: mx2 – 4 > 4x + m2 – 4m
Câu 6:
a, Tìm số nguyên dương x thoả mãn: x(x+1) = k(k+2) 
k là số nguyên dương cho trước.
b, Tìm nghiệm nguyên của PT: 2x-5y-6z =4.
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD, Về phía ngoài hình vuông trên cạnh BC vẽ đều, về phía trong hình vuông trên cạnh AB vẽ đều.
CMR: D, E, F thẳng hàng.
----------------------- hết ----------------------
Đề 14 (56)
Câu 1:
Cho A = (
a, Tìm TXĐ của A
b, Tìm x, y để A > 1 và y < 0.
Câu 2: 
a, Giải PT: x4 + 2x3 – 2x2 + 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 – mx < 2(x-m) – (m+1)2
Câu 3:
Cho a, b, c > 0
CMR: 
Câu 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không là số chính phương với nN và n >1
Câu 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b thoả mãn 
Xác định f(x)
Câu 6:
Cho x, y > 0 thoả mãn xy= 1
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 7: 
Cho hình thang ABCD (AD//BC). M, N là trung điểm của AD, BC. Từ O trên MN kẻ đưởng thẳng song song với AD cắt AB, CD tại E và F.
CMR: OE = OF
đề 15 (57)
Câu 1:
Cho xyz = 1 và x+y+z = = 0
Tính giá trị M = 
Câu 2: 
Cho a ≠ 0 ; 1 và 
Tìm a nếu x1997 = 3
Câu 3:
Tìm m để phương trình có nghiệm âm: 
Câu 4:
Với nN và n >1
CMR: 
Câu 5:
Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1
Tìm giá trị M biết: xy = 1 và đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Tìm x, y N biết: 2x + 1 = y2
Câu 7:
Cho (AB < AC). AD, AM là đường phân giác, đường trung tuyến của . Đường thẳng qua D và vuông góc với AD cắt AC tại E
So sánh S và S
----------------------- hết ----------------------
Đề 16 (58)
Câu 1:
Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
CMR: với abc ≠ 0
Câu 2:
Cho abc ≠ 0 và 
CMR: 
Câu 3:
Cho a, b, c là 3 số dương và nhỏ hơn 1
CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn 
Câu 4:
Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + 4 = 0 và xy > 0
Tìm giá trị lớn nhất A = 
Câu 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 không có nghiệm nguyên.
b, Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích của chúng
Câu 6:
Cho nN và n >1
CMR: 1 +
Câu 7:
Cho về phía ngoài vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của vuông góc với EF và AI = EF
Câu 8: 
CMR: là p ... âu 1:
Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = 0 và ab+bc+ca = 0
Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001
Câu 2: 
Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. CMR: 
Nếu : x2 – yz = a
y2 – zx = b
z2 – xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
a, Cho nN, CMR: A = 10n + 18n – 1 chia hết cho 27.
b, CMR: n5m – nm5 chia hết cho 30 với mọi m,n Z.
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của M = 
b, Tìm giá trị lớn nhất của: N = 
Câu 5: 
Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của 1 tam giác. Xác định dạng của tam giác để:
A = đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD. Tứ giác MNPQ có 4 đỉnh thuộc 4 cạnh của hình vuông (MAB; NBC; PCD; QDA)
a, CMR: 
b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.
c, Xác định M, N, P, Q để đạt giá trị nhỏ nhất.
---------------------- hết ----------------------
đề 34 (76)
Câu 1:
Phân tích số 1328 thành tổng của 2 số nguyên x, y sao cho:
x chia hết cho 23, y chia hết cho 29. Tính x, y khi x-y = 52.
Câu 2:
Cho f(x) = 
a, Phân tích f(x) thành tích.
b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 với mọi x Z.
Câu 3:
Có bao nhiêu số với thoả mãn abc là số chẵn.
Câu 4:
Cho , trung tuyến AM. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc AB, AC sao cho ME = MF.
CMR: là tam giác cân tại đỉnh A trong các trường hợp:
a, ME, MF là phân giác trong của 
b, ME, MF là trung tuyến của 
----------------------- hết ----------------------
đề 35 (77)
Câu 1:
a, Cho các số a, b, c là 3 số khác nhau.
CMR: 
b, Tìm x, y, z biết:
x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz.
Câu 2:
Giải PT:
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhất.
A = (x, y, z > 0; xyz = 1).
Câu 4:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x(x2+x+1) = 4y(y+1)
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh là a. Lấy M AC, kẻ ME AB, MF BC. Tìm vị trí của M để nhỏ nhất.
Câu 6:
Cho có = 500; = 200. Trên phân giác BE của lấy F sao cho = 200. Gọi I là trung điểm AF, nối EI cắt AB tại K và CK cắt EB tại M.
CMR: AI2 + EI2 = EA + (MF + ).
----------------------- hết ----------------------
Đề 36 (78)
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tìm giá trị B = a4+b4+c4.
b, Cho x > 0 và x2+ = 7.
CMR: x5 + là số nguyên.
Câu 2:
Cho a, b, c > 0. CMR: 
Câu 3:
Cho a, b, c > 0 và a+b+c = 1. 
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = 
Câu 4:
Xác định a, b sao cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2.
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
Câu 6: 
CHo , trung tuyến AM. Qua D thuộc BC vẽ đường song song với AM cắt AB, AC tại E, F.
a, CMR: Khi D di động trên BC thì DE + DF có giá trị không đổi.
b, Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt EF tại K.
CMR: K là trung tuyến của EF.
Đề 37 (79)
Câu 1: 
Cho S = (n+1)(n+2).....(n+n)
CMR: Với mọi n N thì S chia hết cho 2n.
Câu 2:
Cho f(x) = x2+nx+b thoả mãn: khi .
Xác định f(x).
Câu 3:
Cho: 
CMR: 
Câu 4:
Tìm số A có 2 chữ số sao cho 4 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng, 2 mệnh đề sai:
a, A chia hết cho 5
c, A + 7 là số chính phương
b,A chia hết cho 23
d, A – 10 là số chính phương
Câu 5: 
Cho tứ giác lồi ABCD. CMR: AD.BC + DC.AB AC.BD
Câu 6:
Cho , O là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng AO, BO, CO cắt các cạnh của tại A1, B1, C1. 
Tìm vị trí của O để: P = đạt giá trị nhỏ nhất.
----------------------- hết ----------------------
Đề 38 (80)
Câu 1:
a, Giải PT: 
b, Tìm các số a, b, c, d, e biết: 
2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e)
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
1+x+x2+x3 = y3
Câu 3:
a, Với điều kiện nào của x thì A tối giản, không tối giản.
A = 
b, CMR: Nếu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z;
Thì ax + by + cz chia hết cho x+y+z
Câu 4:
Cho góc vuông xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH. Ex cắt FG, GH tại M, N; Ey cắt FG, GH tại P, Q
a, CMR: vuông cân
b, Gọi R là giao của PN, QM. Gọi I, K là trung điểm của NP. QM. Tứ giác EKRI là hình gì?
c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng.
Câu 5:
Cho có diện tích là S. Trên AB lấy BB1 = AB. Trên BC lấy CC1 = BC, trên AC lấy AA1 = AC.
Tìm tỷ số và theo S.
----------------------- hết ----------------------
	đề 39 (81)
Câu 1:
a, Tìm các số a, b, c, d biết:
a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+ = 0.
b, CMR: Với mọi n N; n > 0 thì :
A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + 1 không là số chính phương
Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên của PT:
x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992.
Câu 3:
Cho x, y, z, t > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 
Câu 4:
a, Cho a, b, c đôi một khác nhau. CMR: Trong các BĐT sau có ít nhất một BĐT là sai.
(a+b+c)2 9ab; (a+b+c)2 9bc; (a+b+c)2 9ac.
b, Cho n N; n > 0.
CMR: 
Câu 5:
Cho , từ D trên AB kẻ Dx//BC cắt AC tại E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx tại F. AC cắt BF tại I.
a, Chứng tỏ ta có thể chọn vị trí D để BF là phân giác góc 
b, CMR: Nếu D là trung điểm của AB thì CI = 2IE.
c, Với D là điểm bất kỳ trên AB. CMR: IC2 = IE.IA.
----------------------- hết ----------------------
Đề 40 (82)
Câu 1:
Tìm tổng Sn = 7 + 77 +....+ 
 (n chữ số)
Câu 2:
CMR: S = 1+2+3+....+n (n N) có tận cùng là 0, 1, 3, 5, 6 hoặc 8.
Câu 3: 
a, CMR: 12 + 22 + .... + n2 = 
b, CMR: Với n N thì: là số nguyên.
Câu 4:
CMR: Nếu n Z thì:
 là số nguyên tố.
Câu 5: 
Cho a, b, c > 0 
CMR: 
Câu 6: 
Cho vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Từ M vẽ góc 450, hai cạnh của góc cắt AB, AC tại E, F.
a, Xác định vị trí của E, F để đạt giá trị lớn nhất.
b, lớn nhất là bao nhiêu?
----------------------- hết ----------------------
đề 41 (83)
Câu 1:
a, Cho a+b+c = 0.
CMR: 
b, CMR với mọi x, y Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 là số chính phương.
Câu 2:
Tìm số nguyên x, y, z thoả mãn:
x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3
Câu 3: 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: y = 
Câu 4:
Tìm x, y Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2
Câu 5: 
CMR: A = 10n + 18n -1 chia hết cho 27 (n N)
Câu 6: 
Cho , trên BC, CA, AB lấy M, N, P sao cho:
 và kẻ các đoạn AM, BN, CP.
Tìm diện tích tam giác tạo bởi các đoạn AM, BN, CP. Biết 
Câu 7: 
Tìm số nguyên x, y : 
Đề 42 (84)
Câu 1:
 Cho 3 số x, y, z: xyz = 1; và 
CMR: Có đúng 1 trong 3 số lớn hơn 1.
Câu 2:
Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời:
x+y 25
y 2x+18
y x2+4x
Câu 3:
Giải PT: 
Câu 4:
Cho 3 số a, b, c thoả mãn: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2)
Chứng minh rằng: Tồn tại tam giác mà có độ dài 3 cạnh là a, b, c.
Câu 5:
Cho 2 đường thẳng ox, và oy vuông góc với nhau, cắt nhau tại O. Trên Ox lấy về 2 phía của điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm. Gọi M là điểm nằm trên đường trung trực của AB. MA, MB cắt Oy ở C, và D. Gọi E là trung điểm CA; F là trung điểm của DB.
a, CMR: đồng dạng và tìm tỷ số đồng dạng.
b, CMR: OEFM là hình bình hành.
c, Đường thẳng EF cắt Ox tại P. CMR: P là điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng trung trực AB.
d, Cho MH = 3cm, tứ giác OFME là hình gì?
----------------------- hết ----------------------
Đề 43 (85)
Câu 1:
Cho a, b, c là ba số phân biệt thoả mãn: 
CMR: 
Câu 2:
Cho a, b, c 0 và 
CMR: xa2 + yb2 + zc2 = 0.
Câu 3:
Giải PT: 
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680.
b, 
Câu 4:
Cho a, b, c thoả mãn: 
CMR: abc.
Câu 5:
Cho a, y, z 0 và x, y , z Z thoả mãn: a+by36 và 2x+3z72.
CMR: Nếu b 3 thì x+y+z nhận giá trị lớn nhất là 36.
Câu 6:
Cho hình vuông OCID có cạnh là a. AB là đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt tia OC, OD tại A, và B.
a, CMR: CA.DB có giá trị không đổi (theo a).
b, 
c, Xác định vị trí A, B sao cho DB = 4CA.
d, Cho . Tính CA + DB theo a.
----------------------- hết ----------------------
Đề 44 (86)
Câu 1:
Cho a > b > 0. So sánh A, B:
A = 
Câu 2:
a, Cho x+y+z = 0 
CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
b, Cho a, b, c 0. 
Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003. Biết z, y, z: 
Câu 3:
a, Cho a, y, z 
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; và abc > 0.
CMR: Cả 3 số đều dương.
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 – 10x10 +10.
Câu 5:
Với giá trị nào của A thì PT:
 có nghiệm duy nhất.
Câu 6:
Cho đường thẳng d//BC cắt AB, AC tại D, E.
a, CMR: Với mọi điểm F trên BC luôn có không lớn hơn 
b, Xác định vị trí D, E để lớn nhất.
----------------------- hết ----------------------
Đề 45 (88).
Câu 1:
a, Cho 
CMR: (với n là số nguyên dương lẻ; a, b, c 0)
b, Cho abcd = 1. Tính giá trị:
M = 
Câu 2: 
Cho a, b > 0.
Tìm giá trị nhỏ nhất: P = 
Câu 3:
a, Cho a, b Q và a, b không đồng thời bằng không. 
CMR: 
b, Cho a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 1
CMR: 
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên của PT: 
a, xy – 2 = x + y
b, 3xy + x – y = 1
Câu 5:
Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = 0
Câu 6:
Cho có đường cao là AA1, BB1, CC1, hình chiếu của A1 lên AB, AC BB1, CC1 là H, I, K, P.
CMR: H, I, K, P thẳng hàng.
----------------------- hết ----------------------
Đề 47 (90)
Câu 1:
Cho a, b, c ; a3+b3+c3 = 3abc
Tính giá trị biểu thức: P = 
Câu 2:
a, Tìm giá trị lớn nhất của M = 
b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59.
Câu 3:
Cho a+b+c+d = 1
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd 
b, Cho 3 số dương a, b, c đều nhỏ hơn 1. CMR: có ít nhất 1 mệnh đề sau là sai:
a(1-b) > ; b(1-c) > ; c(1-a) > 
Câu 4:
a, Tìm x, y : x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4
b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 +.....+ n(n+1)(n+2)
CMR: 4N+1 là số chính phương với mọi nZ+
c, Tìm nghiệm nguyên dương của PT: x2 – (x+y)2 = -(x+y)2
Câu 5:
Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3.
Câu 6:
Cho O là trực tâm của (có 3 góc nhọn). Trên OB, OC lấy B1, C1 sao cho:
 = . 
CMR: AB1 = AC1
----------------------- hết ----------------------
Đề 49 (92)
Câu 1: 
a, CMR: Nếu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2
thì x = y = z.
b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c.
Tính P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1)
Câu 2:
Tìm x để: P = đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3:
CMR: với n; n > 0.
Câu 4: 
Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2(x+y+z) + y = 3xyz.
Câu 5:
Cho , trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm , một cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC tại M, N.
CMR: 
Câu 6:
Cho , một hình chữ nhật MNPQ thay đổi sao cho: MAB; NAC; 
PBC, QBC.
Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ
----------------------- hết ----------------------
Đề 50 (93)
Câu 1:
a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c.
CMR: a3-3ab+2c = 0.
b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau đúng với mọi x.
Câu 2:
Cho a, b, c . Giải PT:
Câu 3:
a, Cho a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác.
CMR: 
b, Cho a, b, c là số tự nhiên không nhỏ hơn 1.
CMR: 
Câu 4: 
Cho x, y, z thoả mãn: xy+yz+zx = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x4+y4+z4
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên của PT: 5x – 3y = 2xy – 11
Câu 6: 
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Giao điểm của AC, BD là O, đường thẳng qua O và song song AB cắt AD, BC tại M, N.
a, CMR: 
b, Cho Tính 
c, Tìm điểm K trên BD sao cho đường thẳng qua K và song song AB bị hai cạnh bên và 2 đường chéo chia thành 3 đoạn bằng nhau.