Bài tập Hình học Lớp 7 học kì 2 - Chuyên đề III: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đồng quy trong tam giác

CHUYÊN ĐỀ III. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
VÀ CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY TRONG TAM GIÁC
CHỦ ĐỀ 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định lý 1
Trong một tam giác, góc đối diện với
cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu AC > AB thì
2. Định lý 2
Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
Trong tam giác ABC, nếu thì AC > AB.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. So sánh hai góc trong một tam giác
Phương pháp giải:
- Xét hai góc cần so sánh là hai góc của một tam giác.
- Tìm cạnh lớn hơn trong hai cạnh đối diện của hai góc ấy.
- Kết luận.
1A. 	So sánh các góc của tam giác ABC, biết rằng AB = 2 cm, 
BC = 4 cm, AC = 5 cm.
1B. 	So sánh các góc của tam giác MNP, biết rằng MN = 8cm, 
NP = 3 cm, MP = 10 cm.
2A. 	Cho tam giác ABC có AC > AB. So sanh hai góc ngoài tại các đỉnh B và C.
2B. 	Cho tam giác DEF có DE = 5 cm, DF = 7 cm. So sánh hai góc ngoài tại các đỉnh E và F.
3A. 	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. So sánh hai và 
3B. 	Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. So sánh và 
Dạng 2. So sánh hai cạnh trong một tam giác
Phương pháp giải:
- Xét hai cạnh cần so sánh là hai cạnh của một tam giác.
- Tìm góc lớn hơn trong hai góc đối diện với hai cạnh ấy.
- Kết luận.
4A. 	So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết = 80°, = 40°. 
4B.	 So sánh các cạnh của tam giác PQR, biết = 70°, = 50°.
5A. 	Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm K nằm giữa A và C. So sánh độ dài BK và BC
5B. 	Cho tam giác MNP vuông tại N. Trên tia đối của tia PN lấy điểm Q. So sánh độ dài MP và MQ.
6A. 	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, CE vuông góc với AB tại E. Gọi H là giao điểm cửa BD và CE. So sánh độ dài HB và HC.
6B. 	Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Từ I vẽ IH vuông góc với BC. So sánh độ dài HB và HC.
III. 	BÀI TẬP VỀ NHÀ
7. 	Cho tam giác QMN có OM = 3 cm, ON = 4 cm, MN = 5 cm.
So sánh các góc của tam giác OMN.
8. 	Chứng minh trong tam giác vuông, cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông
9. 	Cho tam giác ABC cân tại A có = 50°. So sánh độ dài AB và BC.
10. 	Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. So sánh và .
11. 	Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. So sánh và .
12. 	Cho tam giác ABC có = 90°, = 30°. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho = 20°. So sánh các độ dài các cạnh của BDC.
13. 	Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh AB. So sánh độ dài các cạnh của tam giác BMC.
14. 	Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuông góc vói BC tại H. So sánh:
a) BA và BH;	b) DA và DC.
15. 	Cho tam giác ABC có > 90°. Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Chứng minh DE < DC <BC.
16. 	Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ tia Bx nằm giữa hai tia BA và BC. Trên tia Bx lấy điểm D nằm ngoài tam giác ABC. Chứng minh 
DC < DB.
17*. 	Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại D. Chứng minh DB < DC.
18*. 	Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh .
HƯỚNG DẪN
1A.	Ta có AB 
1B.	Ta có NP 
2A. 	Ta có AC > AB => , do đó góc ngoài tại đỉnh B nhỏ hơn góc 
ngoài tại đỉnh C.
2B. 	Ta có DE , do đó góc ngoài tại đỉnh E nhỏ hơn góc 
ngoài tại đỉnh F.
3A. 	Vì AB < AC nên .
Lại có và
, từ đó ta có 
3B. 	Vì AB < AC nên , với
chú ý rằng 
Từ đó ta có 
4A. 	Tính được = 60°, do đó => AC < AB < BC.
4B. 	Tính được = 60°, do đó => PQ < PR < QR.
5A. 	Chú ý là góc ngoài của AKB 
nên > = 90° > .
BK < BC
5B. 	Tương tự 5A, ta có MP < MQ.
6A. 	Áp dụng 3A, ta có => HB < HC.
6B. 	Dùng kết quả bài 3B, ta có => IB < IC.
Mà HB2 = IB2 - IH2, HC2 = IC2 - IH2. Suy ra HB < HC.
7. 	Ta có OM .
8. 	Trong tam giác vuông, góc vuông là góc lớn nhất nên cạnh huyền 
(đối diện với góc vuông) là cạnh lớn nhất.
9. 	Tính được = 65°, do đó => AB > BC.
10. 	Ta có AB . 
Chú ý và 
, từ đó ta có 
11. 	Chú ý: 
Mà AB 
nên 
12. 	Tính được 
và , từ đó ta có 
DB < DC < BC.
13. 	Ta có 
Chú ý là góc ngoài của tam giác 
 nên 
Do đó 
bởi vậy MB < MC < BC.
14. 	a) Ta có ABD = HBD (cạnh huyền
 - góc nhọn), từ đó BA = BH.
b) Chứng minh được DA = DH, lại có
 tam giác DHC vuông tại H nên 
DH DA < DC.
15. 	Chú ý là góc ngoài của tam giác 
DAC nên 
=> DE < DC.
Tương tự ta có 
=> DC < BC, do đó DE < DC < BC.
16. 	Do Bx nằm giữa BA và BC nên
, chú ý D nằm ngoài tam 
giác ABC nên CA nằm giữa CD và 
CB, do đó 
Từ đó DCB > DB=>DC < DB.
17*. 	Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 
AB = AE, chứng minh được 
ABD = AED (c.g.c).
=> và DB = DE.
Từ đó DB = DE < DC.
18*. 	Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao
cho MA = MD, chứng minh được 
MAB = MDC (c.g.c).
 => , chú ý rằng 
CD = AB 
Do đó 
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
CHỦ ĐỀ 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC
VÀ ĐƯỜNG XIÊN, ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Định lý 1. Trong các đường xiên
và đường vuông góc kẻ từ một điểm
ở ngoài một đường thẳng đến đường
thẳng đó, đường vuông góc là đường 
ngắn nhất
AH a => AH < AC, AH < AD 
(Với C, D là điểm bất kì thuộc a)
2. Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu
Định lý 2. Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:
• Đường xiên nào có hình chiếu 
lớn hơn thì lớn hơn.
AH a, HD > HC => AD > AC.
• Đường xiên nào lớn hơn thì có 
hình chiếu lớn hơn.
AH a, AD > AC => HD > HC.
• Nếu hai đường xiên bằng nhau
 thì hai hình chiếu bằng nhau và
 ngược lại, nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.
AB = AC ó HB = HC (hình vẽ).
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. So sánh hai đường xiên hoặc hai hình chiếu
Phương pháp giải: Vận dụng Định lý 2.
1A.	 Cho tam giác ABC có AB <AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H. So sánh độ dài HB và HC
1B. 	Cho tam giác MNP có MN = 3 cm, MP = 4 cm. Kẻ MK vuông góc với NP tại K. So sánh độ dài KN và KP.
2A. 	Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N.
a) Chứng minh MN < BN < BC.
b) Có thể nói BN có hình chiếu xuống AC là AN còn CM có hình chiếu xuống AC là AC nên CM > BN được không?
2B. 	Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy các điểm M, N (M nằm giữa A, N). So sánh các độ dài BM, BN, BC.
3A. 	Cho tam giác ABC có AB > AC. Kẻ AH vuông góc với BC tại H, điểm D thuộc đoạn AH. So sánh:
a) DB và DC;	b) DB và AB.
3B. 	Cho tam giác MNP có MN < MP. Kẻ MK vuông góc với NP tại K. Trên tia đối của tia MK lấy điểm Q. So sánh độ dài QN và QP,
Dạng 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Phương pháp giải: Sử dụng định lý đường vuông góc ngắn hơn đường xiên (từ một điểm đến cùng một đường thẳng).
4A. 	Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa A và C (BD không vuông góc với AC). Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BD. So sánh AC với tổng AE + CF.
4B. 	Cho tam giác ABC, điểm M nằm giữa B và C. Gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến các đường thẳng AB và AC. So sánh BC và tổng MH + MK.
5. 	Cho tam giác ABC không vuông. Kẻ BD vuông góc với AC tại D, kẻ CE vuông góc với AB tại E. Chứng minh BD + CE < AB + AC
III. 	BÀI TẬP VỀ NHÀ
6. 	Cho tam giác ABC vuông tại B. Trên cạnh BC lấy các điểm D và E (D nằm giữa B và E)
a) So sánh các độ dài các đoạn thẳng AB, AD, AE, AC.
b) Vẽ BI, BK, BH lần lượt vuông góc với AD, AE, AC. So sánh các góc ABH, ABK, ABI.
7. 	Cho tam giác OMN vuông tại O. Lấy điểm P trên cạnh OM, điểm Q trên cạnh ON. Chứng minh PQ < MQ < MN.
8. 	Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, điểm D thuộc cạnh BC (D khác H). Chứng minh AH < AD < AB.
9. 	Cho tam giác ABC có và là các góc nhọn. Gọi D là điểm bất kì thuộc cạnh BC, gọi H và K là chân các đường vuông góc kẻ từ B và c đến đường thẳng AD. So sánh:
a) BH và BD. Có khi nào BH bằng BD không?
b) HC và BK khi BD < 
10. 	Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM.
a) Chứng minh ME = MF.
b) So sánh AB và 
11. 	Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CB lấy  ...  = BC = .10 = 5cm.
Do tam giác ABC cân tại A nên trung tuyến AD đồng thời là đường cao, do đó ABD vuông tại D.
Theo định lí pytago: AB2 = AD2 + BD2 => AD = 12 cm.
Vì G là trọng tâm ABC nên DG = AD = . 12 = 4 cm.
Bài 2.	 a) AEQ = BEC (c.g.c), suy 
ra: AQ = BC và AQ// BC. 
Tương tự, ta có: AP = BC 
và AP//BC.
Từ đó suy ra AP = AQ và 
A, P, Q thẳng hàng.
Vậy A là trung điểm của PQ.
b) BEQ = ABC (c.g.c) => 
=> BQ // AC.
 Tương tự ta có: CP // AB.
c) Chứng minh APC = CBA (g.c.g).
Chứng minh APC = BCR (g.c.g). .
Từ đó, suy ra AB = CP = CR nên PK = 2AB.
Tương tự, ta có QR = 2 AC.
Từ câu a), suy ra PQ = 2BC.
Vậy chu vi PQR bằng hai lần chu vi ABC.
d) PQR có RA, PB, QC là các đường trung tuyến nên AR, BP, CQ đồng quy
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
ĐỀ SỐ 2
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Câu 1. (1,0 điểm) 	Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
A. Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất.
B. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn là cạnh nhỏ nhất.
C. Trong một tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn.
D. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc tù.
Cân 2 (1,0 điểm) Khoanh vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
a) Tam giác DEF có thì:
A. DF < EF < DE	B. EF < DF < DE
C. DE < EF < DF	C. EF < DE < DF
b) Trực tâm của một tam giác thường là:
A. Giao điểm các đường trung tuyến của tam giác.
B. Giao điểm các đường trưng trực của tam giác
C. Giao điểm các đường cao của tam giác.
	D. Giao điểm các đường phân giác của tam giác.
PHẦN II. 	TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
Cho tam giác ABC vuông tại B, BC < BA. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của CE.
a) Chứng minh AB là tia phân giác của góc CAE.
b) Vẽ CM vuông góc với AE tại M, CM cắt AB tại H. Vẽ HN vuông góc với CA tại N. Chứng minh MAN cân và MN song song với CE.
c) So sánh HM và HC.
d) Tìm điều kiện của ABC để CMN cân tại N
HƯỚNG DẪN
PHẦN I .TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM)
Câu 1.
A. Đúng. 	B. Sai.	C. Đúng. 	D. Sai.
Câu 2.
a) B.	b) C.
PHẦN II. TỰ LUẬN (8 ĐIỂM)
HS tự ghi giả thiết, kết luận.
a) Chứng minh được:
ABC = ABE (c.g.c).
Suy ra .
Vậy AB là tia phân giác của .
b) Chứng minh được:
AHM = AHN (ch- gn).
Suy ra AM = AN. Do đó AMN cân tại A.
Mà AB là phân giác nên AB MN,
Khi đó MN song song với CE (cùng vuông góc vói I).
c) Do AHM = AHN nên HN = HM.
Mặt khác, trong tam giác vuông CNH có HC > HN.
Do đó HC > HM.
d) CMN cân tại N thì 
Mà MN // CE nên (so le trong).
Suy ra 
Chứng minh được CME = CMA (g.c.g). Suy ra CE = CA. 
Như vậy CA = CE = AE nên ACE là tam giác đều.
 = 60°.
Vậy tam giác ABC cần thêm điều kiện = 60° thì CMN cân tại N.
Chứng minh lại:
Khi ABC có = 60° thì CMN vừa là đường cao, vừa là phân giác nên = 30°. Suy ra CMN cân tại N
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................