Ôn tập Đại số 7 - Chương IV: Biểu thức đại số

Chương IV: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
 § 1. BIỂU THỨC ĐẠI SỐ . GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
1. Kiến thức cơ bản :
 - Một biểu thức đại số gồm các số hoặc các chữ và các phép toán trên các số và chữ đó.
 - Những chữ trong biểu thức đại số có thể là hằng số ( thường dùng các chữ a, b, c , ) , có thê là biến số ( thường dùng các chử x, y, z ,  ) 
 - Một biểu thức đại số không chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức nguyên.
 - Một biểu thức đại số chứa biến ở mẫu gọi là biểu thức phân.
 - Khi thay các biến trong một biểu thức đại số bằng những số đã cho, ta được một biểu thức số. Kết quả nhận được khi thực hiện các phép tính trong biểu thức số đó gọi là giá trị của biểu thức đại số tại các giá trị cho trước của các biến.
 - Giá trị thích hợp của các biến là tập hợp những giá trị của biến số sao cho các phép tính trong biểu thức luôn thực hiện được.
 - Một biểu thức đại số nguyên xác định tại mọi giá trị của biến.
 - Một biểu thức phân không xác định tại những giá trị của biến làm cho mẫu bằng 0.
BÀI TẬP :
1. Trong các biểu thức đại số sau đây đâu là biểu thức nguyên, đâu là biểu thức phân (với x, y là biến; a, b là hằng).
a) 2x(y2 + 2) + x2 - y2 ;	b) ;	c) ; d) .
2. Hãy thay x = 2; y = -1 vào các biểu thức đại số sau rồi tính kết quả:
a) ;	b) .
3.Tính giá trị của biểu thức : A = x2 + 4xy – 3y2 , với | x | = 5 ; | y | = 1.
4. Cho x – y = 9 , Tính giá trị của thức B = ( với x y ; y 3x ) .
5. Cho A là tổng lập phương các số tự nhiên từ 1 đến n và B là bình phương của tổng các số tự nhiên từ 1 đến n . Người ta đã Chứng minh được rằng A = B . 
 Bạn hãy kiểm nghiệm lại bằng cách cho n = 4 , n = 5 , n = 6 .
6. Xác định giá trị của biến để các biểu thức sau có nghĩa : 
7. Tính giá trị của thức đại số : M = tại a) x = 1 ;; b) | x | = 3 .
8. Tính giá trị của thức P = 9x2 – 7 x | y | – 7 x | y | y3 tại x = ; y = 6 .
9. Tìm giá trị của biến để : 
a) Biểu thức ( x + 1 ) ( y2 – 6 ) có giá trị bằng 0 .
b) Biểu thức x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7 .
10. Tính giá trị của biểu thức A = 
11. Cho x, y, z 0 vaø x – y – z = 0 , tính giá trị của biểu thức B = .
12. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C = ( x + 2 )2 + ( y – )2 – 10 .
 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : D = 
13. Cho biểu thức E = . Tìm các giá trị nguyên của x để : 
a) E có giá trị nguyên b) E có giá trị nhỏ nhất .
14. Cho f(x) = ax + b trong đó a, b . Chứng minh không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35 .
15. Tính giá trị của biểu thức: C = (x2 1)(x2 2)(x2 3) ... (x2 2000) với x = 10.
16. Cho hai biểu thức: 	A = và B = ;
a) Tìm giá trị nguyên của x để mỗi biểu thức có giá trị nguyên.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để cả hai biểu thức cùng có giá trị nguyên.
§ 2. ĐƠN THỨC . TÍCH CÁC ĐƠN THỨC. BẬC CỦA ĐƠN THỨC
1. Kiến thức cơ bản :
* Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến ( lưu ý số mũ của biến không âm ) 
* Muốn tính tích của hai đơn thức ta nhân các hệ số với nhau ; nhân phần biến với nhau rồi thu gọn phần biến .
* Thu gọn đơn thức :
- Dấu duy nhất là "+" nếu đơn thức không chứa dâu "" nào hay chứa một số chẵn lần dấu ""; dấu duy nhất là "" trong trường hợp ngược lại.
- Nhóm các thừa số là số cụ thể hay là các hằng và nhân chúng với nhau.
- Nhóm các, xếp chúng theo thứ tự các chữ cái và dùng kí hiệu lũy thừa để viết tích các chữ cái giống nhau.
* Bậc của đơn thức đã thu gọn .
- Bậc của đơn thức đối với một biến là số mũ của biến đó .
- Bậc của đơn thức với hệ số khác 0 là tổng các số mũ của các bến có trong đơn thức .
Đặc biệt : Mỗi số thực khác 0 là đơn thức bậc 0 .
Số 0 là đơn thức không có bậc ,
Bổ sung : Lũy thừa của một đơn thức : Khi nâng đơn thức lên lũy thừa với bậc n ( n ) thì hệ số của đơn thức được nâng lên với lũy thừa bậc n , còn số mũ của mỗi biến được nhân lên với n .
Ví dụ: Cho biểu thức A = 
Trong các trường hợp sau, trường hợp nào biểu thức A là đơn thức ? Trong trường hợp đó hãy cho biết hệ số và bậc của đơn thức với mỗi biến số và đối với tập hợp các biến số .
a) a , b là hằng ; b) a là hằng c) b là hằng .
Giải : 
a) Nếu a, b là hằng thì A là đơn thức . Đơn thức A có hệ số là ; có bậc là 2 đối với x ; có bậc 5 đối với y ; có bậc 7 đối với tập hợp các biến .
b) Nếu chỉ có a là hằng số thì A không phải là đơn thức vì A có chứa các phép toán chia, phép cpng6 đối với biến b .
c) Nếu b là hằng số thì A là đơn thức . Đơn thức A có hệ số là , có bậc là 1 đối với a , có bậc là 2 đối với x ; có bậc là 3 đối với y và có bậc là 8 đối với tập hợp các biến .
Ví dụ 2: Cho các đơn thức A = x3y ; B = x5y3. 
Có các cặp giá trị nào của x và y làm cho a và b có cùng giá trị âm không ?
Giải : Xét tích A.B = với mọi x, y do đó A và B phải trái dấu ( hoặc có một thừa số bằng 0 ). Suy ra Không có cặp giá trị nào của x và y làm cho A và B cùng giá trị âm .
Nhận xét : Phương pháp giải ở trên là dựa vào quy tắc dấu của phép nhân : Tích hai số cùng dấu là một số dương . Ta xét tích A.B và thấy tích này không phải là một số dương nên A và B không thể cùng giá trị âm .
BÀI TẬP :
17. Trong các biểu thức sau đây:
	ax2yz3 ; (xy2)2 ; x2y ; 5(a + 2)xy2z3 .
Biểu thức nào là đơn thức nếu:
a) a là hằng số; x, y, z là biến số.
b) z là hằng số; a, x, y là biến số.
18. Cho các đơn thức với x, y, z là các biến; a, b là hằng số:
ax3yz2 ; 15x(3xy2)(2xy3z); (ax2y3)( abx3y2); (3abx2y2)( ax2y2z)( 3abx3yz3) .
a) Thu gọn các đơn thức trên.
b) Xác định hệ số của mỗi đơn thức.
19. Cho đơn thức với a là hằng số (a ¹ 0).
a) Tìm a để đơn thức luôn luôn không âm với mọi x, y.
b) Tìm a để đơn thức luôn luôn không dương với mọi x, y.
20. Xác định bậc của các đơn thức sau đối với từng biến số và đối với tập hợp các biến số ;(a, b là hằng số; x, y là biến số).
a) x2ya ;	b) ;	c) .
21. Tính tích các đơn thức sau:
a) ;	 b) ; m > n ³ m, n Î Z.
22. Trong các đơn thức sau, đơn thức nào có cùng bậc?
	A = ; B = ;
	C = a là hằng số ; 	D = ;
	E = .
23. Các đơn thức sau có thể có cùng giá trị dương được không?
a) -3xy2 và 2x3y2 ; 	b) x2y3 , -xy2 và 16x5y .
24. Cho đon thức A = Xác định xem chữ nào là hằng , chữ nào là biến để đơn thức A có bậc là : a) 22 b) 31 c) 8 .
25. Viết đơn thức B = 64 x6 y12 dưới dạng lũy thừa của một đơn thức .
26. Cho ba đơn thức M = 5xy , N = 11 x y2 ; P = x2 y5 . Chứng minh ba đơn thức này không thể có cùng giá trị dương .
§3. ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG . TỔNG VÀ HIỆU CÁC ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
1. Kiến thức cơ bản Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức sau khi thu gọn có phần biến giống nhau.
ĐẶC BIỆT : Mọi số thực đều là các đơn thức đồng dạng với nhau .
Để cộng hay trừ đơn thức đồng dạng ta cộng hay trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến.
2. Kiến thức Bổ sung: Để cộng ( hay trừ ) các đơn thức đồng dạng mà có chứa các chữ là hằng số thì ta đặt phần biến ra ngoài dấu ngoặc , trong ngoặc là tổng ( hay hiệu ) các hệ số .
BÀI TẬP:
27. Cho các đơn thức: 	ax2y ; 5ax2y4 ; a2x2y .
	Hãy xét xem các đơn thức nào là đồng dạng, nếu:
a) a là hằng số; x, y là biến số.
b) x là hằng số; a, y là biến số.
c) y là hằng số; a, x là biến số.
d) a, x là hằng số; y là biến số.
e) a, y là hằng số; x là biến số.
g) x, y là hằng số; a là biến số.
28. Cho các biểu thức:	x2y3 ; 2ax2y3 ; (a + 1)x2y3 ; y3 ; x2 .
a) Gọi a là hằng số; x, y là biến số thì trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đơn thức và các đơn thức có đồng dạng không?
b) Cũng hỏi như trên nếu a, x là hằng số, y là biến số; Nếu a, y là hằng số, x là biến số.
29. Tính:
a) ( 92x3y + 51x3y ) ( 105x3y 7x3y ) .
b) xy2z3 + xy2z3 6xy2z3 với a là hằng số khác 0. Xác định a để kết quả thu được luôn bằng 0 với mọi x, y, z.
30. Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) [a5(a)5]2 + [a2(a)2]5 = 0 . 	b) (1)n an + k = (a)n ak .
31. Cho đơn thức A = 5m ( x2y3 )2 ; B = trong đó m là hằng số dương .
a) Hai đơn thức A và B có đồng dạng không ? 
b) Tính hiệu của A và B 
c) Tính giá trị nhỏ nhất cua A – B . 	
32. Cho A = 8x5y3 ; B = 2x6y3 ; C = 6 x7y3 . Chứng minh Ax2 + Bx + C = 0 .
33. Chứng minh rằng với n * 
a) 8 . 2n + 2n + 1 có tận cùng bằng chữ số 0 .
b) 3n + 3 - 2 . 3n + 2n + 5 – 7 . 2n chia hết cho 25 ;
c) 4n + 3 + 4n + 2 4n + 1 – 4 n chia hết cho 300. 
34* . Viết tích 31 . 52 thành tổng của ba lũy thừa cơ số 5 với số mũ là ba số tự nhiên liên tiếp .
35. Cho A = . Tìm x, y, z biết A + B = 0 .
§4. ĐA THỨC . CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC .
1. Kiến thức cơ bản :
 Đa thức là tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tư của đa thức
Đặc biệt : mỗi đơn thức cũng là một đa thức ( chỉ có một hạng tử ) . 
Thu gọn đa thức: mọi đa thức đều có thể thu gọn thành tổng đại số của nhiều đơn thức từng đôi một không đồng dạng với nhau.
Muốn cộng ( hay trừ )các đa thức , ta thực hiện lần lượt các bước sau :
Bước 1: Viết các đa thức vào trong dấu ngoặc rồi nối chúng với nhau bằng dấu “+” ( hay dấu “” )
Bước 2: Bỏ dấu ngoặc ( theo quy tắc “dấu ngoặc” ) 
Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng nếu có.
Bậc của đa thức đã được thu gọn:
- Bậc của đa thức một biến là bậc của số hạng có bậc cao nhất đối với biến đó.
- Bậc của đa thức đối với tập hợp các biến là bậc của hạng tử có bậc cao nhất đối với tập hợp các biến.
2. Kiến thức bổ sung : 
 + Hai đa thức được gọi là đồng nhất nếu chúng có giá trị bằng nhau với mọi giá trị của biến kí hiệu là f(x) g(x) .
 + Hai đa thức ( viết dưới dạng thu gọn ) là đồng nhất thì mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong đa thức đó phải bằng nhau .
BÀI TẬP :
36. Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đa thức:
a) axy + x - xy(x + y) (a là hằng số; x, y là biến số).
b) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
c) (a, b là hằng số; x, y là biến số).
d) (y là hằng số; a, x, z là biến số).
e) ab2xy + + x2 + y2 (x, y là hằng số; a, b là biến số) .
37. Hãy viết các đa thức sau đây dưới dạng tổng các đơn thức. Thu gọn trong trường hợp có các đơn thức đồng dạng:
a) (a + 1)(xy + 1) + xy(x + y) + 1 a (a là hằng số).
b) xy(x2 + y2 + 1) 3x3y + 3xy3 3y(x + y) .
c) 3x(x2y + xy2) 7xy(x2 y2) + 2x2y2 3xy3 .
38. Tìm bậc của đa thức sau đối với mỗi biến x, y, z và đối với tập hợp các biến:
a) 6x7 15x2y3z5 2000xy3 7y6 + z8 .
b) xy3 x4 + 3x2y4 + 12y5 9z8 y2z5.
c) 3x2y3 2xy2(x2 + y2) + xz2.
39. Cho đa thức Q = 2(x + 1) |x + 5|
a) Thu gọn đa thức Q.
b) Với giá trị nào của x thì Q = 4 ?
40. a) Tìm giá trị của đa thức 3x2y + 3xy2 + 5x3y2 + 5x2y3 + 2 , biết x + y = 0
 b) Cho a, b, c là những hằng số sao cho a + b + c = 2000.
	Tìm giá trị của đa thức axy3z2 + bx3z + cxyz ,  ... 2 – 9y4 ; B = 15x4 + 3x3y – 5x2y2 – 6y4 ; C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1. 
 Chứng minh rằng ít nhất một trong ba đa thức này có giá trị dương với mọi x , y .
45*. Cho đa thức A = 2x2 + | 7x – 1 | ( 5 – x + 2x2 ) 
 a) Thu gọn A b) Tìm x để A = 2 .
46. Tính giá trị của các đa thức sau 
a) M = 7x – 7y + 4 a – 4ay – 5 , biết : x – y = 0 b) N = x ( x2 + y2 ) – y ( x2 + y2 ) + 3 biết : x – y = 0 
c) Tính gía trị của đa thức A = 4x4 + 7x2y2 + 3y4 + 5y2 với x2 + y2 = 5 .
47. Cho đa thức A = xyz – xy2 – xz2 ; B = y3 + z3 . Chứng minh rằng nếu x – y – z = 0 thì A và B là hai đa thức đối nhau .
48. Cho các đa thức: M = 3x2 2y 2 ; N = x2 + 2y + 1 ; P = 1 4x2 .
 Tính a) M + N + P ; 	b) M + N P ;	c) N P .
49. Cho các đa thức 	x + y – z = a – b ; x – y + z = b – c ; x + y + z = c – a 
	Chứng minh rằng: z + y + z = 0 .
50. Cho hai đa thức : P = 3m2 + 2mn 4n2 và Q = 2 m2 2mn + 5n2 .
Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của m và n để hai đa thức cùng có giá trị âm.
51. Cho hai đa thức A = 5x + y + 1 ; B = 3x y + 4. 
 Chứng minh rằng nếu x = m; y = n với m Î Z, n Î N thì P = A.B là một số chẵn.
52. Chứng minh rằng nếu x + y + 1 = 0 thì giá trị của các đa thức sau là hằng số:
a) M = x3 + x2y x y2 y3 + x2 y2 + 2x + 2y + 3.
b) N = x3 + 2x2y + xy2 + x2 + xy + x + y + 5.
§5. ĐA THỨC MỘT BIẾN . CỘNG VÀ TRỪ ĐA THỨC
1. Kiến thức cơ bản :
Đa thức một biến là đa thức chỉ chứa một biến số. Đa thức một biến được viết dưới dạng tổng của các đơn thức của cùng một biến ,
Đặc biệt, mỗi số cũng có thể coi là một đa thức của một biến nào đó. Đa thức có biến x, kí hiệu là f(x) . Giá trị của đa thức Fx) tại x = a được kí hiệu là f(a) . Đa thức một biến thường d97o7c5 sắp xếp theo lũy thừa giảm ( hay tăng ) của biến đó .
Cộng hay trừ đa thức một biến :
Cách 1: Tương tự cộng hay trừ đathức nhiều biến 
Cách 2: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm ( hay tăng ) của biến , đặt phép tính như trong trường hợp cộng ( hay trừ ) các số sao cho các đơn thức đồng dạng ở trong cùng một cột rồi cộng ( hay trừ ) theo cột .
Bậc của đa thức một biến đã thu gọn ( khác đa thức 0 ) là số mũ của lớn nhất của biến đó .
2. Kiến thức nâng cao : 
 + f(x) = g(x) Các hệ số của các lũy thừa cùng bậc bằng nhau .
 + Đa thức một biến bậc n có dạng thu gọn là f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + . . . + a1x + a0 . 
Khi x= 1 thì f( 1 ) = an + an – 1 + an – 2 + . . . + a1 + a0 .
Điều này có nghĩa là tổng các hệ số của đa thức f(x) chính là giá trị của đ thức tại x = 1 .
Ví dụ : Chứng minh rằng nếu giá trị của biểu thức f(x) = ax2 + bx + c ( a, b, c ) chia hết cho 3 với mọi số nguyên thì các hệ số a, b, c đều chia hết cho 3 .
Giải : f(0) = c 3 (1)
 f( 1 ) = a+ b + c 3 (2)
 f( 1 ) = a – b + c 3 (3) 
từ (1) và (2) suy ra a + b 3 (4) 
từ (2) và (3) suy ra b (5) ( bằng cách lấy f(1) f(1) )
từ (4) và (5) suy ra a 3 
Vậy các hệ số a, b, c 3 .
Nhận xét : Vì f(x) chia hết cho với mọi x nguyên thì ta gán cho x bất kỳ giá trị x = x0 nào thì f(x0) đều chia hết cho 3 . trong cách giải trên ta đã lần lượt gán cho x các giá trị x = 0 ; x = 1 ; x = 1.
Với x = 0 thì f(0) = hệ số tự do 
Với x = 1 thì f(1) = tổng các hệ số .
Với x = 1 thì f(1) = tổng các hệ số bậc chẵn – tổng các hệ số bậc lẻ .
BÀI TẬP :
53. Cho f(x) = x2n – x2n – 1 + . . . + x2 – x + 1 . ( x )
 G(x) = x2n + 1 + x2n x2n – 1 + . . . + x2 – x + 1 ( x ) 
Tính giá trị của hiệu f(x) – g(x) tại x = .
54*. Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + . . . + 101x2 – 101x + 25 . Tính f( 100 ) .
55. Cho f(x) = ( 8x2 + 5x – 14 )49 . ( 3x3 – 10x2 + 6x + 2 )50 sau khi thu gọn thì tổng các hệ số của f(x) là bao nhiêu ? 
56*. Cho f(x) = ax2 + bx + c . Biết 7ª + b = 0 , hỏi f(10) . f(3) có thể là số âm không ?
57. Nhị thức bậc nhất của đa thức có dạng f(x) = ax + b với a, b là hằng số , a 0 . 
 Hãy xác định các hệ số a, b biết f(1) = 2 ; f(3) = 8 .
58. Tam thức bậc hai là đa thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c với a , b , c là hằng số ( a 0 ) . 
 Hãy xác định các hệ số a, b, c biết f(1) = 4 ; f(1) = 8 và a – c = 4 .
59. Cho f(x) = ax3 + 4x ( x2 – 1 ) + 8 ; g(x) = x3 – 4 x ( bx + 1 ) + c – 3 ; trong đó a, b, c là hằng . Xác định a, b, c để f(x) = g(x) .
60. Cho f (x) = 2x2 + ax + 4 ( a là hằng ) ; g(x) = x2 – 5x – b ( b là hằng ) 
Tìm hệ số a, b sao cho f(1) = g(2) và f(1) = g(5) .
61. Thu gọn và cho biết bậc của các đa thức sau:
a) x5 x + 7x3 2x + x3 + 3x4 x5 + x4 + 15 .
b) 3x2 10 + x3 + 7x x2 + 8 + 7x2 .
62. Cho đa thức f(x) = ax + b. Tìm điều kiện của hằng số b để có:
	f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) với mọi x1, x2 Î Q .
63. Tính tổng f(x) + g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa giảm:
a) 	f(x) = 2 + 4x + 6x3 + 8x5 + 10x7 .
	g(x) = 1 + 3x2 + 5x4 + 7x6 + 9x8 .
b) 	f(x) = anxn + an - 1xn - 1 + ... + a1x + a0 ;
	g(x) = b0 + b1x + b2x2 + ... + bn - 1xn - 1 + bnxn .
64. Tính hiệu f(x) g(x) rồi sắp xếp theo lũy thừa tăng:
 a) f(x) = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 ;
 g(x) = 6x5 + 5x4 + 4x3 + 3x2 + 2x + 1.
 b) f(x) = a1x + a2x2 + a3x3 + ... + an - 1xn - 1 + anxn ;
 f(x) =anx + an - 1x2 + an - 2x3 + ... + a2xn - 1 + a1xn .
65. Cho đa thức P(x) là một đa thức bậc bốn:
	P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 .
	Sao cho P(1) = P(1) và P(2) = P(2). Chứngminh rằng P(x) = P(x) với mọi x Î Q.
66. Cho đa thức : f(x) = ax2 + bx + c, biết 13a + b + 2c = 0. Chứng minh rằng f(2).f(3) £ 0 .
§6. NGHIỆM CỦA MỘT ĐA THỨC
1. Kiến thức cơ bản :
Nếu tại x = a đa thức f(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của f(x).
Một đa thức có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ... hoặc không có nghiệm nào.
Số nghiệm của đa thức khác 0 không vượt quá bậc của đa thức đó.
2. Kiến thức nâng cao : 
Một đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiệm phân biệt. Đa thức bậc 0 thì không có nghiệm . 
Đa thức 0 ( không có bậc ) thì có vô số nghiệm .
Nếu đa thức có tông các hệ số bằng 0 thì x = 1 là nghiệm .
Nếu đa thức f(x) có tổng các lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ thì x = 1 là một nghiệm .
BÀI TẬP :
67. Tìm nghiệm của đa thức:
a) ( x – 3 ) ( 4 – 5x ) ; b) x2 – 2 ; c) x2 + ; d) x2 + 2x e) 3x2 2x + 1	;	f) x34x	; g) 2x2 + 2x + 1 ; 
67. Thu gọn rồi tìm nghiệm của đa thức sau : 
a) f(x) = x ( 1 – x ) + ( 2x2 – x + 4 ) b) g(x) = x ( x – 5 ) – x ( x + 2 ) + 7x 
c*) h(x) = x ( x – 1 ) + 1 
68. Xác định hệ số m để các đa thức sau nhận 1 làm nghiệm :
a) mx2 + 2x + 8 b) 7x2 + mx – 1 c) x5 – 3x2 + m 
69. Cho đa thức f(x) = x2 + mx + 2 
a) Xác định m để f(x) nhận 2 làm một nghiệm .
b) Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị tìm đượccủa m .
70. Cho các nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b và g(x) = bx + a .
Chứng minh rằng nếu x0 là nghiệm của f(x) thì là nghiệm của g(x) .
71*) Cho biết ( x – 1 ) . f(x) = ( x + 4 ) . F( x + 8 ) với mọi x . Chứng minh rằng : f(x) có ít nhất có hai nghiệm .
72. a) Cho các đa thức : f(x) = x2 4x + 3
	 g(x) = 3x2 4x + 1
	 h(x) =x2 2x + 3
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của ba đa thức trên. Hãy tìm nghiệm còn lại của mỗi đa thức.
 b) Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax2 + bx + c nếu có a + b + c = 0 thì x = 1 là nghiệm của đa thức đó.
§7. ÔN CHƯƠNG IV
 73: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, c nào làm cho f(x) bằng 1 khi x = 1998 và bằng 2 khi x = 2000.
74: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
	 (a < b)
 75: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với mọi x, y ta đều có
 a) ac + b2 2x4y4 = 0;	b) ay2 + cx2 = 2xyb ; c) abc + b3 ³ 0
 76: Cho đa thức M = 1 + x + x2 + ... + x1999
 Chứng minh rằng : Mx M = x2000 1.
 77: Cho đa thức : f(x) = x17 2000x16 + 2000x15 2000x14 + ...+ 2000x 1
 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999.
 78*: Cho f(x) là một đa thức xác định với mọi x và thỏa mãn : xf(x + 1) = (x2 4) f(x)
Chứng minh rằng đa thức f(x) có ít nhất ba nghiệm.
 79: Cho đa thức N = 2x (1 x y) y2 + 2
a. Chứng minh rằng N = (x + y)2 (x 1)2 + 3
b. Với giá trị nào của x, y thì N có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị đó.
 80: Cho đa thức P = 2x 9 x + y – 1 ) + y2 +1 
a) Tính giá trị của P với x = 5 ; y = 3 .
b) Chứng minh rằng P luôn luôn nhận giá trị không âm với mọi x , y .
81. Cho g(x) = 4x2 + 3x + 1 ; h(x) = 3x2 – 2x – 3 . 
a) Tính f(x) = g(x) – h (x) .
b) Chứng tỏ rằng 4 là nghiệm của f(x) .
c) Tìm tập nghiệm của f(x) .
82. Đa thức f(x) với hệ số nguyên có tính chất là : Nếu f(x) có nghiệm nguyên thì nghiệm đó phải là ước của hệ số tự do . Em hãy vận dụng để tìm tập hợp các nghiệm của đa thức f(x) = x3 + 6x2 + 11x – 6 .
83. Cho f(x) = x2 + px + q va2 h(x) = x2 + p/x + q/ . Chứng minh rằng Nếu có hai giá trị x1 x2 sao cho f(x1) = g(x1) và f(x2) = g(x1) thì f(x) = g(x) với mọi x .
84. Cho đa thức f(x) thõa mãn điều kiện 2f(x) – x.f(x) (x) = x + 10 (1) với mọi x . Tính f(2).
85. a) Tính tổng của 5 số nguyên liên tiếp trong đó số ở giữa là a ( a ) . Có thể khẳng định tổng này chia hết cho số nào ?
 b) Tính tổng của 5 số chẵn liên tiếp trong đó số đầu là a ( a ) . Có thể khẳng định tổng này chia hết cho số nào ?
86*) Cho S = . Chứng minh rằng S không phải là số chính phương .
87. Chứng minh rằng trong các biểu thức sau luôn luôn có giá trị là một số chẵn với mọi x , y , z .
a) A = ( 9 x – y ) + | x + y | ; B = ( x – y ) | x – y | ; c) C = ( x – y – z ) + | | x + y | + z | .
88. Chứng minh rằng a2 + b2 2ab . 
Áp dụng : Cho A = ( a + 1 ) ( b + 1 ) trong đó a.b = 1 ( a> 0 ; b > 0 ) . Chứng minh rằng A 4 .
89. Cho x – y = 2 , tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức :
a) P = xy + 4 ; b) Q = x2 + y2 – xy .
90. Tìm x để biểu thức :
a) P = 9 – 2 | x – 3 | đạt giá trị lớn nhất 
b) Q = | x – 2 | + | x – 8 | đạt giá trị lớn nhất .
91. Chứng minh rằng :
a) Nếu x – y = 0 thì x.y 0 ;
b*) Nếu x – y + z = 0 thì xy + yz – zx 0 .
92. Cho f(x) là hàm số xác định với mọi x, thõa mãn điều kiện f( x1 . x2 ) = f(x1) . f(x2) và f(2) = 5 . Tính f(8) .
93. Cho hàm số f(x) = 
a) Tìm giá trị của biến để cho vế phải có nghĩa ;
b) Tình f(7) 
c) ìm x để f(x) = 
d) Tìm x để f(x) có giá trị nguyên .
e) Tìm x đê f(x) > 1 .