Bộ 30 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 (Có đáp án)

1 
 §Ò 1 
C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 h·y so s¸nh: 
 a. A= 2222
1
....
4
1
3
1
2
1
n
++++ víi 1 . 
 b. B = ( )2222 2
1
...
6
1
4
1
2
1
n
++++ víi 1/2 
C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi 143
1
....
3
4
2
32 + +++++= n
n
n
α 
C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn l−ît ®é dµi hai ®−êng 
cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. 
C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn l−ît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho 
AB cã ®é dµi nhá nhÊt. 
C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ cba ++ lµ c¸c sè h÷u tØ. 
---------------------------------------------------------- 
§Ò 2: 
Môn: Toán 7 
Bài 1: (3 điểm): Tính 
1 1 2 2 318 (0,06 : 7 3 .0,38) : 19 2 .4
6 2 5 3 4
   
− + −     
Bài 2: (4 điểm): Cho a c
c b
= chứng minh rằng: 
a) 
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
 b) 
2 2
2 2
b a b a
a c a
− −
=
+
Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 
a) 1 4 2
5
x + − = − b) 15 3 6 1
12 7 5 2
x x− + = − 
Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật 
chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với 
vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên 
bốn cạnh là 59 giây 
Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có 
 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm 
trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: 
a) Tia AD là phân giác của góc BAC 
b) AM = BC 
2 
Bài 6: (2 điểm): Tìm ,x y ∈ℕ biết: 2 225 8( 2009)y x− = − 
§Ò 3 
Bài 1:(4 điểm) 
a) Thực hiện phép tính: 
( ) ( )
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 32 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49A
125.7 5 .142 .3 8 .3
− −
= −
++
 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
2 23 2 3 2n n n n+ +− + − chia hết cho 10 
Bài 2:(4 điểm) 
Tìm x biết: 
a. ( )1 4 23,23 5 5x − + = − + 
b. ( ) ( )1 117 7 0x xx x+ +− − − = 
Bài 3: (4 điểm) 
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1: :
5 4 6
. Biết rằng tổng các bình phương của 
ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 
b) Cho a c
c b
= . Chứng minh rằng: 
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Bài 4: (4 điểm) 
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E 
sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: 
a) AC = EB và AC // BE 
b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng 
minh ba điểm I , M , K thẳng hàng 
c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( )H BC∈ . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . 
Tính HEM và BME 
Bài 5: (4 điểm) 
Cho tam giác ABC cân tại A có 
 0A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác 
ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: 
c) Tia AD là phân giác của góc BAC 
d) AM=BC 
§Ò 4 
Bµi 1: (2 ®iÓm) 
3 
 Cho A = 2-5+8-11+14-17++98-101 
 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A 
 b, TÝnh A 
Bµi 2: ( 3 ®iÓm) 
 T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: 
 a, 2x = 3y =5z vµ 2x y− =5 
 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. 
 c, 1 2 3 1y z x z x y
x y z x y z
+ + + + + −
= = =
+ +
Bµi 3: ( 1 ®iÓm) 
1. Cho 3 8 91 2
2 3 4 9 1
...
a a aa a
a a a a a
= = = = = vµ (a1+a2++a9 ≠0) 
 Chøng minh: a1 = a2 = a3== a9 
 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c a b c
a b c a b c
+ + − +
=
+ − − −
 vµ b ≠ 0 
 Chøng minh c = 0 
Bµi 4: ( 2 ®iÓm) 
 Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. 
 Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) ⋮ 2 
Bµi 5: ( 2 ®iÓm) 
 Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt 
ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai 
®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF. 
 Chøng minh r»ng : ED = CF. 
=== HÕt=== 
 §Ò 5 
Bµi 1: (3 ®iÓm) 
1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
14,5 : 47,375 26 18.0,75 .2, 4 : 0,88
3
2 517,81:1,37 23 :1
3 6
  
− −    
−
4 
2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: ( )2007 20082 27 3 10 0x y− + + = 
3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph−¬ng cña sè tù nhiªn. 
Bµi 2: ( 2 ®iÓm) 
1. T×m x,y,z biÕt: 1 2 3
2 3 4
x y z− − −
= = vµ x-2y+3z = -10 
2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 
Chøng minh r»ng: 
3 3 3
3 3 3
a b c a
b c d d
+ +
=
+ +
Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 
1. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1... 10
1 2 3 100
+ + + + > 
2. T×m x,y ®Ó C = -18- 2 6 3 9x y− − + ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
Bµi 4: ( 3 ®iÓm) 
 Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh 
BC. 
 KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 
 1, Chøng minh: BH = AK 
 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? 
=== HÕt=== 
§Ò sè 6 
C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b 
C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: 
 a,5x-3 4 c, 4- x +2x =3 
C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 -x 
C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+...+102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+...+202 
C©u 5 : 
 việ 5 
Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t 
c¹nh AC t¹i D. 
 a. Chøng minh AC=3 AD 
 b. Chøng minh ID =1/4BD 
 -------------------------------------- HÕt ----------------------------------------- 
§Ò sè 7 
Thêi gian lµm bµi: 120 phót 
C©u 1 . ( 2®) Cho: 
d
c
c
b
b
a
== . Chøng minh: 
d
a
dcb
cba
=





++
++
3
. 
C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = 
ac
b
ba
c
cb
a
+
=
+
=
+
. 
C©u 3. (2®). T×m Zx ∈ ®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. 
 a). A = 
2
3
−
+
x
x . b). A = 
3
21
+
−
x
x . 
C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: 
 a) 3−x = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 
C©u 5. (3®). Cho 
 ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, 
CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh 
 MHK vu«ng c©n. 
-------------------------------- HÕt ----------------------------------- 
 §Ò sè 8 
Thêi gian lµm bµi : 120 phót. 
C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 
 1. Ba ®−êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù 
nhiªn. T×m a ? 
 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc 
d
c
b
a
= ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®−îc c¸c 
tØ lÖ thøc: 
 a) 
dc
c
ba
a
−
=
−
. b) 
d
dc
b
ba +
=
+ . 
C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) 
< 0. 
C©u 3: (2 ®iÓm). 
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a<b<c<d. 
C©u 4: ( 2 ®iÓm). Cho h×nh vÏ. 
 a, BiÕt Ax // Cy. so s¸nh gãc ABC víi gãc A+ gãc C. 
 b, gãc ABC = gãc A + gãc C. Chøng minh Ax // Cy. 
A 
B 
x 
6 
C©u 5: (2 ®iÓm) 
 Tõ ®iÓm O tïy ý trong tam gi¸c ABC, kÎ OM, ON , OP lÇn l−ît vu«ng gãc víi c¸c 
c¹nh BC, CA, Ab. Chøng minh r»ng: 
AN2 + BP2 + CM2 = AP
2 + BM2 + CN2 
---------------------------- HÕt -------------------------------- 
§Ò sè 9 
Thêi gian lµm bµi: 120 phót 
C©u 1(2®): 
 a) TÝnh: A = 1 + 3 4 5 100
3 4 5 100
...
2 2 2 2
+ + + + 
 b) T×m n ∈Z sao cho : 2n - 3 ⋮ n + 1 
C©u 2 (2®): 
 a) T×m x biÕt: 3x - 2 1x + = 2 
 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. 
C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213
70
, c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu 
cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. 
C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña 
tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm 
B, I, C th¼ng hµng. 
C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1
7
 = 1
y
---------------------------------------------------HÕt------------------------------------------ 
§Ò sè 10 
Thêi gian lµm bµi: 120’. 
C©u 1: TÝnh : 
 a) A = 
100.99
1
....
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++ . 
 b) B = 1+ )20...321(
20
1
....)4321(
4
1)321(
3
1)21(
2
1
++++++++++++++ 
C©u 2: 
 a) So s¸nh: 12617 ++ vµ 99 . 
 b) Chøng minh r»ng: 10
100
1
....
3
1
2
1
1
1
>++++ . 
C©u 3: 
 T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 
C©u 4 
C 
y 
7 
 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy 
c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), 
vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: 
 a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. 
C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 12001 −+− xx 
------------------------------------------ hÕt --------------------------------------------- 
 §Ò sè 11 
Thêi gian lµm bµi: 120 phót 
C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: 
 a, 
327
2+x +
326
3+x +
325
4+x +
324
5+x +
5
349+x =0 
 b, 35 −x 7≥ 
C©u2:(3 ®iÓm) 
 a, TÝnh tæng:
2007210
7
1
........
7
1
7
1
7
1






−++





−+





−+





−=S 
 b, CMR: 1
!100
99
........
!4
3
!3
2
!2
1
<++++ 
 c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d−¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 
10 
C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao 
t−¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? 
C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc 060=B hai ®−êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña 
tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. 
 a, TÝnh gãc AIC 
 b, CM : IP = IQ 
C©u5: (1 ®iÓm) Cho 
3)1(2
1
2 +−
=
n
B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 
---------------------------------- hÕt ---------------------------------- 
§Ò sè 12 
Thêi gian : 120’ 
C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : 
 a) ( )51−x = - 243 . 
 b) 
15
2
14
2
13
2
12
2
11
2 +
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxx 
 c) x - 2 x = 0 (x 0≥ ) 
C©u 2 : (3®) 
8 
 a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 
8
1
4
5
=+
y
x
 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 
3
1
−
+
x
x (x 0≥ ) 
C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 35 −x - 2x = 14 
C©u 4 : (3®) 
 a, Cho ∆ ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t−¬ng øng tØ lÖ 
víi c¸c sè nµo . 
 b, Cho ∆ ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB 
lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 
 1) DE // BC 
 2) CE vu«ng gãc víi AB . 
-----------------------------------HÕt-------------------------------- 
§Ò sè 13 
Thêi gian lµm bµi: 120 phót 
Bµi1( 3 ®iÓm) 
 a, TÝnh: A = 
1
11
60).25,091
5(
)75,1
3
10(
11
12)
7
176
3
126(
3
110
−−
−−−
 b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 ++ 100 – 410) 
Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d−¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 
2. 
Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. 
Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ ABC vu«ng t¹i B, ®−êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña 
tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. 
-------------------------------------------- hÕt ------------------------------------------- 
§Ò sè 14 
Thêi gian lµm bµi 120 phót 
Bµi 1(2  ...  = 20 
C©u 2 
M
A
B C
D
E
F
51 
a. A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.1011 1 1 .... 1
4 9 16 100 2 3 4 100
1.2.3.2....98.99 3.4.5...99.100.101 101 1 1
2.3.4...99.100 2.3.4......99.100 200 2 2
A
A
     
− = − − − − =     
     
= = > ⇒ < −
i i iii
i
b. B = 1 3 4 41
3 3 3
x x
x x x
+ − +
= = +
− − −
 B nguyªn ( )4
4
ˆ 3
3
nguen x
x
′⇔ ⇔ − ∈
−
∪ 
{ }4;25;16;1;49x⇒ ∈ 
C©u 3 
Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh 
Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h 
VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h 
Ta cã: 1 1 1
2 2 2
4 3
3 4
V t V
va
V t V
= = = 
(t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) 
tõ 1 2 1 2 1
2
3 15 15
4 4 3 4 3 1
t t t t t
t
−
= ⇒ = = = =
−
  t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê 
VËy qu·ng ®−êng CB lµ 3km, AB = 15km 
Ng−êi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê 
C©u 4 
a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC) 
b. Tam gi¸c AID = tam gi¸c CIB (c.g.c) 
 gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND  tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c) 
 Gãc I3 = gãc I4  M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN 
Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN 
c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900  gãc AIB 900 
d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng 
t¹i A 
C©u 5. 
P = 4 10 101
4 4
x
x x
− +
= +
− −
 P lín nhÊt khi 10
4 x−
 lín nhÊt 
XÐt x > 4 th× 10
4 x−
 < 0 
XÐt x< 4 th× 10
4 x−
 > 0 
 10
4 x−
 lín nhÊt  4 – x lµ sè nguyªn d−¬ng nhá nhÊt 
 4 – x = 1  x = 3 
khi ®ã 10
4 x−
 = 10  Plín nhÊt = 11. 
------------------------------------------------------------- 
52 
H−íng dÉn chÊm ®Ò 26 
Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã 62 −x + 5x =9 
62 −x = 9-5x 
* 2x –6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 
7
15 kh«ng tho· m·n. (0,5) 
* 2x – 6 < 0 ⇔ x< 3 khi ®ã 6 – 2x = 9-5x ⇒ x= 1 tho· m·n. (0,5) 
VËy x = 1. 
b) TÝnh . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) : 





+++
6
1
5
1
4
1
3
1 = 0. (0,5) 
( v× 12.34 – 6.68 = 0). 
c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 +...+ 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1. (0,5) 
Nh− vËy 2101 –1 < 2101 . VËy A<B . (0,5) 
Bµi 2 : Gäi 3 c¹nh cña tam gi¸c ABC lµ a, b, c vµ 3 ®−êng cao t−¬ng øng lµ ha, hb, hc . 
Theo ®Ò bµi ta cã. (ha+ hb): (hb + hc) : (hc + ha ) = 5 :7 :8 hay ha + hb =5k ; hb + hc=7k 
hc + ha = 8k ; ha + hb +hc =10k . (k lµ hÖ sè tØ lÖ ) . (0,5) 
Suy ra hc =( ha + hb +hc) – (ha + hb) = 10k –5k =5k. 
T−¬ng tù : ha =3k , hb= 2k . A 
DiÖn tÝch tam gi¸c : 
2
1 a . ha = 2
1 b.hb 
Suy ra .
3
2
3
2
===
k
k
h
h
b
a
a
b T−¬ng tù : ;
2
5
;
3
5
==
c
b
c
a (0,5) 
a.ha = b.hb =c.hc ⇒
cba h
c
h
b
h
a
111 == B C 
⇒a:b:c =
5
1
:
2
1
:
3
11
:
1
:
1
=
cba hhh
 . Hay a:b:c = 10: 15 :6 . (0,5) 
Bµi 3 : a) T¹i x =
9
16 ta cã : A = 7
1
9
16
1
9
16
=
−
+
 ; t¹i x =
9
25 ta cã : A = 4
1
9
25
1
9
25
=
−
+
; (1) 
b) Víi x >1 . §Ó A = 5 tøc lµ 
4
9
2
35
1
1
=⇔=⇔=
−
+
xx
x
x . (1) 
Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : 
tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM 
(tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . 
vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña ∆CDM ) = 2DCM. 
53 
T−¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc 
cïng nhän). 
MDB = CAB (gãc cã c¹nh t−¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã 
ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD 
) 
suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . 
(1,5) 
Bµi 5 : 
Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; 
(0,75) 
Do –( x+ 4)2 ≤ 0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = 
-4 
Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21. 
------------------------------------------------------------ 
h−íng dÉn ®Ò 27 
C©u 1: (3®) 
b/ 2-1.2n + 4.2n = 9.25 
suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® 
suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 
suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5® 
c/ 3n+2-2n+2+3n-2n=3n(32+1)-2n(22+1) = 3n.10-2n.5 0,5® 
v× 3n.10 ⋮10 vµ 2n.5 = 2n-1.10 ⋮10 suy ra 3n.10-2n.5 ⋮10 0,5® 
Bµi 2: 
a/ Gäi x, y, z lÇn l−ît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+) ta cã: 
2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® 
hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® 
suy ra: x=60; y = 40; z=30 
-7(4343-1717) 
b/ -0,7(4343-1717) = 0,5®10 
Ta cã: 4343 = 4340.433= (434)10.433 v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433 tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 
tËn cïng bëi 7 
1717 = 1716.17 =(174)4.17 v× 174 cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174)4 cã tËn cïng lµ 1 suy ra 
1717 = 1716.17 tËn cïng bëi 7 0,5® 
suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343-1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343-1717 
chia hÕt cho 10 0,5® 
suy ra -0,7(4343-1717) lµ mét sè nguyªn. 
Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) 
a/ MDB= NEC suy ra DN=EN 0,5®∆ ∆ 
54 
b/ MDI= NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 
0,5® 
c/ Gäi H lµ ch©n ®−êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra 
HAB=HAC 0,5® 
gäi O lµ giao AH víi ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× 
 OAB= OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® 
 OIM= OIN suy ra OM=ON 0,5® 
suy ra  OBN= OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® 
Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® 
VËy ®iÓm O cè ®Þnh. 
------------------------------------------------------- 
§¸p ¸n ®Ò 28 
C©u 1: (2®). 
a. a + a = 2a víi a ≥ 0 (0,25®) 
Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). 
b. a - a 
-Víi a≥ 0 th× a - a = a – a = 0 
-Víi a< 0 th× a - a = - a - a = - 2a 
c.3(x – 1) - 2x + 3 
-Víi x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 3 
Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) 
= 3x – 3 – 2x – 6 
= x – 9. (0,5®) 
-Víi x + 3 < 0 → x< - 3 
Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). 
= 3x – 3 + 2x + 6 
= 5x + 3 (0,5®). 
C©u 2: T×m x (2®). 
a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 ⇔ 5 3 7x x− = + (1) (0,25 ®) 
§K: x ≥ -7 (0,25 ®) 
( ) ( )
5 3 7
1
5 3 7
x x
x x
− = +
⇒ 
− = − +
. (0,25 ®) 
VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). 
b. 2x + 3 - 4x < 9 (1,5®) ⇔2x + 3 < 9 + 4x (1) 
§K: 4x +9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 9
4
− (1) ⇔ ( )4 9 2 3 4 9x x x− + < − < + 
 2 3x− < < − (t/m§K) (0,5®). 
C©u 3: 
55 
Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ a, b, c. V× sè cµn t×m chia hÕt 18 → sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 
9. 
VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). 
Tacã: 1 ≤ a + b + c ≤ 27 (2) 
V× 1 ≤ a ≤ 9 ; b ≥ 0 ; 0 ≤ c ≤ 9 
Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). 
Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). 
V× sè cµn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 → ch÷ sè hµng ®¬n 
vÞ ph¶i lµ sè ch½n. 
VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®). 
-VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). 
-Qua N kÎ NK // AB ta cã. 
EN // BK ⇒ NK = EB 
EB // NK EN = BK 
L¹i cã: AD = BE (gt) 
⇒ AD = NK (1) 
-Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) 
⇒ DM = KC (1®) 
------------------------------------------------------ 
§¸p ¸n ®Ò 29 
Bµi 1: Ta cã: 10A = 
2007
2007 2007
10 10 9
 = 1 +
10 1 10 1
+
+ +
 (1) 
T−¬ng tù: 10B = 
2008
2008 2008
10 10 9
 = 1 +
10 1 10 1
+
+ +
 (2) 
Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008
9 9
10 1 10 1
>
+ +
 ⇒10A > 10B⇒A > B 
Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 
 A = 1 1 11 . 1 ... 1(1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006
2 2 2
     
     
− − −     + + +     
     
 = 
2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2
. . .... . . ....
3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007
− −
= (1) 
Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 
= 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) 
Tõ (1) vµ (2) ta cã: 
A = 
4.1 5.2 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005) 2008 1004
. . ....
2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009= = = 
56 
Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: 
x 1 1 1 x 1
8 y 4 y 8 4
− = ⇒ = − 
Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã :
1 x - 2
y 8
= . Do ®ã : y(x-2) =8. 
§Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ −íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t−¬ng øng cÇn t×m 
trong b¶ng sau: 
Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 
x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 
X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 
Bµi 4:(2 ®iÓm) 
Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: 
b + c > a. 
Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2. (1) 
T−¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) 
a.c + c.b > c2 (3). 
Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®−îc: 
2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. 
Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ABK c¾t ®−êng th¼ng CK ë I. 
Ta cã: IBC△ c©n nªn IB = IC. 
BIA△ = CIA△ (ccc) nªn   0BIA C IA 120= = . Do ®ã: 
BIA△ = BIK△ (gcg) BA=BK⇒ 
b) Tõ chøng minh trªn ta cã: 
 0BAK 70= 
--------------------------------------------------- 
§¸p ¸n ®Ò 30 
Bµi 1. 4® 
a) 74( 72 + 7 – 1) = 74. 55 ⋮ 55 (®pcm) 
 2® 
b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 
 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 
 1® 
Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 
51 1
4
5 − 
 1® 
Bµi 2. 4® 
a) 
2 3 4
a b c
= =  2 3 2 3 20 5
2 6 12 2 6 12 4
a b c a b c+ − −
= = = = =
+ − −
 => a = 10, b = 15, c =20. 
 2® 
C 
K 
A 
I 
B 
57 
b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z ∈N-
*) 0,5® 
Theo bµi ra ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 
0,5® 
BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z 
=> 20000 50000 100000 16 2
100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8
x y z x y z x y z+ +
= = ⇔ = = = = =
+ +
0,5® 
Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. 
VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 2. 
0,5® 
Bµi 3. 4® 
a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - 1
4
x - 1
4
1® 
 f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - 1
4
x + 1
4
 1® 
b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = - 1 
A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 ++ (-1)100 = 1 + 1 + 1 ++ 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 
2® 
Bµi 4. 4®: VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® 
a) ∆ ABD = ∆ EBD (c.g.c) => DA = DE 
b) V× ∆ ABD = ∆ EBD nªn gãc A b»ng gãc BED 
 Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 
e
d
c
a
b
Bµi 5: 4® 
a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: 
 DE//AB, DE = 1
2
AB, IK//AB, IK= 1
2
AB 
 Do ®ã DE // IK vµ DE = IK 
b) ∆ GDE = ∆ GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) 
 Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) 
 Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) 
 ⇒ GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = 2
3
AD 
G
k
i e
d
c
b
a
- VÏ h×nh: 0,5® 
- PhÇn a) ®óng: 2® 
- PhÇn b) ®óng: 1,5®