Bồi dưỡng học sinh giỏi về Số Học

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VỀ SỐ HỌC
CHUYÊN ĐỀ: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Định nghĩa:
Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên. 
A : là số chính phương thì A = k2 (kN)
II. Tính chất:
Số chính phương chỉ có thể tận cùng bằng: 0;1; 4; 5; 6; 9; không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; 8.
Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chức các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa các thừa số nguyên tố với số mũ lẻ.
Chứng minh:
Giả sử A = k2 và k = ax.by.cz (a; b; c;  là các số nguyên tố)
thì A = (ax.by.cz)2 = a2x.b2y.c2z (đpcm)
Từ tính chất 2 ta có các hệ quả:
Số chính phương chia hết cho 2 thì phải chia hết cho 4
Số chính phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9
Số chính phương chia hết cho 5 phải chia hết cho 25
Số chính phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16
Tích của các số chính phương là một số chính phương
A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.
Số lượng các ước của một số chính phương là lẻ. Ngược lại, một số có số lượng các ước là lẻ thì số đó là số chính phương 
Chứng minh:
Nếu A = 1 thì A là số chính phương có một ước. Ta giả sử A > 1 có dạng phân tích ra thừa số nguyên tố là A = ax.by.cz thì số lượng các ước của A là (x+1)(y+1)(z+1)  
Nếu A là số chính phương thì x; y; z;  là các số chẵn, nên x+1; y+1; z+1;  là lẻ, do đó số lượng các ước của A là lẻ.;
Nếu số lượng các ước của A là lẻ thì (x+1)(y+1)(z+1)  là lẻ
Do đó các thừa số x+1; y+1; z+1;  đều là số lẻ,
Suy ra x; y; z;  là các số chẵn. 
Đặt x = 2x’, y = 2y’; z = 2z’;  (x’; y’; z’;N) thì 
A = (ax’by’cz’)2 nên A là số chính phương (đpcm)
	4) Nếu số A bao hàm giữa bình phương hai số tự nhiên liên tiếp thì A không thể là số chính phương. Nghĩa là : nếu n2 < A < (n+1)2 thì A không là số chính phương.
III. Các kiến thức liên quan:
Nếu mỗi số hạng của một tổng (hoặc hiệu) chia hết cho một số thì tổng (hoặc hiệu) đó chia hết cho số đó.
Số có chữ số tận cùng chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho 2
Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4
Số có ba chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì số đó chia hết cho 8
Số có chữ số tận cùng chia hết cho 5 thì số đó chia hết cho 5
Số có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25
Số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 3
Số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 9
Dấu hiệu chia hết cho 11
Cho A = 
A 11 (a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) 11
IV. Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Kiểm tra một số có phải là số chính phương hay không:
Ví dụ 1: Cho số chính phương n2 , tìm các số chính phương biết 
k chữ số 0 
n Ỵ 
	Giải 
	Ta có	112	= 121
	1012	= 10201
	10012	= 1002001
	100012	= 100020001
1000012	= 10000200001
10000012	= 1000002000001
k chữ số 0 
k chữ số 0 
k chữ số 0 
Tổng quát	
Ví dụ 2: Các tổng sau có phải là số chính phương không ?
A = 3 + 32 + 33 +  +320 
B = 11 + 112 + 113 
C = 1010 + 8
D = 100! + 7
E = 1010 + 5
F = 10100 + 1050 + 1
Giải
Ta có 3n 9 với mọi n ³ 2 nên 32 + 33 +  +320 9
Suy ra A = 3 + 32 + 33 +  +320 chia cho 9 dư 3
Vì A chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên A không phải là số chính phương (t/c 2)
Ta có B = 11 + 112 + 113
= 11.(1 + 11 + 112)
= 11.(1 + 11 + 121)
= 11.133
= 1463
Có chữ số tận cùng là 3 nên B không phải là số chính phương (t/c 1) 
Ta có 1010 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương (t/c 1) 
Ta có 100! + 7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương (t/c 1)
Ta có 1010 + 5 có chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương (t/c 2) 
Ta có 10100 + 1050 + 1 có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương (t/c 2) 
Ví dụ 3: 
a) Cho A = 22 + 23 + 24 ++ 220. Chứng minh rằng A + 4 không là số chính phương
b) Cho B = 31 + 32 + 33 ++ 3100 . Chứng minh rằng 2B + 3 không là số chính phương
	Giải 
	a) Ta có 	A = 22 + 23 + 24 ++ 220
	 nên	2A = 23 + 24 + 25 ++ 221
	 suy ra 	2A – A = 221 – 22Error! Not a valid link.
	 do đó 	A – 4 = 221 – 22Error! Not a valid link.– 4 = 221 = (210)2.2 không là số chính phương vì 2 không là số chính phương.
	b) Ta có 	B = 31 + 32 + 33 ++ 3100
	 nên	3B = 	32 + 33 + 34 ++ 3101
	 suy ra 	3B – B = 3101 – 3
	 do đó	2B + 3 = 3101 – 3 + 3 = 3101 = 3100.3 = (350)2.3 không là số chính phương vì 3 không là số chính phương.
Ví dụ 4: Viết liên tiếp từ 1 đến 12 được số A = 1234  1112. Số A có thể có 81 ước được không ?
Giải
Giả sử A có 81 ước.
Vì số lượng các ước của A là 81 (là số lẻ) nên A là số chính phương (1)
Mặt khác, tổng của các chữ số của A là 1+2+3++12 = 51 
Vì 51 3; 51 51 nên A chia hết cho 3 nhưng A không chia hết cho 9, do đó A không là số chính phương mâu thuẫn với (1).
Vậy A không thể có 81 ước 
Dạng 2 : Lập số chính phương từ các chữ số đã cho
Ví dụ 1 : 
Tìm số chính phương có bốn chữ số, được viết bởi các chữ số 3, 6, 8, 8.
Giải :
	Gọi n2 là số chính phương phải tìm 
	Vì số chính phương không tận cùng bằng 3, 8 nên do đó n2 phải tận cùng bằng 6 
	Số tận cùng của n2 bằng 86 hoặc 36 
	Nếu tận cùng là 86 thì chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (tính chất 2.a)
	Suy ra: n2 có tận cùng bằng 36 
Vậy số chính phương đó là 8836 = 942 
Dạng 3: Áp dụng tính chất 4
Ví dụ: Chứng minh rằng không tồn tại hai số tự nhiên x và y sao cho x2 + y và x + y2 là số chính phương.
	Giải: 
	Giả sử x ³ y. Ta có : x2 < x2 + y ≤ x2 + x < (x + 1)2
Dạng 3: Kiểm chứng một số thỏa mãn điều kiện cho trước có là số chính phương hay không.
Ví dụ 1: Một số tự nhiên gồm một số chữ số 0 và sáu chữ số 6 có thể là một số chính phương không ? 
Giải
	Giả sử n2 là số chính phương cần tìm 
	Nếu n2 tận cùng bằng 0 thì nó phải tận cùng bằng một số chẵn chữ số 0. 
	Ta bỏ tất các chữ số 0 tận cùng này đi thì số còn lại tận cùng bằng 6 và phải là số chính phương. Ta xét hai trường hợp : Số còn lại tận cùng là 06 hoặc 66. Trong cả hai trường hợp đều chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên không phải là số chính phương (t/c 2)
	Nếu n2 tận cùng là 6 thì tương tự như trên cũng không phải là số chính phương 
	Vậy số có tính chất như đề bài không thể là một số chính phương. 
Ví dụ 2: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu nhân nó với 135 thì ta được một số chính phương. 
Giải: 
Gọi số phải tìm là n, ta có 135n = a2 (a N) hay 33. 5. n = a2. Số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn nên n = 3. 5. k2 (kỴN).
	Với k = 1 thì n = 15; với k = 2 thì n = 60; với k ³ 3 thì n ³ 135; có nhiều hơn hai chữ số (lọai)
	Vậy số phải tìm là 15 hoặc 60. 
Ví dụ 3: Tìm số chính phương có bốn chữ số sao cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ cuối giống nhau.
Giải :
Cách 1:
Gọi số chính phương phải tìm là n2 = (a,b Ỵ N, 1≤ a ≤ 9, 0 ≤ b ≤ 9).
	Ta có n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = 11(99a + a + b) (1).
Do đó 99a + a + b chia hết cho 11 nên a + b chia hết cho 11, 
Vậy a + b = 11.
	Thay a + b = 11 vào (1) ta được n2 = 11(99a + 11) = 112(9a + 1).
Do đó 9a + 1 phải là số chính phương .
Thử với a = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
	Ta thấy chỉ có a = 7 thì 9a + 1 = 64 = 82 là số chính phương
	Vậy a = 7 => b = 4 ta có số cần tìm là 7744 = 112 . 82 = 882 
Cách 2 : 
Biến đổi n2 = = 1100a + 11b = 11(100a + b) = , 
Do đó (kỴN).
	Ta có 100 ≤ 11k2 ≤ 909 => => 4 ≤ k ≤ 9
	Ta chọn 704 vì có chữ số hàng chục là 0
	Suy ra k = 8 và n2 = = 11 . 11 . 82 = 7744.
Ví dụ 4: Tìm số nguên tố (a > b > 0) sao cho là số chính phương.
Giải : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b 
	 = 9(a – b) = 32(a – b)
	Để là số chính phương thì a – b phải là số chính phương.
	Ta thấy 1 ≤ a – b ≤ 8 nên a – b Ỵ {1; 4}.
	Với a – b = 1 thì Ỵ {21; 32; 43; 54; 65; 76; 87; 98}lọai các hợp số 21; 32; 54; 65; 76; 87; 98; còn lại 43 là số nguyên tố.
Với a – b = 4 thì Ỵ {51; 62; 73; 84; 95} lọai các hợp số 51; 62; 84; 95; còn 73 là số nguyên tố.
Vậy bằng 43 hoặc 73.
Dạng 4: Toán chứng minh:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 là một số chính phương.
Chứng minh:
	Giả sử trong bốn số tự nhiên liên tiếp ta chọn số tự nhiên nhỏ nhất là a, ta phải xét tích số a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 có là số chính phương hay không?
	Ta biết a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 	= a(a+3) (a+1) (a+2) + 1
	= (a2 + 3a)(a2 + 3a + 2) + 1
	= (a2 + 3a)2 + 2(a2 + 3a) + 1
	= (a2 + 3a + 1)2 
	Vì a là một số tự nhiên nên (a2 + 3a + 1)2 phải là một số chính phương
	Suy ra điều cần phải chứng minh.
 Thông qua bài chứng minh trên ta không chỉ biết được a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 là một số chính phương mà còn biết được nó còn là bình phương của số nào.
Ví dụ :
	a) 1. 2. 3. 4 + 1 = 25 = 52 
	 2. 3. 4. 5 + 1 = 121 = 112 	 
 3. 4. 5. 6 + 1 = 361 = 192 
 4. 5. 6. 7 + 1 = 841 = 292 
	b) Biểu thức sau đây là bình phương của số tự nhiên nào ?
	 	+ 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = ?
	Biết a = 10 nên a2 + 3a + 1 = 102 + 3.10 + 1 = 131
	Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 1312 
+ 15 . 16 . 17 . 18 + 1 = ? 
Biết a = 15 nên a2 + 3a + 1 = 152 + 3.15 + 1 = 271
	Nên 10 . 11 . 12 . 13 + 1 = 2712 
Với cách chứng minh tương tự như trên ta có các tính chất sau:
Tích của 4 số tự nhiên chẳn liên tiếp cộng 16 là một số chính phương.
Tích của 4 số tự nhiên lẻ liên tiếp cộng 16 là một số chính phương.
Ví dụ 2: Chứng minh rằng một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì không phải là số chính phương.
	Giải 
	Cách 1:
Ta có 24; 224. Giả sử có số tự nhiên A được ghi bởi n chữ số 2 với n > 2 thì :
	A = 222222 = 222200 + 22 = 100.A1 + 22
	Trong đóA1 làsố được ghi bởi n – 2 chữ số 2
	A = 4.25A1 + 22
	Vì 4.25A14; 224 => A4
	A là số chẳn chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên A không là số chính phương.
	Cách 2: 
	Ta có một số tự nhiên viết toàn bằng chữ số 2 thì có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không là số chính phương.
	Giải 
	Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là a; a+1; a+2; a+3; 
	Ta có	S = a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
	Bởi vì 4a2; 62 => S2; 	4a4; 64 => S4
	Vậy S chia hết cho 2 nhưng S không chia hết cho 4 nên S không là số chính phương.