Một số phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học lớp 7

Phần I - Đặt vấn đề
Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay.
Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân.
Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. 
Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán. 
Phần II - Nội dung đề tài
I/ Những lý do chọn đề tài.
Trong khi tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp một số bài toán mà nếu không vẽ thêm đường phụ thì có thể bế tắc. Nếu biết vẽ thêm đường phụ thích hợp tạo ra sự liên hệ giữa các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng hơn. Thậm chí có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào để có lợi cho việc giải toán là điều khó khăn và phức tạp.
Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung nhất cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà là một sự sáng tạo trong trong khi giải toán, bởi vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để giải được bài toán một cách ngắn gọn chứ không phải là một công việc tuỳ ttieen. Hơn nữa, việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản, nhiều khi người giáo viên đã tìm ra cách vẽ thêm yếu tố phụ nhưng không thể giải thích rõ cho học sinh hiểu được vì sao lại phải vẽ như vậy, khi học sinh hỏi giáo viên: Tại sao cô (thầy) lại nghĩ ra được cách vẽ đường phụ như vậy, ngoài cách vẽ này còn có cách nào khác không? hay: tại sao chỉ vẽ thêm như vậy mới giải được bài toán?  gặp phải tình huống như vậy, quả thật người giáo viên cũng phải rất vất vả để giải thích mà có khi hiệu quả cũng không cao, học sinh không nghĩ được cách làm khi gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các căn cứ cho việc vẽ thêm yếu tố phụ. Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta nên trang bị cho các em nhưng cơ sở của việc vẽ thêm đường phụ và một số phương pháp thường dùng khi vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết một bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải, chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
ii/ Những cơ sở của việc vẽ thêm yếu tố phụ.
I - Cơ sở lý luận.
Việc vẽ thêm các yếu tố phụ phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và một số bài toán dựng hình cơ bản. Sau đây là một số bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình THCS:
Bài toán 1: Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a; b; c.
Giải:
A
x
C
B
b
a
c
c
b
a
Cách dựng: 
- Dựng tia Ax.
Dựng đường tròn(A; b). Gọi C là giao điểm của đường tròn ( A; b) với tia Ax.
dựng đường tròn (A; c) và đường tròn (C; a), gọi B là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác phải dựng vì có AB = c; AC = b; BC = a.
Chú ý: Nếu hai đường tròn ( A; c) và ( C; a) không cắt nhau thì không dựng được tam giác ABC.
Bài toán 2: Dựng một góc bằng góc cho trước.
Cách dựng: 
Gọi xOy là góc cho trước. Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox ở A và cắt Oy ở B ta được DOAB.
y
x
O
A
B
y
x
O
A
B
Dựng DO’A’B’ = DOAB ( c- c- c) như bài toán 1, ta được .
O’
A’
B’
Bài toán 3: Dựng tia phân giác của một góc xAy cho trước.
Cách dựng:
Dựng đường tròn ( A; r) cắt Ax ở B và cắt Ay ở C.
Dượng các đường tròn ( B; r) và ( C; r) chúng cắt nnhau ở D. Tia phân giác phân giác của xAy.
x
y
z
A
B
C
D
r
r
r
r
1
2
Thật vậy: DABD = DACD ( c- c- c) ị 
I - Cơ sở thực tế
Ta đã biết nếu hai tam giác bằng nhau thì suy ra được các cặp cạnh tương ứng bằng nhau, các cặp góc tương ứng bằng nhau. Đó chính là lợi ích của việc chứng minh hai tam giác bằng nhau.
Vì vậy muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hay hai góc bằng nhau) ta thường làm theo các bước sau:
Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào?
Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó bằng nhau.
Bước 3: Từ hai tam giác bằng nhau, suy ra cặp cạnh ( hay cặp góc) tương ứng bằng nhau.
Tuy nhiên trong thực tế giải toán thì không phải lúc nào hai tam giác cần có cũng được cho ngay ở đề bài mà nhiều khi phải tạo thêm các yếu tố phụ mới xuất hiện được các tam giác cần thiết và có lợi cho việc giải toán. Vì vậy yêu cầu đặt ra là làm thế nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm được các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học 7 nói riêng. Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ được một số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, khi hướng dẫn học sinh thực hiện giải toán rất hiệu quả.
phần III: một số phương pháp vẽ yêú tố phụ.
Bây giờ chúng ta cùng nghiên cứu một số cách đơn giản nhất, thông dụng nhất để vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán Hình học 7: 
Cách 1: Vẽ trung điểm của một đoạn thẳng, vẽ tia phân giác của một góc.
Bài toán 1: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) thì DH = 4cm.
Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.
1) Phân tích bài toán:
Bài cho tam giác ABC có AB = 10 cm; BC = 12 cm, D là trung điểm của cạnh AB. Vẽ DH vuông góc với BC( H ẻ BC) và DH = 4cm.
Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân tại A.
2) Hướng suy nghĩ:
A
B
C
H
K
D
DABC cân tại A Û AB = AC. Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm của AB. Vậy yếu tố phụ cần vẽ là trung điểm của BC.
A
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = 10cm;
BC = 12 cm; ; DH ^ BC
DH = 4 cm
KL
D ABC cân tại A.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC =cm.
Lại có: BD == 5 cm ( do D là trung điểm của AB)
Xét D HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2
ị BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = 9 ị BH = 3 ( cm)
Từ đó: BD = DA; BH = HK ( = 3 cm)
ị DH // AK ( đường nối trung điểm 2 cạnh của tam giác thì song song với cạnh thứ 3).
Ta có: DH ^ BC, DH // AK ị AK ^ BC.
Xét D ABK và DACK có:
BK = KC ( theo cách lấy điểm K)
AKB = AKC = 900
AK là cạnh chung
ị D ABK = DACK (c – g – c)
ị AB = AC ị D ABC cân tại A.
4) Nhận xét: 
Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC bằng cách tạo ra hai tam giác bằng nhau chứa hai cạnh AB và AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh còn sử dụng thêm một bài toán phụ là: Trong một tam giác , đường thẳng đi qua trung điểm cạnh thứ nhất và cạnh thứ hai thì song song với cạnh thử ba, kiến thức về đường trung bình này học sinh sẽ được nghiên cứu trong chương trình toán 8 nhưng ở phạm vi kiến thức lớp 7 vẫn có thể chứng minh được, việc chứng minh dành cho học sinh khá giỏi, trong bài này có sử dụng kết quả của bài toán mà không chứng minh lại vì chỉ muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ.
Cách 2: Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
Bài toán 2: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán 7 tập 2)
1) Phân tích bài toán:
Bài cho Tam giác ABC vuông tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: 
2) Hướng suy nghĩ: 
B
A
C
M
D
1
1
2
Ta cần tạo ra đoạn thẳng bằng 2.AM rồi tìm cách chứng minh BC bằng đoạn thẳng đó. Như vậy dễ nhận ra rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
3) Chứng minh:
GT
DABC; ;
AM là trung tuyến
KL
 Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA.
Xét D MAC và D MDB ta có:
MA = MD ( theo cách lấy điểm D)
M1 = M2 ( vì đối đỉnh)
MB = MC ( Theo gt)
ị D MAC = D MDB ( c - g - c) 
ị AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1)
và (2 góc tương ứng).
ị AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
Lại có: AC ^ AB ( gt) 
ị AC ^CD (Quan hệ giữa tính song song và vuông góc) hay (2)
Xét D ABC và D CDA có:
AB = CD ( Theo (1))
( Theo (2))
AC là cạnh chung
ị D ABC = D CDA ( c – g – c) 
ị BC = AD (2 cạnh tương ứng) Mà ị 
4) Nhận xét: 
Trong cách giải của bài tập trên, để chứng minh ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó . Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Trên một tia cho trước, đặt một đoạn thẳng bằng một đoạn thẳng khác là một trong những cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp bằng nhau của tam giác.
Cách 3: Nối hai điểm có sẵn trong hình hoặc vẽ thêm giao điểm của hai đường thẳng.
B
A
C
D
Bài toán 3: Cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. CMR: AB = CD, AC = BD? ( Bài 38/ 124 SGK Toán 7 tập 1)
( Bài toán còn được phát biểu dưới dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bị chắn giữa hai đường thẳng song song thì bằng nhau)
1) Phân tích bài toán:
 Bài cho hình vẽ, biết AB // CD; AC // BD. 
Yêu cầu chứng minh: AB = CD, AC = BD.
2) Hướng suy nghĩ:
để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo ra tam giác chứa các cặp cạnh trên, yếu tố phụ cần vẽ là nối B với C hoặc nối A với D.
B
A
C
D
3) Chứng minh:
GT
AB // CD; AC // BD
KL
AB = CD; AC = BD
Xét D ABD và D DCA có:
BAD = CDA ( so le trong AB // CD)
AD là cạnh chung
ADB = DAC( so le trong AC // BD)
ị D ABD = D DCA ( g – c – g)
AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng)
4) Nhận xét: 
Việc nối AD làm xuất hiện trong hình vẽ hai tam giác có một cạnh chung là AD, muốn chứng minh AB = CD; AC = BD ta chỉ cầnm chứng minh D ABD = D DCA. Do hai tam giác này đã có một cạnh bằng nhau( cạnh chung) nên chỉ cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó bằng nhau là vận dụng được trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc. Điều này thực hiện được nhờ vận dụng tính chất của hai đường thẳng song song.
Cách 4: Từ một điểm cho trước, vẽ một đường thẳng song song hay vuông góc với một đường thẳng. 
Bài toán 4: Tam giác ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. 
Chứng minh rằng D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều?
1) Phân tích bài toán: 
Bài cho D ABC có đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành ba góc bằng nhau. Yêu cầu ta chứng minh D ABC là tam giác vuông và D ABM là tam giác đều.
 2)Hướng suy nghĩ: 
Muốn chứng minh tam giác ABC vuông tại A ta cần kẻ thêm đường thẳng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy suy ra AB ^ AC và suy ra A = 900.
I
A
B
C
H
M
1
2
3
2
1
3) Chứng minh: 
GT
D ABC; AH ^BC; 
trung tuyến AM;
KL
D ABC vuông ;
D ABM đều
Vẽ MI ^ AC ( I ẻ AC)
Xét D MAI và D MAH có:
( gt)
AM là cạnh chung) ị D MAI = D MAH ( cạnh huyền – góc nhọn)
 (gt) ị MI = MH ( 2 cạnh tương ứng) (1)
Xét D ABH và D AMH có:
( gt)
AH là cạnh chung ị D ABHI = D AMH ( g – c - g)
( gt)	 ị BH = MH ( 2 cạnh tương ứng) (2)
Mặt khác: H ẻ BM , Từ (1) và (2) ị 
 Xét D vuông MIC có: nên từ đó suy ra: HAC = 600 .
ị .
Vậy D ABC vuông tại A.
Vì ; 
Lại có AM = ( tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
 D ABM cân và có 1 góc bằng 600 nên nó là tam giác đều.
4) Nhận xét: 
Trong bài toán trên nếu chỉ có các yếu tố bài ra thì tưởng chừng như rất khó giải, tuy nhiên, chỉ bằng một đường vẽ thêm ( MI ^ AC) thì bài toán lại trở lên rất dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán hình học.
Cách 6: Phương pháp “ tam giác đều”
Đây là một phương pháp rất đặc biệt, nội dung của nó là tạo thêm được vào trong hình vẽ các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau giúp cho việc giải toán được thuận lợi. Ta hãy xét một bài toán điển hình:
Bài toán 6: Cho tam giác ABC cân tại A, A = 200. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = BC. Chứng minh rằng DCA = .
1) Phân tích bài toán:
Bài cho DABC cân tại A, A = 200 ; AD = BC ( D ẻAB)
A
B
C
D
M
Yêu cầu chứng minh: DCA = .
2) Hướng suy nghĩ: 
đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, 
suy ra góc ở đáy là 800. 
Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của 
tam giác đều ị Vẽ tam giác đều BMC
3) Chứng minh:
GT
DABC; AB = AC; A = 200
AD = BC (D ẻAB)
KL
DCA = .
Ta có: DABC; AB = AC; A = 200 ( gt)
Suy ra: 
Vẽ tam giác đều BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), 
ta được: AD = BC = CM.
D MAB = D MAC ( c - c - c) ị MAB = MAC = 200 : 2 = 100
 ABM = ACM = 800 – 600 = 200
Xét DCAD và DACM có:
AD = CM ( chứng minh trên)
CAD = ACM ( = 200)
AC là cạnh chung
ị DCAD = DACM ( c – g – c )
ị DCA = MAC = 100, do đó: DCA = BAC.
4) Nhận xét:
1- đề bài cho tam giác cân ABC có góc ở đỉnh là 200, suy ra góc ở đáy là 800. Ta thấy 800 – 200 = 600 là số đo mỗi góc của tam giác đều. Chính sự liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác đều BCM vào trong tam giác ABC. Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác đều như vậy giúp ta có mối quan hệ bằng nhau giữa AD với các cạnh của tam giác đều giúp cho việc chứng minh tam giác bằng nhau dễ dàng.
2- Ta cũng có thể giải bài toán trên bằng cách vẽ tam giác đều kiểu khác:
- Vẽ tam giác đều ABM ( M và C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB).
- Vẽ tam giác đều ACM ( M và B cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AC).
- Vẽ tam giác đều ABM(M và C thuộc hai nửanửa mặt phẳng đối nhau bờ AC).
 Ngoài ra còn những cách vẽ tam giác đều khác cũng giúp ta tính được góc DCA dẫn tới điều phải chứng minh, các cách khác còn tuỳ thuộc vào sự sáng tạo của mỗi người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học.
phần III - Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị
 sau quá trình thực hiện đề tài
 Các bài toán hình học có lời giải cần phải kẻ thêm đường phụ tuy là bài toán khó nhưng lại là những bài toán hay, nó giúp cho tư duy logic của học sinh phát triển, giúp rèn luyện cùng một lúc nhiều thao tác tư duy cho học sinh.
 Đây là đề tài nghiên cứu có thể nghiên cứu ở phạm vi rộng, hẹp tùy ý và đề tài này mang tính ứng dụng rộng rãi trong các trường THCS.
 Khi áp dụng đề tài này giáo viên cần phải lưu ý là trước hết phải giúp học sinh nắm vững được các yêu cầu về vẽ (dựng) các đường phụ sau đó mới phân dạng bài toán và đưa ra hướng dẫn một số bài toán cụ thể theo từng dạng đã chia. Việc củng cố kĩ cho học sinhvề phép dựng hình cơ bản là rất cần thiết trong nội dung thực hiện .
 Do điều kiện, thời gian và suy nghĩ của tôi còn hạn chế nên đề tài chưa nghiên cứu được ở phạm vi rộng và cũng chưa thể trình bầy được hết các phương pháp dạy đối với các dạng bài toán đã nêu do giới hạn của đề tài .
 Rất mong Hội đồng giám khảo nhận xét, đánh giá và đóng góp ý kiến bổ chân thành cho tôi để bài viết của tôi hoàn chỉnh hơn. Từ đó tôi có thể khắc phục và bổ xung kịp thời những tồn tại, giúp việc nghiên cứu và triển khai đề tài này vào những năm học sau đạt được kết quả cao hơn.
 Tôi mong muốn Nhà trường, Phòng Giáo Dục cùng Sở Giáo Dục mở nhiều chuyên đề hơn nữa về môn toán để chúng tôi được học tập những kiến thức và phương pháp giảng dạy mới, khoa học, nhằm nâng cao trình độ và tay nghề. Tôi cũng mong muốn Nhà trường, Phòng Giáo Dục cùng Sở Giáo Dục cho triển khai ứng dụng các chuyên đề ứng dụng CNTT, để thầy và trò phát huy được tối đa tính tích cực và khả năng truyền đạt, lĩnh hội đầy đủ kiến thức trong dạy - học.
 Tôi xin chân thành cảm ơn!
 Tân Dân, ngày 8 tháng 5 năm 2010
 	 Tác giả
Nhận xét, đánh giá, xếp loại của	 
 Hội đồng khoa học cơ sở.	
 ( Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu)	 Nguyễn Thị Hân