Ôn tập Toán Lớp 7 - Lý thuyết và bài tập Hằng đẳng thức mở rộng

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC
MỞ RỘNG TỪ CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC –BÀI TẬP
 Tiết 1
A.BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
1.Bình phương của một tổng: 	(A+B)2 = A2+2AB+B2
2.Bình phương một hiệu: 	(A-B)2 = A2-2AB+B2
3.Hiệu hai bình phương:	A2-B2 = (A+B)(A-B) 
4.Lập phương một tổng:	(A+B)3= A3+3A2B+AB2 +B3
có thể viết:	(A+B)3= A3+B3 +3AB(A+B)
5.Lập phương một hiệu: 	(A-B)3= A3-3A2B+AB2 -B3
có thể viết:	(A-B)3= A3+B3 -3AB(A-B)
6.Tổng của hai lập phương:	A3+B3= (A+B)(A2-AB+B2)
7.Hiệu của hai lập phương: 	A3-B3= (A-B)(A2+AB+B2)
 B.MỞ RỘNG:
8.Bình phương của n số hạng (n>2)
(a1+a2+a3+..+an-1+an)2 =
9. an + bn (với n là số lẻ) 
an + bn =(a+b)(an-1 – an-2 .b + an-3.b2+..+ bn-1)
Cách nhớ: 
Gặp an + bn với n lẻ hãy nhớ đến công thức a3 + b3 =(a+b)(a2-ab+b2) rồi viết tương tự 
10. an - bn (với n là số lẻ) 
an - bn =(a-b)(an-1 + an-2 .b + an-3.b2+..+ bn-1)
Cách nhớ: 
Gặp an - bn với n lẻ hãy nhớ đến công thức a3 - b3 =(a-b)(a2+ab+b2) rồi viết tương tự .
11. an - bn (với n là số chẵn) 
an - bn = (a-b)(an-1 + an-2 .b + an-3.b2+..+ bn-1)
Hoặc = (a+b)(an-1 - an-2 .b + an-3.b2-..- bn-1)
Cách nhớ : 
Gặp an - bn với n chẵn hãy nhớ đến công thức 
a2 – b2 =(a+b)(a-b) 	(viết a+b trước)
a2 – b2 =(a-b) (a+b)	(viết a-b trước)
Chú ý: 
Gặp an + bn với n chẵn hãy nhớ: 
a2 + b2 không có công thức tổng quát biến đổi thành tích. Nhưng một vài trường hợp đặc biệt có số mũ 4k thì có thể biến đổi thành tích được 
Ví dụ: a4+ 4b4 	= (a2+2b2)2 –(2ab)2 
	=(a2+2b2-2ab)(a2+2b2+2ab) 
Tiết 2
Nhị thức Niuton và tam giác Pascal: Khai triển (A+B)n để viết dưới dạng một đa thức với lũy thừa giảm dần của A lần lượt với n = 0;1;2;3;4. Ta được: 
(A+B)0 = 1
(A+B)1 = A +1B
(A+B)2 = A2 + 2AB + B2
(A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A+B)4 = A4 + 4A3B + 6A2B2 + 3AB3 + B4
(A+B)5 = A5 + 5A4B + +10A3B2 +10A2B3 + 5AB4 + B5
Nếu viết riêng các hệ số của các đa thức ở vế phải các đảng thức trên thành bảng có dạng tam giác như sau: 
n = 0
1
n = 1
1	1
n = 2
1 2	1 
n = 3
1	3	3	1
n = 4
1	4	6	4	1
n = 5
1	5	10	10	5	1
.
.
Nhận xét các số ở mỗi dòng của bảng ta thấy : 
a/ Hệ số của số đầu và số cuối luôn bằng 1
b/ Hệ số của số hạng nhì và số hạng kế số hạng cuối luôn bằng n.
c/ Tổng các số mũ của A và B trong mỗi số hạng đều bằng n.
d/ Các hệ số cách đều hai đầu thì bằng nhau (có tính đối xứng)
e/ Mỗi số của một dòng (trừ số đầu và số cuối) đều bằng tổng của số liền trên nó cộng với số bên trái của số liền trên đó. 
Nhờ vào nhận xét trên ta viết được:
(A+B)6 = A6+ 6A5B + 15A4B2 + 20A3B3 + 15A2B4 + 6AB5 + B6
Bảng các hệ số được thành lập theo quy tắc trên gọi là tam giác Pascal (tên nhà toán học Pascal(1623-1662)- Nhà bác học Anh NiuTon (1643-1727) đã cho công thức tổng quát sau:
(A+B)n = 
Tiết 3
Bài tập 1: Tính nhanh
a/ 1272 + 146.27 + 732 	b/ 98.28 – (184-1)(184+1)
c/ 202 +182 +162 ++ 42+22 - (192+172++32+1)
Gợi ý: 
a/ Áp dụng hằng đẳng thức bình phương một tổng với lưu ý 146 – 73.2
b/ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương
c/ Viết tổng dưới dạng (202 -192)+(182-172)++(42-32)+(22-1) rồi áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương. 
Bài tập 2: So sánh A và B 
a/ A = 1993.1995 ; B = 19942
b/ A = 4.(32 + 1).(34 + 1).(38 + 1)(364 + 1)	;	B = 3128 – 1
a/ Từ 1993 = 1994 – 1; 1995 = 1994 +1 suy ra A > B
b/ Viết 4 = và áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để suy B = 24.
Bài tập 3: Giải phương trình 
a/ (x – 3)3 – (x-3)(x2 + 3x + 9) + 9(x+1)2 = 15 
b/ x.(x-5)(x+5) – (x+2)(x2 - 2x + 4) = 3
Gợi ý: 
a/ Áp dụng hằng đẳng thức bình phương một tổng, hiệu của hai lập phương, lập phương của một hiệu 	à 
a/ Áp dụng hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương, tổng của hai lập phương 
à 
Bài tập 4: Chứng minh rằng với mọi giá trị của x các đẳng thức sau đây nhận giá trị dương 
a/ P = x2 – 6x +10 	b/ Q = x2 + x + 1	c/ R = (x - 3)(x - 5) + 4
Gợi ý: 
a/ với mọi giá trị x
b/ với mọi giá trị x
c/ với mọi giá trị x
Bài tập 5: Chứng minh rằng không có giá trị nào cảu x để đẳng thức dưới đây nhận giá trị dương: 
a/ M = -x2 + 4x -5	b/ N = -9x2 + 24x – 18 
Gợi ý: 
a/ M = -[(x - 2)2 +1] 	b/ N = - [(3x - 4)2 +4] 
Tiết 4
Bài tập 6: Tìm giá trị x để dẳng thức nhận giá trị lớn nhất. Trong mỗi trường hợp, x định giá trị lớn nhất của đẳng thức:
a/ P = 5 – 8x – x2	b/ Q = 4x – x2 +1
Gợi ý: 
a/ P = -(x + 4)2 +21	Với x = -4, P đạt giá trị lớn nhất PMax = 21
b/ Q = -(x - 2)2 + 5 	Với x = 2, Q đạt giá trị lớn nhất QMax = 5
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
a/ M = (x-1)(x+2)(x+3)(y+6)
b/ N = x2 – 4x + y2 – 8y + 6
Gợi ý:
a/ M = (x2 + 5x)2-36 	à MMin = -36 khi x = 0 hoặc x = -5
b/ N = (x-2)2 + (y-4)2 – 14 	à NMin = -14 khi x = -2 và y = 4
Bài tập 8: Cho a + b = S và a.b = P. hãy biểu diễn theo S, P các biểu thức sau:
a/ M = a2+b2
b/ N = a3+b3
c/ L = a4+b4
Gợi ý: 
a/ M = (a+b)2 - 2ab = S2 – 2P
b/ N = (a+b)3 - 3ab(a+b) = S3 – 3PS
c/ L = (a2+b2)2 - 2a2b2 = (S2 – 2P)2 – 2P2 = S4 – 4S2P + 2P2
Bài tập 9: Viết các biểu thức sau đây dạng 1 đa thức sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của x:
a/ P = (2x+1)6 - 4x6 – 4x5
b/ Q = (x+2)5 - x5 – 4x4
Gợi ý: Áp dụng công thức nhị thức Niuton
a/ Kết quả: P = 30x6 + 188x5 + 240x4 + 160x3 + 60x2 + 12x + 1 
b/ Kết quả: Q = 9x4 + 40x3 + 80x2 + 80x + 32
Bài tập 10: Chứng minh đẳng thức 
a/ (ax+by - cz)2 + (bx - ay)2+(cy - bz)2 (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)
b/ (ab+bc+ca)2 + (a2 - bc)2+(b2 - ca)2+(c2 - ab)2 = (a2 +b2 +c2)2
gợi ý: 
a/ Áp dụng hằng đảng thức ()2 và hằng đẳng thức bình phương một hiệu cho vế trái và rút gọn kết quả. Thực hiện nhân vế phải, rút gọn rồi so sánh kết quả.
b/ Từ câu a suy ra câu b bằng cách đặt x=b ; y=c; z=a