Bài giảng môn học Đại số lớp 7 - Chuyên đề: Tam giác vuông

Chuyên đề: Tam giác vuông
Bài 1: Cho tam giác cân ABC, cạnh đáy BC. Từ B kẻ đường vuông góc với AB và từ C kẻ đường vuông góc với AC. Hai đường này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng:
a) ABM = ACM.
b) AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
Bài 2: Cho tam giác vuông tại ABC (AB = AC). Qua A kẻ đường thẳng xx, bất kì. Từ B và C kẻ các đường thẳng BM và CN vuông góc với xx,. Chứng minh rằng:
a) CAN = BAM.
b) CN + BM = MN.
Bài 3: Cho ABC cân tại A, AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Từ B và từ C kẻ các đường thẳng song song với AH, chúng cắt đường thẳng đi qua A tại M và N. Chứng minh rằng: 
a) AM = AN	b) AH = (BM + CN)/2
Bài 4: Cho ABC, M là trung điểm của BC. Từ B kẻ các đường thẳng BE và CF vuông góc với đường thẳng AM.
So sánh hai tam giác BEM và CMF suy ra ME = MF; BE = CF.
Chứng minh BE//CF.
Chứng minh M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Bài 5: Cho ABC cân tại A. D là một điểm trên AB, E là một điểm trên AC sao cho AD = AE. Từ D và E hạ các đường DM và EN cùng vuông góc với đáy BC. Chứng minh rằng BM = CN.
 Bài 6: Cho ABC cân tại A. Kẻ đường vuông góc với AB tại B, với AC tại C, hai đường này cắt nhau ở D.
Chứng minh rằng AD là tia phân giác của góc A.
So sánh BD và CD.
Bài 7: Cho tam giác ABC. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE; OF; OG theo thứ tự vuông góc với các cạnh AC; AB; BC.
Chứng minh OE = OF = OG.
Tia AO cắt cạnh BC tại D. Chứng minh rằng góc BOD bằng góc COG.
Bài 8: Cho tam giác ABC. Kẻ BE và CF lần lượt vuông góc với AC và AB. Biết BE = CF = 8cm; độ dài các đoạn thẳng BF và BC tỉ lệ với 3 và 5.
Chứng minh tam giác ABC là tam giác cân.
Tính độ dài cạnh đáy BC.
BE và CF cắt nhau tại O. Nối AO và EF. Chứng minh đường thẳng AO là trung trực của đoạn thẳng EF.
Bài 9: Cho tam giác ABC (AB ≠ AC). Đường trung trực của cạnh BC cắt tia phân giác Ax của góc A ở điểm O. Kẻ OE, OF theo thứ tự vuông góc với AB và AC .
a) Chứng minh BE = CF.
b) Nối EF, cắt BC tại M và cắt Ax tại I. Chứng minh M là trung điểm của cạnh BC.
c) Chứng minh IA2 + IE2 + IO2 + IF2 = AO2.
Bài 10: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và các điểm M thuộc cạnh AC, H thuộc cạnh BC sao cho MH vuông góc với BC và MH = HB. Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc A.
Bài 11: Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900. Kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Gọi K là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AK là tia phân giác của góc A.
Bài 12: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC và AM là tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Một đường thẳng d bất kì luôn đi qua A. Kẻ BH và CK vuông góc với đường thẳng d. Chứng minh rằng tổng BH2 + CK2 có giá trị không đổi. 
Bài 14: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc với BC. Trên tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Đường thẳng vuông góc với AE tại E cắt tia DH ở K. Chứng minh rằng:
a) BA = BH;	b) Góc DBK bằng 450.
Bài 15: Cho ABC vuông cân tại A. Gọi a là một đường thẳng nào đó đi qua đỉnh A và không cắt đoạn BC. Dựng các đoạn thẳng BD và CE vuông góc với a.
Chứng minh rằng: BD + CE = DE.
Gọi O là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng:
Góc OBD = Góc OAE; góc OAD = góc OCE.
Bài 16: Cho ABC vuông ở A. Tia phân giác của góc B cắt cạnh AC ở điểm D. Dựng đường thẳng DH vuông góc với BC (H nằm trên BC).
a) Chứng minh AH vuông góc với BD. b)Tính góc BAH biết góc ABC bằng 700.
Bài 17: Cho ABC cân (AB = AC). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D và trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Dựng BH vuông góc với AD (H thuộc AD) và CK vuông góc với AE (K thuộc AE). Chứng minh rằng:
a) BH = CK.	b) BC//HK.
Bài 18: Cho góc xOy. Trên cạnh Ox lấy một điểm A và trên cạnh Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. Vẽ AC vuông góc với đường thẳng chứa tia Oy và C nằm trên đường thẳng ấy, rồi vẽ BD vuông góc với đường thẳng chưá tia Ox và D nằm trên đường thẳng ấy.
a) Chứng minh: AC = BD;	
b) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD. Chứng minh rằng đường thẳng OI chứa tia phân giác của góc xOy. (xét hai trường hợp xOy nhọn và tù).
Bài 19: Cho ABC đều với M và N là trung điểm của các cạnh AB, AC. Các đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở O.
a) Chứng minh rằng OM = ON.
b) Trên cạnh AB lấy một điểm D và trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Tính số đo góc DOE.
Bài 20: Cho ABC có đường trung tuyến AM cũng là đường phân giác của góc A. Vẽ MH vuông góc với AB (H thuộc AB) rồi vẽ MK vuông góc với AC (K thuộc AC). Chứng minh rằng:
a) AH = AK ; 	b) HK//BC.