Phương pháp giải phương trình bậc bốn

Phần II: Phương pháp giải phương trình bậc bốn.
I.Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Cho phương trình: ax4 + bx3 + cx2 +dx + e = 0 ( a ạ 0 ) (1)
Giải phương trình trên khi biết một nghiệm x0.
Phương pháp chung
Đoán nghiệm x0 của phương trình (1)
Phân tích (1) thành: (x – x0)( ax3 + b1x2 +c1x + d1) = 0
Để giải (2) ta áp dụng các phương pháp đã biết để giải: 
	Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
	Chú ý: Dự đoán nghiệm dựa vào các kết quả sau:
	-Nếu a + b + c + d + e = 0 thì (1) có nghiệm x = 1.
	-Nếu a - b + c - d + e = 0 thì (1) có nghiệm x = -1.
	-Nếu a, b, c, d, e, nguyên và (1) có nghiệm hữu tỷ thì p, q theo thứ tự là các ước số của e và a.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
	a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0 
Giải: 
	a. x4 - 4x3 - x2 + 16x - 12 = 0 
Nhận xét: a + b + c + d + e = 0 do đó phương trình (1) có nghiệm x = 1.
Biến đổi phương trình về dạng
Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt: x = 1; x = 2; x = -2; x = 3;
Chú ý: 
-Khi đã thành thạo cách nhẩm nghiệm không cần nêu nhận xét trong lời giải cho mỗi phương trình.
-Nếu các Phương pháp nhẩm nghiệm không có tác dụng thì có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử. ý tưởng thường được thực hiện là chuyển đa thức bậc bốn về dạng: A2 – B2 = 0Û(A – B)(A +B) = 0. Khi đó được tích của hai tam thức bậc hai. Do đó việc giải phương trình bậc 4 được quy về giải phương trình bậc 2.	
Đây chính là ý tưởng chủ đạo để giải mọi phương trình bậc bốn.
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
	a. x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0 
	b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0 
Giải:
a.x4 - 3x2 - 4x - 3 = 0 (1)
(1) Û ( x4 - 2x2 + 1 )- ( x2 - 4x + 4 )= 0
Û ( x2 – 1 )2 - ( x + 2 )2 = 0
Û ( x2 - x - 3 ) ( x2 + x + 1 )= 0
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: 
	b. x4 + 2x3 + 10x - 25= 0 
(1) Û ( x4 + 2x3 + x2 )- ( x2 - 10x + 25 )= 0
Û ( x2 + x )2 - ( x - 5 )2 = 0
Û ( x2 + 2x - 5 ) ( x2 +5 )= 0
Vậy phương trình có hai nghiệm: