Tìm hiểu quỹ tích toán học với Cabri3D & Sketchpad

TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 2 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 2 
MỤC LỤC 
1. PHẦN MỞ ĐẦU.....................................................................................................4 
1.1 LÝ DO ...........................................................................................................4 
1.2 KẾT QUẢ MONG MUỐN ................................................................................4 
2. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG....................................5 
2.1 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG GEOMETER’S SKETCHPAD (2D) ............5 
2.2 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG CABRI 3D ...................................................6 
3. QUỸ TÍCH TOÁN HỌC.........................................................................................7 
3.1 QUỸ TÍCH VÀ CÁCH CHỨNG MINH QUỸ TÍCH ........................................7 
3.1.1 Định nghĩa quỹ tích......................................................................................7 
3.1.2 Chứng minh – Giải bài toán quỹ tích ...........................................................7 
3.1.3 Giới hạn quỹ tích .........................................................................................8 
3.1.4 Giải bài toán quỹ tích với Geometer's Sketchpad và Cabri3D ......................8 
3.2 QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG......................................................10 
3.2.1 Quỹ tích cơ bản..........................................................................................10 
3.2.2 Bài tập áp dụng ..........................................................................................11 
Bài 1:..................................................................................................................11 
Bài 2:..................................................................................................................12 
Bài 3 ...................................................................................................................15 
Bài 4:..................................................................................................................18 
Bài 5 ...................................................................................................................20 
Câu 6 ..................................................................................................................22 
Bài 7 ...................................................................................................................23 
Bài 8 ...................................................................................................................25 
3.3 TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 
DẪN ĐẾN QUỸ TÍCH TÌM ĐƯỢC KHÔNG DỰNG ĐƯỢC BẰNG THƯỚC VÀ 
COMPA.................................................................................................................27 
Bài 1:..................................................................................................................27 
Bài 2:..................................................................................................................28 
Bài 3:..................................................................................................................28 
Bài 4:..................................................................................................................29 
Bài 5:..................................................................................................................29 
3.4 QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ..........................................31 
3.4.1 Quỹ tích cơ bản..........................................................................................31 
3.4.2 Bài tập áp dụng ..........................................................................................32 
Bài 1:..................................................................................................................32 
Bài 2:..................................................................................................................34 
Bài 3 ...................................................................................................................36 
Bài 4:..................................................................................................................39 
Bài 5:..................................................................................................................42 
Bài 6:..................................................................................................................44 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 3 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 3 
Bài 7:..................................................................................................................45 
Bài 8:..................................................................................................................48 
Bài 9:..................................................................................................................49 
Bài 10: ................................................................................................................51 
Bài 11 .................................................................................................................53 
Bài 12: ................................................................................................................56 
Bài 13: ................................................................................................................57 
Bài 14: ................................................................................................................59 
BÀI 15:...............................................................................................................62 
4. KẾT LUẬN...........................................................................................................65 
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO .....................................................................................66 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 4 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 4 
1. PHẦN MỞ ĐẦU 
1.1 LÝ DO 
Từ lâu, Toán học đã nổi tiếng là một môn khoa học chính xác, trừu tượng và đôi khi 
có cả sự khô khanBên cạnh đó, nhiều người còn cho rằng Toán học là một môn khoa học 
ít tốn kém nhất để nghiên cứu so với các môn khoa học khác như vật lý, hóa học. Hằng 
nghìn năm qua, và thâm chí đến tận ngày nay nhiều người vẫn cho rằng bạn chỉ cần một cây 
bút và một tờ giấy là bạn có thể làm và học toán bất cứ nơi đâu!!! Ngày nay, dưới thời đại 
“kỹ thuật số” liệu quan niệm đó về học toán, dạy toán còn có hoàn toàn đúng không? Có thật 
là chỉ cần một cây bút và tờ giấy là có thể học Toán bất cứ ở đâu chăng? 
Vâng! Có lẽ không ai phủ nhận hoàn toàn quan điểm đó, tuy nhiên giờ đây nhờ sự trợ 
giúp của máy tính con người có thêm một số công cụ khác để học toán sinh động hơn, hấp 
dẫn hơn ngày trước. Nếu như từ khi những phần mềm nổi tiếng như Maple, Mathematican 
xuất hiện đã làm thay đổi quan điểm dạy toán và học toán của nhiều trường đại học trên thế 
giới (đặc biệt là về mảng giải tích). Thì trong lĩnh vực hình học, đặc biệt là hình học sơ cấp 
cũng xuất hiện nhiều phần mềm hình học động (Dynamic Geometry) trợ giúp cho học và dạy 
toán ngày càng nhiều hơn như Cabri 2D, Cabri 3D, Geometer’s Sketchpad, Circle And 
Rules, Geogebra 
Có lẽ rằng, những ai đã từng khổ sở, “vắt óc” ra tưởng tượng khi giải những bài toán 
quỹ tích trong hình học thì mới cảm thấy sự vất vả cũng như cái hay, cái đẹp của toán học. 
Giờ đây, nhờ sự trợ giúp của các phần mềm hình học động, những bài toán quỹ tích trở nên 
dễ dàng hơn, trực quan hơn. Chỉ cần một vài cú click chuột và một vài cái ấn phím, là có thể 
hoàn toàn xem trước được quỹ tích của đối tượng cần tìm. Thông qua đó chúng ta dễ dàng 
tiến đến giải các bài toán hình học hơn. 
Với mong muốn đem lại một hướng nhỏ, mới, là ứng dụng các phần mềm hình học 
động vào giải các bài toán quỹ tích để thông qua đó giúp chúng ta yêu thích toán hơn đó là 
lý do chọn đề tài của em. 
1.2 KẾT QUẢ MONG MUỐN 
Hầu hết chúng ta đều nghĩ rằng các phần mềm hình học chỉ đơn thuần là dùng để vẽ 
những hình ảnh minh họa cho các bài toán hình học. Nó là một công cụ đơn thuần chỉ để vẽ 
hình và nếu xa hơn thì có phần tính toán trong đó. Nhưng ngày nay, nhờ những phần mềm 
hình học động “thông minh” chúng ta không chỉ dừng lại ở việc vẽ hình mô phỏng sau khi 
chúng ta đã giải xong bài toán. Mà nó còn có thể đưa ra dự đoán trước khi giải cho chúng ta, 
giúp chúng ta đi tới giải các bài toán nhanh hơn, thuận lợi hơnvà trong nhiều trường hợp 
giúp chúng ta tránh đi một số sai lầm nhất định. 
Làm rõ mối quan hệ giữa việc “ứng dụng phần mềm hình học động vào giải một bài 
toán quỹ tích” hay “dùng phần mềm để minh họa cho bài toán quỹ tích mà chúng ta đã giải 
xong” đó là mục tiêu tìm hiểu cần đạt được. 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 5 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 5 
2. GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG 
2.1 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG GEOMETER’S SKETCHPAD 
(2D) 
Geometer’s Sketchpad là một phần mềm hình học động có bản quyền của công ty 
Keypress , một công ty viết phần mềm giáo dục nổi tiếng của Mỹ. 
Geometer’s Sketchpad là phần mềm hình học động rất mạnh mẽ trong việc tạo ra và 
mô phỏng các đối tượng toán học động. Sử dụng Geometer’s Sketchpad chúng ta có thể vẽ 
những đối tượng hình học từ đơn giản nhất (điểm, đường thẳng, đường tròn) đến những 
đối tượng khá phức tạp cho việc dùng thước và compa để dựng như các đường conic, đường 
xycloid 
Hệ thống công cụ cơ bản của Geometer's Sketchpad khá “khiêm tốn” (hầu như chỉ có 
thước thẳng và compa). Tuy nhiên, từ những công cụ cơ bản này, kết hợp với các công cụ 
dựng hình (construct tool) các phép biến hình (transform), chúng ta hoàn toàn có thể dựng 
nên rất nhiều đối tượng hình học phức tạp. 
Hình sau đây cho thấy giao diện của phần mềm: 
Mọi thông tin về phần mềm có thể truy cập vào website của nhà sản xuất tại địa chỉ 
 hoặc có thể tìm thấy tài liệu hướng dẫn sự dụng tại địa chỉ 
 Huong_Dan_Su_Dung_GSP.pdf 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 6 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-ww ... ính AC trong mp(SAC). 
Phần đảo: 
Lấy một điểm I bất kỳ nằm trên nữa đường tròn đường kính AC trong mp(SAC) nhưng 
không trùng với C. Dựng S là giao điểm của CI và Ax. Qua điểm I ta dựng mp(P) vuông góc 
với SC. Gọi E và F lần lượt là giao điểm của SB, SD với mp(P). Khi đó ta dễ dàng thấy được 
AE và AF lần lượt vuông góc với SB và SD. 
Kết luận: Vậy quỹ tích của điểm I là nữa đường tròn đường kính AC nằm trong mp(SAC) và 
bỏ đi điểm C. 
BÀI 14: 
Trong mp(P) cho góc vuông xOy, các điểm M, N lần lượt chạy trên Ox, Oy sao cho 
OM+ON=a không đổi. SO=a và vuông góc với mp(P). Xác định I là tâm của mặt cầu ngoại 
tiếp hình chóp S.OMN và tìm quỹ tích của I 
Bài giải 
Dùng Cabri 3D dựng hình qua các bước sau đây: 
- Dựng mặt phẳng (P) 
- Dựng góc vuông xOy trên mp(P). 
- Dựng đường tròn (C) có tâm là O và bán kính bằng a. 
- Dựng A là giao điểm của đường tròn (C) và tia Ox. 
- Dựng đoạn thẳng OA. 
- Dựng điểm M thuộc đoạn OA. 
- Dựng đường tròn (C’) có tâm là O và bán kính bằng MA. 
- Dựng N là giao điểm của (C’) và tia Oy. 
Với cách dựng trên ta thấy rằng M, N chạy trên Ox, Oy và OM+ON=a. 
- Ẩn đi đường tròn (C) và (C’) và dựng đoạn thẳng MN. 
- Dựng đọan thẳng SO=a và vuông góc với mp(P). 
Xác định I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.OMN 
- Dựng trung điểm K của đoạn MN. 
- Dựng d là đường thẳng qua K và vuông góc với mp(P). 
- Dựng mp(Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn SO. 
- Dựng I là giao điểm của d và mp(Q). 
Tìm quỹ tích điểm I 
- Dựng mặt cầu tâu I bán kính IO (có thể không cần dựng mặt cầu này). 
- Dùng công cụ “Qũy đạo” để đánh dấu điểm I. 
- Dùng công cụ “Hoạt náo” kích hoạt cho điểm M chuyển động quan sát quỹ tích điểm 
M vẽ nên. Ta có hình sau: 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 60 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 60
Hình 22 
Qua hình trên, ta có thể dự đoán quỹ tích của điểm I là một đoạn thẳng. 
Chứng minh quỹ tích: 
Phần thuận: 
Ta có SO cố định ( )mp QÞ cố định. Mà ( )IS IO I mp Q= Þ Î cố định. 
Gọi 1 1,M N lần lượt là hai điêm trên ,Ox Oy sao cho 1 1OM a ON= = . Gọi 2 2M N là đường 
trung bình của 1 1OM ND . Khi đó ta thấy 2 2 2 2I M N MN I M N= Ç Þ Î cố định. 
2 2( , )I mp M N dÞ Î cố định. Do đó 2 2( ) ( , )I mp Q M N dÎ Ç . 
Vậy khi M, N thay đổi thì I chạy trên giao tuyến của hai mặt phẳng cố định 
2 2( ), ( , )mp Q M N d . 
Giới hạn quỹ tích: 
Gọi 3 3,M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của 2 2,M N lên ( )mp Q 
Khi: 3
3
M O I N
N O I M
® Þ ®
® Þ ®
. Vậy I chạy trên đoạn 3 3M N . 
Phần đảo: 
Ngược lại, 3 3I M N" Î . Ta có IS IO= (do I nằm trên mặt phẳng trung trực (Q)). 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của I lên mp(P) thì hiển nhiên 2 2K M NÎ . 
Ta cũng có 2 2K MN M N= Ç và KM KN= (do OM ON a const+ = = ) 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 61 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 61
Vì vậy, IK là đường trung trực của đoạn MN . Và IK cùng là trục của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác OMN . 
Vậy I là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp mặt đáy và mặt trục trực của một cạnh 
bên. Nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SOMN . 
Hình 26 
Kết luận: Quỹ tích của điểm I, tâm hình cầu ngoại tiếp hình chóp SOMN là đoạn 3 3M N . 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 62 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 62
BÀI 15: 
Cho 2 nữa đường thẳng Ax, By chéo nhau và vuông góc với nhau, trong đó đoạn AB là đoạn 
vuông góc chung và AB=h. Hai điểm M, N lần lượt chạy trên Ax, By sao cho MN h 2.= 
Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. 
Bài giải 
Dùng Cabri 3D dựng hình qua các bước sau đây: 
- Dựng tia Ax. 
- Dựng đường thẳng d qua A và vuông góc với Ax. 
- Dựng điểm B trên d sao cho AB=h (h là một số cho trước tùy chọn). 
- Dựng mp(P) qua d và vuông góc với Ax. 
- Dựng tia By nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d. 
- Ẩn đi các đối tượng phụ là mp(P), đường thẳng d. 
Với cách dựng như trê, ta có được Ax và By là hai nửa đường thẳng chéo nhau và vuông 
với nhau qua đoạn vuông góc chung là AB. 
- Dùng công cụ “đo độ dài” để đo độ dài đoạn AB rồi tính 2.AB 
- Qua B dựng đường tròn tâm A bán kính 2.AB 
- Dựng M1 là giao điểm của Ax với mặt cầu vừa dựng 
- Dựng đoạn thẳng AM1. 
- Dựng một điểm M trên đoạn AM1 và mặt cầu tâm M bán kính 2.AB 
- Dựng N là giao điểm By với mặt cầu tâm M bán kính 2.AB 
Với cách dựng như trên, ta có đoạn MN 2 h 2.AB= = Điểm M thay đổi (qua đó đoạn 
MN thay đổi theo) nhưng độ dài nó không đổi. 
- Dựng tứ diện ABMN. 
- Dựng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. 
+ Dựng mặt phẳng trung trực của AB, MN, NB 
+ I là giao điểm của ba mặt phẳng trên. 
- Dùng công cụ “quỹ đạo” đánh dấu cho điểm I. 
- Kích hoạt cho điểm M chuyển động. 
Quan sát quỹ tích điểm I vẽ nên ta có hình 28 . Dựa vào hình chúng ta hoàn toàn có thể 
dự đoán được rằng quỹ tích của tâm mặt cầu là một cung tròn và tâm đó cũng chính là 
trung điểm của MN. Tâm I cũng nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn vuông góc 
chung AB cố định. 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 63 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 63
Hình 28 
Chứng minh quỹ tích: 
Phần thuận: 
Ta thấy rằng, do Ax và By là hai tia chéo nhau, vuông góc với nhau nên các mặt bên của 
tứ diện ABMN đều là tam giác vuông. (Hay các điểm A, B, đều nhìn MN dưới một góc 
90 độ) Vì thế trung điểm I của đoạn MN cũng chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 
ABMN. 
Ta cũng có: 
( )IA IB I mp Q= Þ Î . Với ( )Q là mặt phẳng trung trực của đoạn AB. 
Và 2
2 2
MN hIA IB IM IN const= = = = = = . 
Gọi O là trung điểm của AB, ta có 
2 2
2 2 2
2 2 2
h h hOI IA OA
æ ö æ ö= - = - =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø
Vậy ABID vuông cân tại I. ( )I SÞ Î . Với ( )S là mặt cầu đường kính AB. 
Từ đó ta có được ( ) ( )I mp Q SÎ Ç . 
Vậy, khi MN thay đổi, điểm I luôn thuộc đường tròn tâm I bán kính 
2
h nằm trong mặt 
phẳng cố định ( )Q . 
Giới hạn quỹ tích: 
Gọi N1 là một điểm huộc By sao cho BN h 2.= M2, N2 lần lượt là trung điểm của các 
đoạn thẳng BM1, AN1. 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 64 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 64
Khi đó nếu 2
2
M A I N
N B I M
® Þ ®
® Þ ®
. Vậy I nằm trên cung nhỏ ¼2 2M N của đường tròn trên. 
Hình 29 
Phần đảo: 
Ngược lại lấy một điểm I bất kỳ thuộc cung nhỏ ¼2 2M N . Khi đó ta dựng mặt cầu tâm I và 
bán kính bằng IA. Mặt cầu vừa dựng cắt Ax, By tại M và N. 
Lúc đó, I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện ABMN. Dễ thấy rằng I, M, N thẳng hàng. 
Kết luận: vậy quỹ tích của tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN là cung ¼2 2M N . 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 65 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 65
Một vài chuyện không như ý: 
Thật cảm thấy hơi tiếc và 
buồn buồn là 2 phần mềm hay 
như thế mà sinh viên ngành sư 
phạm Toán như chúng tôi 
không được dạy hay giới thiệu 
ở trường.(ĐHCT) 
Thêm vào đó, trong lớp sp 
Toán, hình như chỉ có ít người 
quan tâm đến nó thôi.!!! 
4. KẾT LUẬN 
Qua một vài bài tập nhỏ ở trên chúng ta thấy rằng, việc dùng phần mềm vào giải 
toán là điều hoàn toàn có thể. Hầu hết đối với những bài toán quỹ tích không quá khó, 
không quá phức tạp thì nhờ việc áp dụng quy tắc dựng hình theo “luật toán học” của các 
phần mềm, chúng ta có thể tạo ra mối quan hệ toán học chặt chẻ trong các hình, đối 
tượng động sẽ quyết định nên “số phận” của điểm cần tìm quỹ tích sẽ vẽ nên hình gì 
trong khi di chuyển. Qua đó, chúng ta có thể dễ dàng phát hiện được quỹ tích, biết được 
con đường đi tìm và chứng minh quỹ tích một cách nhanh chóng. 
Nếu như là một sinh viên, thì nhờ phần mềm Geometer's Sketchpad và Cabri3D, 
chúng em sẽ có thể học, nghiên cứu và khám phá nhiều hơn trong thế giới hình học sơ 
cấp. 
Nếu như là một giáo viên phổ thông (sau này tốt 
nghiệp có lẽ sẽ là giáo viên phổ thông). Thì ngoài 
những lợi ích trên, chúng ta còn có thể tạo ra được 
những bài toán quỹ tích, dựng hình hết sức sinh động, rõ 
ràng và dễ hiểu. Giúp cho việc truyền thụ kiến thức đến 
người học dễ dàng hơn. Còn người học thì cũng yêu 
thích môn Toán hơn, dễ tiếp thu kiến thức Toán học hơn 
trong quá trình học. 
Về tính khả dụng thì cả hai phần mềm Cabri3D 
và Geometer's Sketchpad đều rất dễ sử dụng, chỉ cần 
chúng ta có một chút kiến thức về tin học và Toán học thì hoàn toàn có thể tự học và sử 
dụng phần mềm một cách nhanh chóng. 
Chúng ta cũng thấy được một số khó khăn nhất định: 
Thứ nhất: để ứng dụng được phần mềm vào giải toán, thì đòi hỏi chúng ta phải 
đầu tư thời gian để học, nghiên cứu phần mềm. Ở đây, tối thiểu cũng phải biết sử dụng 
Geometer's Sketchpad và Cabri3D một cách tượng đối thành thạo thì mới có thể áp dụng. 
Thứ hai: Có một chút không hoàn toàn tương thích giữa những quy tắc dựng hình 
của toán học khi tiến hành các bước dựng một hình để cần tìm quỹ tích. 
Ví dụ: nếu như để xác định một mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện, thì nếu áp dụng 
quy tắc dựng hình bình thường thì chúng ta phải khá vất vả mới xác định được tâm trong 
trường hợp đó là một tứ diện bình thường. Nhưng với phần mềm thì đều này là hoàn toàn 
dễ dàng cho dù đó là một tứ diện thường hay đặc biệt vì chúng ta đã có hệ thống những 
công cụ hổ trợ. Nhưng để dựng một điểm chuyển động trên một đường thẳng, một tia, 
hay một hình cầu thì trong Cabri3D chúng ta không thể dựng được. Chúng ta phải thay 
thế đối tượng chuyển động trên đại lượng “vô hạn” sang chuyển động trên một đối tượng 
“hữu hạn” do ta giới hạn lại, nhưng phải đảm bảo làm sao không thay đổi nội dung bài 
toán. 
TÌÌ M HIIỂU QUỸ TÍÍ CH TOÁN HỌC VỚII CABRII 3D & SKETCHPAD 66 
Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 66
Thứ ba: Đôi khi đầu tư thời gian để suy nghĩ tìm ra cách tạo ra các đối tượng động 
trong phần mềm còn lâu hơn tìm lời giải bài toán quỹ tích đó một cách đơn thuần. 
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO 
- Bài giảng HÌNH HỌC SƠ CẤP –ĐHCT – Ngô Thăng Long 
- QUỸ TÍCH – Người dịch Lý Bỉnh Phúc – NXBGD năm 1977. 
- Bài tập Quỹ Tích và Dựng Hình – Nguyễn Vĩnh Cận – NXBGD 
- Một số bài tập hình học không gian - Hàn Liên Hải-Đặng Khắc Nhân – 
NXBGD 1978. 
Những tập tin bài tập ở trên có thể tải về tại : 
_GSP_Files.zip