Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song bằng định lý Talet đảo

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BẰNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO
A. MỞ ĐẦU
 Môn toán là một trong những môn học cơ bản, không thể thiêú trong nhà trường phổ thông, nó còn là môn học trở thành công cụ cho một số môn học khác. Bởi vậy Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kỷ thuật cũng như trong cuộc sống hàng ngày . Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán.đặc biệt về phân môn Hình học lại có một cái khó mà nhiều học sinh thường không dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học. Bởi cái khó của các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào? Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà số học sinh yêu thích học hình còn rất ít so với số học sinh thích học đại số
 Đứng trước thực trạng ấy đòi hỏi giáo viên dạy môn Toán cần biết giúp các em tháo gỡ khó khăn phần nào khi học hình học. Tạo niềm hưng phấn cho học sinh khi làm bài toán Hình. Muốn vậy giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải từng bài toán, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích đi lên, hoặc phương pháp phân tích đi xuống (Tuỳ từng bài toán). Tuy vậy với từng loại bài toán lại có thể có nhiều cách giải khác nhau. Chẳng hạn để chứng minh hai đường thẳng song song trong chương trình Hình học cấp 2 có nhiều phương pháp, riêng đối với Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm một phương pháp để chứng minh hai đường thẳng song song. Trong thực tế rất nhiều bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo. Trong bài viết này, tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo.
B.NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận:
 Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo như sau:
Nội dung định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác”
Vì vậy khi đọc đến dạng toán có chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học 8, tôi thường hướng cho học sinh nội dung định lý Talét đảo bằng cách phát hiện ra các đoạn thẳng tỉ lệ ở trong các tam giác.
II. Cơ sở thực tiễn.
Trong thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh rất tuý luý khi làm bài toán hình, phải chăng các em không định hướng được phương pháp chứng minh bài toán đó, các em chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán. Tức là đối với bài toán đó ta nên vận dụng định nghĩa hay tính chất hay định lý nào cụ thể vào bài tập đó. Muốn cho các em định hướng đúng về bài toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét đảo trước hết các em phải nắm vững định lý. Từ giả thiết của định lý, nghĩa là phải tìm được các đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác nào từ đó mới kết luận hai đường thẳng song song. Trong quá trình định hướng để tìm lời giải, giáo viên cần kết hợp thêm lược đồ phân tích, để qua đó học sinh hình dung được các bước giải và từ đó các em có thể trình bày được lời giải của bài toán.
III. Quá trình thực hiện:
 Sau đây là một số ví dụ cụ thể mà tôi đã hướng dẫn học sinh giải bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song nhờ vận dụng định lý Talét đảo như thế nào.
Ví dụ 1: Cho ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D. Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E. Chứng minh rằng: ED// BC.
 Cho ABC	
 GT MB=MC,BMD = AMD, DAB
 AME =CME, E AC
 KL ED //BC
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Giả sử có DE// BC
Thì đoạn thẳng tỉ lệ có thể là:
= ; =; = 	Sơ đồ phân tích
 	 Để chứng minh DE// BC
- Các đoạn thẳng này có trong tam giác nào? 
- Hơn nữa giả thiết cho 2 đường phân giác Phải có: 
của 2 góc để làm gì?
- Trong ABC có DAB; E AC 
Và = Sẽ suy ra điều gì? Mà (gt)
Từ đây các em dễ dàng trình bày lời giải và (gt)
 Và MB// MC (Gt)
Giải:
 Trong ABM có MD là phân giác của AMB 
nên ta có: = (1) (Định lý)
Trong AMC có ME là phân giác của AMC nên ta có:
= (2) (Định lý) 
Vì MB= MC (giả thiết) .Nên từ (1) và (2) suy ra : =
Trong ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC
Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và tam giác BCD. Chứng minh rằng KL // AD
 Cho tứ giác ABCD (AB//CD) 
 GT K là trọng tâm của tam giác ABC
 L là trọng tâm của tam giác BCD
 KL KL//AD
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
- Gọi M là trung điểm của BC. 	 Sơ đồ phân tích:
Cho K, L là trọng tâm của ABC, BCD cho ta Để chứng minh KL //AD
 nghĩ tới tính chất nào ? (T/ c trọng tâm của tam giác) 
- Muốn chứng minh KL// AD thì phải có điều gì ? Ta phải có: = 
- Từ giả thiết suy ra = vì sao? 
- Từ kết luận trên rút ra điều gì? Tại sao? Mà : = 
 - KL // AD theo định lý Talét đảo Và =
 (Tính chất trọng 
 tâm của tam giác)
Giải :
Gọi M là trung điểm của BC vì K là trọng tâm của ABC nên MK= MA ( Tính chất trọng tâm của tam giác) , hay = (1) 
Và L là trọng tâm của BCD nên ML =MD hay = (2)
Từ (1) và (2) suy ra nên KL //AD ( Định lý Talét đảo)
Do trong AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên 
 KL // AD ( Định lý Talét đảo) 
Ví dụ 3 : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm của CD .Gọi I là giao điểm của AM và BC và K là giao điểm của BM và AC. CMR : IK //AB
GT Cho hình thang ABCD (AB //CD)	
 DM = MC
 AM BD = 
 BM AC = 
 KL IK //AB
Hướng dẫn tìm lời giải: 	Sơ đồ phân tích đi lên 
IK nằm trong những tam giác nào? 	 IK //AB
AMB, AMC,BMD, AIK, 	 
BIK ở những tam giác AIK, BIK 	 
 các em không khai thác được gì? 
Xét các tam giác còn lại đó là 	 
AMC, BMD ; AMB tìm xem có 	 
những đoạn thẳng tỉ lệ nào ? 	và 
- Đối với 3 tam giác trên xét tam giác nào Mà MD = MC
cũng được nhưng để chứng minh IK //AB thì
 nên xét AMB ( Vì IK, AB đều có trong AMB).
 Đến đây học sinh dễ dàng thấy ngay lời giải
Giải:
Ta có: ( Do AB // MD hay AIB MID) 
Và ( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết)
Nên: Suy ra IK // AB( Điều phải chứng minh)
Vì trong AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên 
IK// AB ( định lý Talét đảo)
Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AKBD = ; Kẻ BI //AD; BIAC = ( K, I CD) .Chứng minhn rằng EF// AB
 Hình thang ABCD (AB//CD; AB< CD)
 GT AK //BC, K CD 
 BI //AD; ICD
 AK BD = (E)
 BI AC = (F)
 KL EF //AB
Hướng dẫn học sinh đi tìm lời giải:
Xét EF nằm trong những tam giác nào? (EF)
Nếu gọi thêm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
Giả sử AK và BI cắt nhau ở H thì có thêm OEF, AHB có chứa EF
Tuy vậy: ta không khai thác được gì?
Ta xét các còn lại muốn chứng minhEF // AB thì ta phải chứng minh EF // KC ( Vì KC // AB) 
Gỉa sử ta chứng minh EF // KC nghĩa là phải có được điều gì?
( Các đoạn thẳng tỉ lệ nào?)
Phải chứng tỏ được = bằng cách nào ?
Từ giả thiết của bài toán em rút ra được điều gì ?
( Vì I, K CD suy ra AB// DK nên 
 AB // CI => thì ta phải chứng minh được điều gì ?Vì sao?
 Hay DK= CI
Mà DK= DI- IK=> DK = CI Vì DI = CK = AB
 CI = CK- IK 
Sau khi phân tích hướng giải quyết bài toán giáo viên lập sơ đồ chứng minh như sau:
Để chứng minh EF // AB 
Ta phải chứng minh mà 
 , ( Do AB // DK, AB //CI)
Vì DI = CK ( Cùng bằng AB)
Đến đây học sinh có thể trình bày lời giải dễ dàng 
Vì DK // AB nên 
 CI //AB nên 
Mà DK = CI (vì cùng bằng AB) nên
Trong AKC có EF định ra trên hai cạnh AK và AC những đoạn thẳng tỷ lệ nên 
EF //CK suy ra EF // AB.
Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD. Qua B vẽ Bx // CD cắt AC tại E. Qua C vẽ Cy // BA cắt BD tại F, chứng minh rằng EF // AD.
	 Tứ giác ABCD
GT BE // CD , EAC
 CF // AB, F BD
KL EF // AD
Hướng dẫn tìm lời giải:
Gọi giao điểm của AC và BD là O 
Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh được các tỷ lệ thức nào?
, ,( Chỉ cần chứng minh một trong các tỉ lệ thức)
Vậy hướng giải của bài toán đã có, bây giờ ta khai thác giả thiết như thế nào?
Từ BE // CD ta rút ra được điều gì?
 (1) 	Sơ đồ phân tích 
Từ CF // AB rút ra được điều gì ? Để EF //AD 
(2) 	
Từ (1) và (2) ta rút ra được điều gì ? Hoặc 
 (3) 	Hoặc Không có căn cứ
EF //AD vì sao? 	Hoặc 
Từ (3) ta có : suy ra EF //AD 
	,
	BE //CD CF//AB (Gt)
Từ đó học sinh có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích dưới lên
Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định ra trên hai cạnh OA, OD những đoạn thẳng tỷ lệ nên EF //AD (ĐPCM) 
Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác của góc BAD cắt BD tại M, đường phân giác của góc ADC cắt AC tại N. Chứng minh MN //AD 
 ABCD (AB//CD, BC//AD), MBD, NAC
GT BAM =MAD 
 AND =CDN 
KL MN//AD
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:
Ta nghĩ tới MN nằm trong BOC, hoặc M, N thuộc đường thẳng chứa cạnh của tam giác AOD, do đó các đoạn thẳng tỷ lệ có thể là
 , 
Hoặc = = 
Gỉa thiết của bài toán là gì ? Từ AM, DN là các đường phân giác của BAD , ADC cho ta tỉ lệ thức nào?
+ AM là phân giác của => 
+ DN là phân giác của DAC nên 
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD do đó 
Tỷ lệ thức ta suy ra được những điều gì ? Bằng cách nào ? 
Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất 2 đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ta sẽ có :
 Suy ra : 
2 ( Do BD = 2OB, AC = 2 OC)
Suy ra suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo)
 Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD)
Trong BOC có MN định ra trên 2 cạnh OB và OC những đoạn thẳng tỷ lệ nên MN// BC mà BC // AD. Vậy MN //AD.
- Sau khi phân tích tìm hướng giải giáo viên có thể phân tích theo sơ đồ đi xuống để học sinh thấy rõ hơn.
Sơ đồ đi xuống:
Từ giả thiết ABCD là hình bình hành suy ra, và giả thiết AM, DN là các đường phân giác của góc BAD, ADC ta có :
Áp dụng tỷ lệ thức 
 Suy ra:
 ( Do BD= 2OB; AC= 2 OC,
 ABCD là hình bình hành)
Nên MN // BC suy rs MN// AD (do BC//AD)
Từ cách hướng dẫn và sơ đồ phân tích các em có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng.
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB= CD, BC= AD; BC// AD
Vì AM là phân giác của góc BAD : 
DN là phân giác góc ADC nên : 
Mà AB= CD nên: 
ó hay 
Do BD= 2 OB; AC= 2OC nên: 
MN//BC
 Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 7: Cho ABC. Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC. Lây N tuỳ ý trên cạnh AM. Đường thẳng DE//BC(DAB, E AC)
Gọi P là giao điểm của DM và BN và Q là giao điểm của CN và EM. Chứng minh rằng PQ// BC.
GT Tam giácABC, MBC
 N AM, DE//BC 
 D AB, E AC
 BNDM= 
 CNEM = 
 KL PQ//BC
Hướng dẫn lời giải:
Xét xem đoạn PQ nằm trong những tam giác nào( DAE,NBC)
Phân tích để học sinh lựa chọn để ý DME
Muốn chứng minh PQ // BC thì ta cần có những tỷ lệ thức nào ?
 Hoặc Hoặc 
- Các tỷ lệ trên đã có thể có ngay được chưa?
- Ta phải khai thác các giả thiết của bài toán như thế nào 
- Từ DE// BC suy ra được điều gì ?
 (1) ( Cùng bằng )
 (2) ( Cùng bằng ) 
Lấy (1) cộng (2) theo vế sẽ có :
Để ý BPM và QMC có DK//BM và HE//CM
Các em sẽ thu được kết quả gì ?
=> PQ//DE => PQ//BC
Lập sơ đồ phân tích đi xuống
 DE //BC(gt)
 DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM
 DK// BM HE //CM
 PQ //DE
PQ//BC (Điều phải chứng minh)
 C. KẾT LUẬN:
 Trên đây là một số ví dụ về giải bài tập cụ thể đã vận dụng định lý Talét đảo để chứng minh hai đường thẳng song song. Trong các định lý mà các em đã được học thì định lý này là hiện tượng khó khăn trong quá trình học vận dụng vào giải bài tập song nó lại được vận dụng rất nhiều ở trong các bài tập.
 Nhưng việc hướng dẫn học sinh cách tìm tòi lời giải, bài toán chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học lớp 8 mà tôi đã làm như trên qua thực tế nhiều năm giảng dạy thì hầu hết các em đều tìm ra hướng để giải bài toán đó. Và hiệu quả cho thấy với cách giải quyết từng bước như thế đã làm cho học sinh không ngại ngần khi gặp bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song ở hình học 8. Qua quá trình thực hiện tôi đã từng cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu bài thì trên 80% đã biết giải bài toán này.
Bên cạnh đó còn củng cố kiến thức việc áp dụng các tính chất của tỷ lệ thức cũng không kém phần quan trọng. Ngoài ra còn cho các em thấy được rằng định lý Ta lét đảo còn được áp dụng nhiều vào các loại bài toán khác thú vị hơn, chẳng hạn vận dụng tính song song để chứng minh các điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclít) hoặc toán tìm tập hợp