Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7: Các dạng toán và phương pháp giải

CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng I: Tìm giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra: , 
Theo giả thiết: 
Do đó: 
KL: 
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Do đó: 
KL: 
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết 
mà 
Do đó: 
KL: 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 
Giải:
Từ giả thiết: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
Ta có: 
Do đó: 
KL: 
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt ( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
mà 
Suy ra: , 
KL: 
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và 
Giải: 
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra , 
Theo giả thiết: 
+ Với ta có: 
+ Với ta có: 
KL: hoặc 
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
Nhân cả hai vế của với x ta được: 
+ Với ta có 
+ Với ta có 
KL: hoặc 
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 
Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 
Bài 7: Cho và 
Tìm giá trị của: 
Giải: ( Vì)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) và 5x – 2y = 87;	b) và 2x – y = 34;
b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
	 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
	 Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Biết a+b+c.Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải: 
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm
Dạng II: Chứng minh tỉ lệ thức
 Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+) 
+) 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (1)
 (2) 
Từ giả thiết: (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: (PP2)
Đặt , suy ra 
Ta có: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết: 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 (đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: (1)
Ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: Đặt , suy ra 
Ta có: (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: Từ giả thiết: 
 (đpcm)
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
a) b) c) 
d) e) f)
g) h) i) 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Bài 7: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 8: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 10: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 11: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 13: Cho . CMR: 
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Giải. Ta có : =;
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thì 
Bài 16: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không?
Bài 17: CMR nếu 
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
Bài 18: Cho . CMR: 
Bài 19: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì 
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: 
và 
Chứng minh rằng: 
Bài 22: CMR nếu .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
Bài 23: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. 
Bài 24: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Bài 25: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 27: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.	
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 29: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
Dạng III: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
 TQ: Nếu 
 Nếu 
 Nếu x-a ³ 0=> = x-a
 Nếu x-a Ê 0=> = a-x
*Tính chất
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
 TQ: 	 với mọi a ẻ R
Cụ thể:
 =0 a=0
 ≠ 0 a ≠ 0
* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
 TQ: 	
* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
 TQ:	 và 
* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
TQ: 	Nếu 
* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
 TQ: 	Nếu 
* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
 TQ: 	
* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
 TQ: 	
* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
TQ: 	
* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
TQ: 	 và 
2. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: 	 ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 
- Nếu k > 0 thì ta có: 
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Giải
 a) = 4
x= ± 4
 a) 
2x-5 = ± 4
* 2x-5 = 4
 2x = 9
 x = 4,5
* 2x-5 = - 4
 2x =5-4
 2x =1
 x	 =0,5
Tóm lại: x = 4,5; x =0,5
b)	
 = - 
Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.5: Tìm x, biết:
a) 	b) c) d) 
2. Dạng 2: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất: ta có: 
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) d) 
a) 
* 5x-4=x+2
5x- x =2+4
4x=6
 x= 1,5
* 5x-4=-x-2
5x + x =- 2+ 4
6x= 2
 x= 
Vậy x= 1,5; x= 
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a) 	b) c) d) 
3. Dạng 3: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
	(1)
Điều kiện: B(x) (*)
(1) Trở thành ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu 
Nếu 
Ta giải như sau: 	(1)
Nếu A(x) thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
VD1: 
Giải :
 a0) Tìm x ẻ Q biết =2x
 * Xét x+ ³ 0 ta có x+ =2x
 *Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2x
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
4. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: 
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Ví dụ1 : Tìm x biết rằng (1)
v Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được x
Giải
Xét x – 1 = 0 x = 1; x – 1 0 x > 1
 x- 3 = 0 x = 3; x – 3 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:
x
 1 3
x – 1
 - 0 + 
 + 
x – 3
 - 
 - 0 +
Xét khoảng x < 1 ta có: (1) (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 -2x + 4 = 2x – 1 
 x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng 1 x 3 ta có: 
 (1) (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1 
 2 = 2x – 1 
 x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)
Xét khoảng x > 3 ta có: (1) (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1
 - 4 = -1 ( Vô lí)
Kết luận: Vậy x = . 
VD2 : Tìm x
 + =0
Nhận xét x+1=0 => x=-1
 x-1=0 => x=1 
Ta lập bảng xét dấu
x
 -1 1
x+1
 - 0 + +
x-1
 - - 0 +
 Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp
Nếu x<-1
Nếu -1 Ê x Ê 1
Nếu x >1 
Bài 4.1: Tìm x, biết: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 
Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 	
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
 (1)
Điều kiện: D(x) kéo theo 
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.2: Tìm x, biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
7. Dạng 7: 
 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: 
B1: đánh giá: 
B2: Khẳng định: 
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 	b) 	c) 
Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 	 c) 
* Chú ý1: Bài t ... ƯỜNG ĐỒNG QUY 
 TRONG TAM GIÁC
 A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 $1. TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
 Ba đường trung tuyờn của tam giỏc đồng quy tại một điểm.Điểm nầy gọi là trọng tõm của tam giỏc. Trọng tõm cỏch mỗi đỉnh một khoảng bừng 2/3 độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy .
 Nõng cao : 1/ Hai tam giỏc cú chung đỉnh và cú chung một trung tuyến phỏt xuất từ đỉnh ấy thỡ cú cựng một trọng tõm .
 2/ Trung tuyến của tam giỏc thỡ chia tam giỏc thành 2 diện tớch bằng nhau .
 3/ Ba trung tuỷến một tam giỏc chia tam giỏc chia tam giỏc thành 6 tam giỏc nhỏ cú diẹn tớch bằng nhau .
 $2. Tớnh chỏt 3 tia phõn giỏc của gúc , Tam giỏc :
Điểm nằm trờn tia phõn giỏc của một gúc cỏh đều hai cạnh của gúc đú .
Đảo lại: Điểm nằm ben trong một gúc và cach đều 2 cạnh của gúc thỡ nằm trờn tia phõn giỏc của gúc đú.
Ba đường phõn giỏc của tam giỏc đồng quy tại một điểm . Điểm nầy cỏch đều 3 cạnh của tam giỏc.Cũn goi là tam vũng trũn nội tiếp của tam giỏc.
Bổ sung: Tron một tam giỏc cỏc đường thửng chứa tia phõn giỏc của gúc ngoài và tia phõn giỏc của gúc trong khụng kề cựng đi qua một điểm.Điểm nầy cỏch đều 3 đường thẳng chứa ba cạnh của tam giỏc .
 $3. Tớnh chất đường trung trực của đoạn thẳng.
 Tớnh chất 3 đường trung trực của tam giỏc:
Điểm nằm trờn trung trực của đoạn thẳng thỡ cỏch dều hai mỳt(đầu) đoạn thẳng ấy .
Đảo lại: Điểm cỏch đốu hai đầu mut đopạn thẳng thỡ nằm trờn trung trực đoạn thẳng đú.
Ba đường trung trực của tam giỏc đồng quy tại một điểm. Điểm nầy cỏch đều ba đỉnh của tam giỏc. Cũn gọi là tõm vũng tron ngoại tiếp của tam giỏc . 
Bổ sung: Cú một đường trũn qua ba đỉnh của tam giỏc. Gọi là đường trũn ngoại tiếp tam giỏc . Tõm đường trũn nầy là giao điẻm ba đường trung trực của tam giỏc .
Đường trũn ngoại tiộp của tam giỏc vuụng cú tõm là trung điẻm cạnh huyền .
 $4. Tớnh chất ba đường cao của tam giỏc :
Ba đường cao của tam giỏc đồng quy tại một điểm . Điểm đú gọi là trực tõm của tam giỏc
Nõng cao: - Trực tõm của tam giỏc nhọn nằm trong tam giỏc >
Trực tõm của tam giỏc vuụng nằm tại đỉnh gúc vuụng.
Trực tõm của tam giỏc tự cú đỉnh năm ngoài tam giỏc .
 LUYỆN TẬP:
BÀI 1. Cho tam giỏc ABNC cú AB < AC. Hai trung tuyến BE , CF cắt nhau tại G . Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh rằng :
 a/ A,G,D thẳng hàng ?
 b/ BE < CF
 A 
 HD: a/ Gọi G là trọng tõm của tam giỏc nờn trung
 AG phải qua G => A,G,D thẳng hàng
 b/ cúDB=DC;AD 
 F E chung,AB<AC(gt) nờn (Đlớ: hai tgiỏc cú 
 2 cặp cạnh bằng nhau )
 cú DB=DC;GD chung,
 Nờn GB 2/3BEBE<CF.
B D C
BÀI 2. Cho tam giỏc ABC cỏc trung tuýen AD,BE,CF căt nhau tai G . Chứng minh rằng : 
 A a/ b/ BE+CF < 3/2 BC
 HD: a/ Vẽ điểm D trung điểm AM. Chứng minh
 F E 
 Xột cú AM < AC + CM hay 
B C 2AD AD < 
 D b/ Xột tam giỏc GBC cú GB+GC>BC
 =>2/3BE + 2/3CF > BC => BE + CF > 3/2 BC
 M
BÀI 3. Cho gúc xễy . Lấy điểm A tren O x, điểm B trờn Oy. Vẽ tia phõn giỏc cỏc gúc BA x và ABy cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuụng gúc với OM cắt O x,Oy lần lượt tai C,D . Chứng minh tam giỏc OCD cõn?
 HD: Xột tam giỏc AOB cú cỏc tia phõn giỏc ngoài của 
 gúc A và B cắt nhau tai M nờn tia tia OM là tia 
 phõn giỏc gúc xễy.=>
 D =>OC = OD => cõn
 B
O A C x
BÀI 4 . Cho tam giỏc ABC , gúc B = 120 độ. Phõn giỏc BD; CE. Đường thẳng chứa tia phõn giỏc ngoài tại đỉnh A của tam giỏc ABC cỏt BC tai F . Chứng minh rằng:
 a/ gúc ADF = gúc BDF
 b/ Ba điểm B,E,F thẳng hàng
 HD: a/ gúc ABD=gúc ABF=gũcBy=60 độ
 Xột tam giỏc ABD cú 2 tia phõn giỏc ngoài tại 
 đỉnh A,B cắt nhau tại F , Suy ra DF là tia 
 F B phõn giỏc ABD. Vậy gúc ADF=gúc BDF
 b/ Xột tam giỏc DBC cú tia phõn giỏc gúc C và 
 tia phõn giỏc ngoài tại điỉnh B,cắt nhau tại E. 
 Suy ra DE là tia phõn giỏc ngoài của AB .
 A D C Tia DE và DF đều là tia phõn giỏc của gúc 
 ADB . => Nờn 3 điểm D,E,F thẳng hàng.
BÀi 5. Cho tam giỏc ABC tia phõn giỏc gúc B,C cắt nhau tại O . Từ A kể đường thẳng vuụng gúc với OA,cắt tia BO và CO lần lượt tai M và N . Chứng minh rằng : a/ BM vuụng gúc BN , b/ CM vuụng gúc CN ?
 HD: a/ Xột tam giỏc ABC,cú O là giao điểm cỏc tia 
 phõn giỏc gúc B và C nờn AO là tia phõn giỏc 
 gúc A .Cú AN vuụng gúc AO nờn AN là tia phõn 
 N A M giỏc ngoài của đỉnh A của tam giỏc ABC.Tia phõn 
 giỏc ngoài AN và tia phõn giỏc trong CO của 
 t/giỏc ABC cắt nhau tại N . Suy ra BN là tia phõn 
 giỏc ngoài tại đỉnh B của t/giỏc ABC. Do đú BM 
 B C vuụng gúc BN(Hai tia phõn giỏc của 2 gúc kề bự)
 b/Tương tự chứng minh được CM vuụng gúc CN 
BÀI 6. Cho tam giỏc ABC . gúc B = 45 độ . Đường cao AH. Tia phõn giỏc BD . Cho biết gúc BDA = 45 độ . Chứng minh : HD // AB
 HD:Xột tam giỏc DBC cú ADB là gúc ngoài nờn : 
 gúc ADB = 
 Xột t/giỏc ABC cú A gúc ngoài nờn:
 A (1)
 Xột t/giỏc vuụng HAC cú gúc A= 90 độ - gúc C
 D = 90 độ - ( 45 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra 
B H C Xột tam giỏc ABH cú D là giao điểm một tia 
 phõn giỏc ngoài và tia phõn giỏc trong khụng kề 
 nờn HD là tia phõn giỏc ngoai tại đỉnh H do đú 
 gúc DHC = 45 độ. => HD // AB
BÀI 7. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A. AB = 3 (dv), BC= 4 (dv) . Phõn giỏc gúc B,C cắt nhau tại O . Vẽ OE vuụng gúc AB và O F vuụng gúc AC.
 a/ Chứng minh rằng : OA + AC - BC = 2AE
 b/ Tớnh khoảng cỏch O đến cỏc cạnh của ABC ?
 c/ Tớnh OA ? OB ? OC ?
 HD: a/ Vẽ thờm OD vuụng gúc BC ta được 
 OD=OE=O F
 B Ta cũng chứng minh đựoc : AE=A F (=x) ,BE= 
 BD(y),CD=CF(=z).Ta cú :
 AB+AB-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z=2x=2AE .
 b/ Áp dụng định lý Py ta go vao tam giỏc vuụng 
 ABC. Tớnh BC= 5
A C Ta cú 2AE=AB+AC-BC= 3+4-5 = 2 ; AE = 1.
 T/giỏc EOA cú gúc E=90 độgúc A =45 độ nờn 
 vuụng cõn => AE= 1.=> OD=OE=O F=1
 c/ Ta cú AB=3,AE=1=>BE=2,AC=4;A F=1 nờn 
 CF=3. =>
 BÀI 8. cho tam giỏc ABC khụng vuụng. Cỏc đường trung trực AB và AC cắt nhau tại O,cỏc đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng AO là tia phõn giỏc của gúc MAN .
 A HD: Gọi O là giao điểm cỏc đường trung trực 
 AB,AC nờn OA=OB=OC. Điểm M nằm trờn trung 
 trực AB nờn MA=MB. Điểm N nằm trờn trung trực 
 nờn NA=NC.
 B N M C
 Mặt khỏc 
BÀI 9. Cho tam giắc ABC. Trờn tia BA lấy điểm M trờn tia CA lấy điểm N sa cho BM+CN=BC. Chứng minh rằng đường trung trưc của MN luụn luụn đi qua một điểm cố định ?
 HD: Vẽ cỏc tia phõn giỏc gúc Bvà C chỳng cắt 
 N M nhau tại O đú là điểm cố định. Trờn cạnh BC lấy 
 A điểm D sao cho BD=BM thế thỡ CD=CN. 
 ,
 Suy ra OM=OD và ON=OD do đú OM=ON. 
 B C Suy ra trung trực MN đi qua điểm cố định O.
BÀI 10: Cho gúc xoy. Trờn 2 cạnh Ox ; Oy lần lượt lấy cỏc điểm A,B sao cho OA+OB= 2a. Xỏc định vị trớ của A và B cú độ dài nhỏ nhất?
 HD: Trờn tia O x lấy A trờn tia Oy lấy Bsao cho 
 y OA.Ta cú OA
 =>A A. Gọi H ,K làn lượt là hỡnh chiếu 
 của của A và B trờn A 
B' 
 K Ta chứng minh được HK )dỏu = A trựng 
 B A và B trựng B)
 Do đú A
 A' A x Võy AB nhỏ nhỏtOA=OB=a.
 H Nhận xột: Chu vi 
 Một cỏch tổng quỏt: Trong cỏc tam giỏc cú một 
 gúc bằng nhau và tổng 2 cạnh kề gúc ấy bằng nhau 
 thỡ tam giỏc cõn cú chu vi nhỏ nhất .
BÀI 11 : Cho đoạn thẳng MN = 4cm . Điẻm O nằm giữa M và N trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giỏc cõn đỉnh O là OMA và OMB sao cho gúc ở đỉnh O bằng 45 độ. Tỡm vị trớ của O để AB cú độ dài nhỏnhất. Tớnh độ dài nhỏ nhất đú ?
 HD: Tam giỏc AOB :ễ=90 độ;
 OA+OB=OM+ON=MN=4cm nờn AB nhỏ nhất
 B Khi OA=OB. Khi đú O phải là trung điểm MN.
 Áp dụng DL/Py-ta-go AB
 A Suy ra AB = 
M O N
BÀI 39: Cho tam giỏc cõn ABC(AB=AC) . Đường cao phỏt xuất từ A là AD và trọng tõm G. Trờn tia điối DG lấy điểm E sao ch DE=DG.
 a/ Chứng minh BG=GC=CE=BE ?
 b/ So sỏnh 2 tam giỏc ABE và tam giỏc ACE ?
 c/ Nếu CG= 1/2 AE thỡ tam giỏc ABC là tam giỏc gỡ?
 HD: bai 488 cõu 3
BÀI 12: Cho tam giỏc ABC nhọn cú AH là đường cao. Trờn nửa mặt phẳng chứa tam giỏc ABC bờ là đường thẳng BC vẽ cỏc tia HI và HF thứ tự vuụng gúc AC và AB (I thuộc AC,F thuộc AB). Trờn tia HI lấy điểm E trờn tia HF lõy điểm D sao cho I là trung điểm HE và F là trung điểm HD.
 a/ So sỏnh tam giỏc A FD và tam giỏc A F H, tam giỏc AHI và tam giỏc AEI ?
 b/ Chứng minh tam giỏc ADH;AHE;ADE là tam giỏc cõn ?
 A
 N
 D M I
 F
 B H C
 Hướng dẫn:
 a/ 
BÀI 13: Gọi G và G' lần lượt là trọng tõm hai tam giỏc ABC và tam giỏc A'B'C' cho trước.
Chứng minh rằng : GG'< 1/33(A A'+BB'+CC')
 HD: Gọi M,M',I,I' theo thứ tự trung điểm BC;B'C';AG;A"G" . Ta cú:
BAI 14:Gọi H là trực tõm của tam giỏc nhọn ABC . Chứng minh rằng :
 HA+HB+HC <2/3(AB+AC+BC
 A
 E D
 C' B'
 B A' C
 HD: Gọi A A',BB',CC' làn lượt là ba đươngcao của tam giỏc 
 ABC & H là trực tõm .
 Từ H kẻ HD //AB ;HE//AC=> HE = AD & AE AH
 => AH AH < AE + AD
 Trong tam giỏc vuụng HDC(gúc H=1 v): HC < DC
 Vậy : HA + HB + HC < AE + AD + BE + DC
 => HA + HB + HC < AB + AC (1)
 Chứng minh tương tự: HA + HB + HC =< AB + BC (2)
 HA + HB + HC <BC + AC (3)
 Từ (1),(2) &(3): 3( HA+HB+HC)< 2( AB+AC+BC)
 => HA + HB + HC < 
Bài 15: Cho đoạn thẳng AB cú trung điểm M . Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ Ax,By cựng vuụng gúc AB . Lấy điểm C bất kỳ trờn A x. Qua M vẽ đường vuụng gúc MC cắt tia By tại D.
 a/ Chứng minh AC+BD=CD
 b/ Vẽ MH vuụng gúc CD . Chứng minh tam giỏc AHB vuụng ?
Bài 16: Cho 2 tam giỏc vuụng AMO và BMO bằng nhau cú chung cạnh huyền MO và A,B nằm trờn 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng MO . Từ O kẻ đường thẳng vuụng gúc với OA cắt MB tại S . Chứng minh tam giỏc SOM cõn ?
Bài 17: Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a. Một gúc xÂy = 45 độ cú A x cắt BC tại E;Ay cắt CD tại F. Trờn tia đối DC lấy điểm G sao cho GD = BE.
 a/ Tớnh gúc FAG ?
 b/ Chưng minh E F = BE + DF ?
 c/ Chứng minh 2/3a < E F < a ?
 y
Hướng dẫn: x D
Bài 15: H
 C 
 A M B
 E
 a/ Gọi E là giao điểm DM với tia đối của A x 
Ta cú: 
 Tam giỏc ECD cú CXM đường cao vừa là trung tuyến => tam giỏc ECD cõntại C=> CE= CD Mà CE = CA + AE = CA + BD Vậy : AC + BD = CD
 b/ Chứng minh tam giỏc ACM = tam giỏc HCM ( Ch+ gnhọn)
 Suy ra HM = AM = 1/2 AB.
 Tam giỏc AHB cú trung tuýen HM bằng nửa cạnh tương ứng nờn tam giỏc vuụng taị H.
 A
Bài 16: 
 O M
 S
 B
Ta cú: 
 Mà O S//MA=>gúcAMO =gúc SMO => gúc BMO =gúc SOM => tam giỏc SOM cõn tai S >
Bài 17: B // E C
 F
 A D
 =
 G
a/ Chứng minh tam giỏc ABE= tam giỏc ADG9cgc)=> gúc ABE=gúc DAG
 Suy ra Hay gúc DA F = 45 độ.
b/ Chứng minh tam giỏc E A F= tam giỏc GA F (cgc)
 =>E F = F G = F D + DG Hay : E F = BE + D F
c/ Ta cú : E F < EC + C F
 E F = BE + DF
 => 2 E F E F < 2a (1)
 Mặt khỏc : E F > EC
 E F > CF
 E F = BE + D F
 => 3 E F > BC +CD = 2a => E F > 2/3 a (2)
 Từ (1) và (2) => 2/3 a < E F < a