Bộ ba số Pythagore

Bộ ba số Pythagore
Định lý Pythagore : a2 + b2 = c2
Một bộ ba số Pythagore gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Khi đó ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba ai cũng biết là (3, 4, 5). Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k bất kỳ cũng là Pythagor. Một bộ ba số Pythagore được gọi là bộ ba số Pythagor nguyên tố nếu a, b và c là các số nguyên tố cùng nhau. 
Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ định lý Pythagore. Các bộ ba số Pythagore có thể lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c. Tuy nhiên, độ dài các cạnh của một tam giác vuông không tạo thành bộ ba số Pythagor nếu chúng không là các số nguyên. Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông , nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagore vì √2 không là số nguyên.
Không có bộ ba số Pythagore nào có 2 số chẵn và có 3 số liền nhau (trừ 3,4 và 5)
Có 16 bộ ba số Pythagor nguyên tố với c ≤ 100:
( 3, 4, 5)
( 5, 12, 13)
( 7, 24, 25)
( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)
(11, 60, 61)
(12, 35, 37)
(13, 84, 85)
(16, 63, 65)
(20, 21, 29)
(28, 45, 53)
(33, 56, 65)
(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(48, 55, 73)
(65, 72, 97)
Công thức sau tổng quát tất cả các bộ ba số Pythagore (không đơn trị):
a = k*(2mn) 
b = k*(m2 - n2) 
c = k*(m2 + n2) 
trong đó m và n là hai số nguyên dương với m > n và k là số nguyên dương tùy ý. Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới công thức cổ điển cho bởi Euclid (kh. 300 TCN) trong cuốn sách Elements của ông, thường được gọi là công thức Euclid:
a = 2mn 
b = m2 - n2 
c = m2 + n2 
Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là các số nguyên tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn. Nếu cả n và m là chẵn, thì a, b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó không nguyên tố cùng nhau. Mọi bộ ba nguyên tố (có thể đổi vai trò giữa a và b) sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.
Tính chất sơ cấp
Trong một bộ ba Pitago nguyên thủy, kí hiệu:
Hai cạnh góc vuông: 
m2 − n2 và 2mn là 2 cạnh góc vuông a,b; trong đó 2mn là cạnh góc vuông chẵn. 
c = m2 + n2 là cạnh huyền. 
Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pitago, 
(c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm tra xem một bộ ba số có phải là bộ ba Pitago hay không, tuy vậy đây chỉ là điều kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba Pitago. Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) " (c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pitago; bộ ba Pitago này có thể không nguyên thủy. 
Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pitago nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pitago nguyên thủy. 
Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương. 
Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có cạnh huyền là số chính phương. 
Tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy có một cạnh góc vuông là số chính phương 
Tổng của cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn của một bộ ba Pitago nguyên thủy là một số chính phương lẻ; và trung bình cộng của cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ là một số chính phương 
(m2 + n2) + (2mn) = (m + n)2 
. 
Diện tích (A = ab/2) là số đồng dư (tiếng Anh: congruent number) chẵn. 
Trong hai số a, b có đúng một số lẻ; và c là số lẻ. 
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3. 
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4. 
Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5. 
Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7. 
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 8. 
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 9. 
Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có đúng một số chia hết cho 11. 
Tất cả các ước nguyên tố của c đều là số nguyên tố có dạng 4k + 1. 
Chứng minh
Giả sử c = m2 + n2 có ước nguyên tố p có dạng 4k+3, suy ra:
m2 đồng dư với − n2 mod p. 
Suy ra m2(2k + 1) đồng dư với − n2(2k + 1) mod p. 
Suy ra mp − 1 đồng dư với − np − 1 mod p. 
Do m,n nguyên tố cùng nhau, do đó chúng đều không chia hết cho p. Suy ra, theo định lý Fermat nhỏ mp − 1 đồng dư với 1 mod p, và − np − 1 đồng dư với -1 mod p. Suy ra 1+1 chia hết cho p, vô lí vì p có dạng 4k+3.
Mặt khác c lẻ do đó p lẻ. Tóm lại p chỉ có dạng 4k+1.
Tất cả các số tự nhiên "lớn hơn 2 và không phải số có dạng 4k + 2" luôn thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào đó. 
Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 đều thuộc một bộ Pitago nào đó (nguyên thủy hoặc không), ví dụ các số 6,10,14 và 18 không thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc một bộ ba Pitago không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 và 18, 80, 82. 
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 1 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên j lẻ bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn bằng j 2. 
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 2 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên k > 0 bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pitago nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ bằng 2k 2. 
Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, không nhất thiết phân biệt, thì đúng một bộ ba Pitago nguyên thủy sao cho a + j2 = c = b + 2k. 
Cạnh huyền của tất cả các bộ ba nguyên thủy đều có hiệu với cạnh góc vuông chẵn là một số chính phương, và có hiệu với cạnh góc vuông lẻ bằng hai lần một số chính phương: 
(m2 + n2) − (2mn) = (m − n)2 
. 
Không có một bộ ba Pitago nguyên thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng một số nguyên tố lẻ. 
Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n bộ ba Pitago có cùng diện tích, nhưng khác nhau ở độ dài cạnh huyền. 
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pitago khác nhau có cùng cạnh góc vuông a, với a là một số tự nhiên nào đó. 
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pitago khác nhau có cùng cạnh huyền. 
Trong mỗi bộ ba Pitago, bán kính đường tròn nội tiếp và "3 bán kính của ba đường tròn bàng tiếp" là số tự nhiên. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng r = n(m − n). 
Không có bộ ba Pitago nào mà cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông lại là các cạnh góc vuông của bộ bộ ba Pitago nguyên thủy khác.