Bài giảng môn học Hình học lớp 7 - Các bài toán chọn lọc

Các bài toán chọn lọc lơp VII của RUSSIA
Đề bài: 
Bài 1 .So sánh: 4005 – 3992(4003 + 2×4002 + 3×400 + 4) và 2009.
Bài 2. Phân tích thành nhân tử: 1 + 4a2b2 – (a2 + b2)2.
Bài 3. Có thể hay không tổng các bình phương của hai số nguyên tố là bình phương của một số nguyên ?
Bài 4. Hai góc của tam giác bằng 100° và 60°. 
Chứng tỏ rằng ta có thể chia tam giác thành hai tam giác cân.
Bài 5. Trên cạnh bên АВ và ВС của tam giác cân АВС chọn các điểm D và Е tương ứng sao cho BD = BE. Đoạn АЕ và CD cắt nahu tại điểm F. 
Tính góc AFC, nếu góc ЕАС bằng 25°.
Bài 6. Trong tam giác nhọn ABC có ÐA = 30°; BB1 và CC1 – đường cao; B2 và C2 – trung điểm các cạnh AC và AB tương ứng. 
Tính góc do hai đường thẳng B1С2 và С1B2 cắt nhau 
Bài 7.. Trong tứ giác ABCD: ÐСАD + ÐВСА = 180° và АВ = ВС + АD . 
Chứng minh ÐВАС + ÐАСD = ÐСDА.
 ------------------------------------
Lời giải: 
Bài 1. .So sánh: 4005 – 3992(4003 + 2×4002 + 3×400 + 4) và 2009.
Trả lời : số thứ nhất bé hơn số thứ hai
Giải:
 Giả sử a = 400, khi đó biểu thức đã cho viết dưới dạng:
 a5 – (a – 1)2(a3 + 2a2 + 3a + 4). 
Biến đổi:
a5 – (a – 1)2(a3 + 2a2 + 3a + 4) = 
a5 – (a2 – 2a + 1)(a3 + 2a2 + 3a + 4) = 
a5 – a5 – 2a4 – 3a3 – 4a2 + 2a4 + 4a3 + 6a2 + 8a – a3 – 2a2 – 3a – 4 = 5a – 4.
 Với a = 400 biểu thức bằng 1996, nhỏ hơn 2009.
Bài 2. Phân tích thành nhân tử: 1 + 4a2b2 – (a2 + b2)2.
Trả lời: (1 + a2 – b2)(1 – a2 + b2).
Giải: 
Bỏ dắu ngoặc đưa về dạng:
 1 + 4a2b2 – (a2 + b2)2 = 
=1 + 4a2b2 – a4 – 2a2b2 – b4 = 
=1 – (a4 – 2a2b2 + b4) = 
=1 – (a2 – b2)2 = 
=(1 + a2 – b2)(1 – a2 + b2). 
Bài 3. Có thể hay không tổng các bình phương của hai số nguyên tố là bình phương của một số nguyên ?
Trả lời: không, không thể.
Giải;
Giả sử có thể có a2 + b2 = x2 ở đó a, b là số nguyên tố x là số nguyên, 
 khi đó b2 = x2 – a2 = (x – a)(x + a).
Điều này có thể xảy ra khi hai trường hợp x – a = x + a = b hay x – a = 1; x + a = b2
Trong trường hựop thứ nhất а = 0 điều này trái với giả thiết.
Trong trường hợp thứ hai x = a + 1, khi đó 2a + 1 = b2 ta có 2a = (b – 1)(b + 1).
Nếu b = 2, thì a không phải là số nguyên suy ra b số chẵn, lúc đó b – 1 và b + 1 có một số là bội của 2 và một số là bội số của 4, do đó 2a chia hết cho 8 suy ra a chia hết cho 4. Điều này trái với giả thiết.
Hình . 1
Bài 4. Hai góc của tam giác bằng 100° và 60°. Chứng tỏ rằng ta có thể chia tam giác thành hai tam giác cân.
Trả lời: xem hình . 1.
Giải:
Giả sử trong tam giác АВС góc А và В bằng 60° và 100° tương ứng, khi đó góc С bằng 20° (xem hình. 1). 
Kẻ đoạn AD sao cho ÐDAC = 20°. 
Khi đó từng tam giác ADC và ABD có hai góc bằng nhau. Đó chính là tam giác cần tìm.
Bài 5. Trên cạnh bên АВ và ВС của tam giác cân АВС chọn các điểm D và Е tương ứng sao cho BD = BE. Đoạn АЕ và CD cắt nahu tại điểm F. 
Hinh 2
Tính góc AFC, nếu góc ЕАС bằng 25°.
Trả lời: 130°.
Giải:
Bới vì АВ = ВС và BD = BE, thì AD = CE (xem hình. 2). 
Ngoài ra , ÐВАС = ÐВСА ( góc ở đáy của tam giác cân). 
Khảo sát tam giác ACD và CAE. Bới vì АС là cạnh chung, nên hai tam giác bằng nhau(gcg)
Suy ra, ÐDСA = ÐEAС = 25°. 
Khi đó trong tam giác AFC ta có ÐАFC = 180° – (25° + 25°) = 130°.
Bài 6. Trong tam giác nhọn ABC có ÐA = 30°; BB1 và CC1 – đường cao; B2 và C2 – trung điểm các cạnh AC và AB tương ứng. tính góc do hai đường thẳng B1С2 và С1B2 cắt nhau.
Trả lời : góc vuông.
Khoả sát tam giác АВВ1 có В1С2 – là trung tuyến его медиана (xem hình. 3а).
Theo tính chất của tiếp tuyến В1С2 = AB = АС2, suy ra tam giác АС2В1 cân góc ở đáy bằng 30°, ÐAС2B1 = 120°.
Tương tự С1В2 là trung tuyến của tam giác АCC1 ( xem hình . 3b), suy ra С1В2 = AС = АB2 suy ra tam giác АВ2С1 cân với góc ở đáy bằng 30°
h. 3c
h. 3а
h. 3b
Khảo sát tam giác С1С2D. ở đó D là giao điểm của B1С2 и С1B2 (xem hình . 3c).
Рассмотрим треугольник, где – точка пересечения отрезков (
Giả sử ÐС1DC2 = x. theo lý thuyet goác ngoài của tam giác x + 30° = 120°. Suy ra góc do đường thẳng cắt nhau tạo thành góc 90°.
Bài 7. Trong tứ giác ABCD: ÐСАD + ÐВСА = 180° và АВ = ВС + АD ( xem hình .).
	Chứng minh ÐВАС + ÐАСD = ÐСDА.
Giải:
Ta đặt : AD = x, BC = y, ÐCAD = a, ÐACB = b, ÐADC = g, ÐBAC = d, ÐACD = f (xem hình. 4а).
 Khi đó a + b = 180° và АВ = х + у (theo điều kiện đã cho). 
hinh. 4б
Bởi vì a + b = 180°, thì điểm В, С và Е sẽ nằm trên một đường thẳng 
Lúc đó СЕ = AD = x, thì ВЕ = х + у = AB ( hình 4б). 
Trong tam giác cân АВЕ các góc ở đáy bằng nahu
Nên d + f = g, là điều phải chứng minh
Hình . 4а
Bài 1 .So sánh: 4005 – 3992(4003 + 2×4002 + 3×400 + 4) và 2009.
Bài 2. Phân tích thành nhân tử: 1 + 4a2b2 – (a2 + b2)2.
Bài 3. Có thể hay không tổng các bình phương của hai số nguyên tố là bình phương của một số nguyên ?
Bài 4. Hai góc của tam giác bằng 100° và 60°. 
Chứng tỏ rằng ta có thể chia tam giác thành hai tam giác cân.
Bài 5. Trên cạnh bên АВ và ВС của tam giác cân АВС chọn các điểm D và Е tương ứng sao cho BD = BE. Đoạn АЕ và CD cắt nahu tại điểm F. 
Tính góc AFC, nếu góc ЕАС bằng 25°.
Bài 6. Trong tam giác nhọn ABC có ÐA = 30°; BB1 và CC1 – đường cao; B2 và C2 – trung điểm các cạnh AC và AB tương ứng. 
Tính góc do hai đường thẳng B1С2 và С1B2 cắt nhau.
Bài 7. Trong tứ giác ABCD: ÐСАD + ÐВСА = 180° và АВ = ВС + АD . 
Chứng minh ÐВАС + ÐАСD = ÐСDА.