Bài giảng môn học Hình học lớp 7 - Chuyên đề : Tính chất ba đường trung tuyến trong một tam giác

Chuyên đề : Tính chất ba đường trung tuyến trong một tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 17cm, BC = 16cm .Kẻ trung tuyến AM. Chứng minh rằng 
a) AM BC và AM là phân giác của góc A
b) Tính độ dài AM
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB.
Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Tia BE cắt CD tại M.
a) Chứng minh M là trung điểm của CD 
b)Chứng minh AM=BC
Bài 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Chứng minh rằng :AM < 
Bài 4:Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB;AC .Từ C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MN tại G.
a) C/mr: CG = MB b)C/mr: MG = BC và MG// BC 
c)Chứng minh BC = 2MN 
Bài5:Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AD. Kẻ trung tuyến BE cắt AD ở G. Gọi I;K theo thứ tự là trung điểm của GA ;GB.Chứng minh rằng 
a) IK // DE ; IK = DE b) Chứng minh AG = AD 
Bài6:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C sao cho MD = MA.
a) Tính số đo góc ABD b) C/mr: ABC = BAD 
c) Chứng minh AM = BC 
Bài 7: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BC .Chứng minh rằng BAC = 900 
Bài 8: Cho tam giác ABC, kẻ AH BC .Gọi M,N,P theo thứ tự là cảctung điểm của các cạnh BC ; CA; AB.
Chứng minh rằng : HPM = MNH 
Bài9:Cho tam giác ABC. Ba trung tuyến AM ; BN; CP cắt nhau tại G .Trên tia GM lấy điểm D sao cho MD = MG ,trên tia GN lấy điểm E sao cho NE = NG và trên tia GP lấy điểm F sao cho PF = PG.
a) Chứng minh ABC = DEF 
b) Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác DEF 
Bài10:Cho tam giác ABC. Trong nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, có chứa điểm B, ta vẽ tia Ax’ song song với BC và lấy trên Ax’ một điểm D sao cho AD = BC . Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC không chứa điểm B, ta vẽ tia Ax //BC và lấy trên Ax một điểm E sao cho AE = BC. Hai tia DB và EC cắt nhau tại F.
a) Chứng minh ba đường thẳng AF; BE; CD đồng quy tại một điểm G
b) Chứng minh hai tam giác ABC và EDF có cùng trọng tâm 
Bài11:Cho tam giác ABC trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của đoạn AM ,BI cắt cạnh AC tại D.
a) Chứng minh AC = 3AD b) Chứng minh ID = BD 
Bài12: Cho tam giác ABC vuông tai A. Biết AB = c ; AC = b ( b > c). Kẻ trung tuyến AM và trung tuyến BN.
Tìm hệ thức giữa b ,c để AM BN
Bài 13: Chứng minh rằng, nếu một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông ấy bằng 300.
Bài 14: Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A, kẻ AH BC ; HD và HE lần lượt là đường cao của tam giác AHB và AHC.Trên tia đối của tia DH, EH theo thứ tự lấy điểm M, N sao cho DM = DH ; EN = EH.
a) Chứng minh AM = AN b) C/m: AH là trung trực của MN
c)C/m: MAN = 2BAC 
Bài 15: Cho tam giác ABC trên AB lấy điểm D và E sao cho AD = BE. Trên cạnh AC lấy điểm F và H sao cho AF = CH . Chứng minh rằng tam giác BFH và CDE có cùng trọng tâm.
Bài 16: Cho tam giác ABC có AB < AC, hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G.Gọi D là trung điểm của BC.Chứng minh rằng :
a) Ba điểm A; G; D thẳng hàng 
b) BE < CF 
c) AD ; BE ; CF là ba cạnh của một tam giác 
Bài 17: Cho tam giác ABC, các trung tuyến AD ; BE ; CF cắt nhau tại G. C/mr:
a) AD BC 
c) chu vi ABC < AB + AC + BC < chu vi ABC 
Bài 18: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD = HA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CB.
a) Chứng minh rằng C là trọng tâm của tam giác ADE.
b)Tia AC cắt DE tại điểm M. Chứng minh AE // HM
Bài 19: Cho tam giác ABC, O là một điểm nằm trong tam giác. Vẽ BH và CK vuông góc đường thẳng AO. Cho biết tam giác AOB ; BOC ; AOC có diện tích bằng nhau, chứng minh rằng:
a) BH = CK b) O là trọng tâm tam giác ABC 
Bài 20:Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh C bờ là đường thẳng AB dựng đoạn AE vuông góc với AB và 
AE = AB. Trên nửa mặt phẳng chứa đỉnh B bờ là đường thẳng AC dựng đoạn AF vuông góc với AC và AF = AC. Chứng minh rằng:
a) FB = EC
b) EF = 2 AM
b) AM ^ EF.
Bài21: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên nửa mặt phẳng không chứa C có bờ AB, vẽ tia Ax vuông góc với AB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC vẽ tia Ay vuông góc với AC. Trên tia đó lấy điểm E sao cho AE = AC. Chứng minh rằng:
a) DE = 2 AM
b) AM ^ DE.
Bài 22:Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), kẻ trung tuyến AM. Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt AC tại N. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AN. Gọi H là giao điểm của BE và MA. Chứng minh:
a) b) AMN = ABN c) BH = AC
Bài 23: Cho tam giác ABC (góc A = 900, AB = AC. Kẻ trung tuyến BM. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MB = MD. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là đường thẳng BC kẻ tia Cx ^ CB. Trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CB. Chứng minh:
a) CD = AB và CD // AB. b) BD = AE.
Bài24: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC bằng hai lần độ dài cạnh AB. M là trung điểm của BC, N là trung điểm của BM. Trên tia đối của tia NA lấy D sao cho ND = NA. Chứng minh:
a) Tam giác BCD vuông. b) Tam giác ACD cân.
Bài 25: Cho tam giác ABC có các trung tuyến BE và CF. Trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB. Trên tia đối của tia FC lấy điểm N sao cho FN = FC. Chứng minh A là trung điểm của MN.
Bài 26: Cho tam giác ABC với và . Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH. Đường thẳng HE cắt AC tại D.
a) Chứng minh: BAC.
b) Chứng minh DA = DH = DC.
c) Lấy điểm B’ sao cho H là trung điểm của BB’. Chứng minh rằng tam giác AB’C cân.
d) Chứng minh: AE = HC.