Các dạng Toán về giá trị tuyệt đối

I. Đặt vấn đề
Trong chương trình Đại số 7 học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm “giá trị tuyệt đối”. Đây là một khái niệm mới, trừu tượng và hết sức quan trọng trong quá trình học toán sau này. Tuy nhiên, khái niệm này được phân bố trong chương trình phổ thông với lượng thời gian rất ít. Do vậy đa số các em học sinh còn hiểu lơ mơ dẫn đến việc thực hiện các phép tính liên quan sẽ gặp không ít khó khăn và dễ sai sót vì không hiểu bản chất khái niệm. Vì vậy tôi mạnh dạn đưa vấn đề mà bản thân cho là rất quan trọng để các bạn cùng tham khảo và giúp học sinh học tốt, giải đúng các dạng toán về “giá trị tuyệt đối” trong chương trình THCS.
II. Nội dung
A. Những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối
1. Các định nghĩa
1.1. Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối thực chất là một ánh xạ
f: 
1.2. Định nghĩa 2: Giá trị tuyệt đối của một số thực a, kí hiệu là:
 a nếu a
Nếu A(x) 
- a nếu a < 0
Nếu A(x) 
* Mở rộng với biểu thức A(x), kí hiệu: là: 
1.3. Định nghĩa 3: Giá trị tuyệt đối của số nguyên a là số đo của khoảng cách từ điểm a đến gốc toạ độ
* Một cách tổng quát:
+) 
+) 
+) 
+) 
2. Một số tính chất về giá trị tuyệt đối
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
g) 
h) 
i) với 
B. Các dạng toán về giá trị tuyệt đối 
* Chủ đề 1: Giải phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối
1. Dạng 1: 
Ví dụ: giải phương trình (1)
Bài làm: 
Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm x = 1, x = 5
2. Dạng 2: 
Ví dụ: giải phương trình (2)
Bài làm: 
Vậy phương trình (2) có một nghiệm x = 0
3. Dạng 3: 
Ví dụ: giải phương trình (3)
Bài làm: 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 7 hoặc x = - 7
4. Dạng 4: 
Ví dụ: Giải phương trình (4)
Bài làm: 
 Vậy phương trình (4) vô nghiệm.
5. Dạng 5: 
Ví dụ: Giải phương trình: (5)
Bài làm: 
Vậy phương trình (5) có nghiệm x = 
6. Dạng 6: Phương trình chứa một số biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Nếu A(x) 
Nếu A(x) 
Lưu ý: 
Ví dụ: Giải phương trình (6)
Nếu x 
Nếu x < 1
Nếu x - 1 
Nếu x – 1 < 0
Bài làm:
Nếu x 
Nếu x < 3
Nếu x – 3 
Nếu x – 3 < 0
Vế trái = 
Bảng giá trị
X
1
3
1 – x
0
x – 1
x – 1
3 – x
3 – x
0
x – 3
VT
- 2x + 4
2
2
2
2x - 4
Nếu x < 1
Nếu 
Nếu x > 3
Nếu x < 1
Nếu x > 3
Vậy phương trình (6) có nghiệm là (), ()
* Chủ đề 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Dạng 1: 
Ví dụ: Giải bất phương trình (1)
Bài làm: 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
2. Dạng 2: 
Ví dụ: Giải bất phương trình: (2)
Bài làm: 
Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là: 
3. Dạng 3: 
Ví dụ: Giải bất phương trình: (3)
Bài làm:
Vậy nghiệm của bất phương trình (3) là: 
4. Dạng 4: 
Ví dụ: giải bất phương trình: (4)
Bài làm:
Vậy nghiệm của bất phương trình (4) là: 
5. Dạng 5: 
Ví dụ: Giải bất phương trình: (5)
Bài làm: 
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
* Chủ đề 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
1. Các kiến thức cần lưu ý:
a) (Dấu “=” xảy ra khi A(x)=0)
b) (Dấu “=” xảy ra khi A(x).B(x)).
c) (Dấu “=” xảy ra khi A(x).B(x)).
d) (Dấu “=” xảy ra khi A(x).B(x)).
e) (Dấu “=” xảy ra khi A(x).B(x)).
g) (Dấu “=” xảy ra khi A(x).B(x)).
2. Một số bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) thường gặp.
2.1. Tìm GTNN của biểu thức 
Bài làm: Ta có .
Vậy GTNN của A là - 4 khi .
2.2. Tìm GTNN của biểu thức với 
Bài làm: Xét 
Xét 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Vậy GTNN của B = - 6 
2.3. Tìm GTNN của biểu thức 
Bài làm:
- Cách 1: 
Vậy GTNN của C = 1 
- Cách 2: 
Vậy GTNN của C = 1 
2.4. Tìm GTLN của 
Bài làm:
- Cách 1: 
Vậy GTLN của 
* Chủ đề 4: Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Nếu 
Nếu 
1. Dạng 1: Đồ thị của hàm số .
Ta có: 
Đồ thị gồm: y = f(x) nếu 
	y = f(- x) nếu x < 0
Nếu 
Nếu 
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 
Bài làm: Ta có 
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy
Nếu 
Nếu 
2. Dạng 2: Đồ thị hàm số 
Ta có: 
Nếu 
Nếu 
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 
Nếu 
Nếu 
Bài làm: Ta có 
Nhận xét: Đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành Ox.
3. Dạng 3: Đồ thị của hàm số 
Bài làm:
Nếu , 
Nếu , 
Nếu , 
Nếu x < 0, 
Ta có: 
Nếu , 
Nếu , 
Nếu , 
Nếu x < 0, 
Đồ thị hàm số:
Nhận xét: Đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox và đối xứng qua trục tung Oy
Nếu 
Nếu 
4. Dạng 4: Đồ thị hàm số 
Ta có 
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua trục hoành
5. Dạng 5. Đồ thị hàm số 
Nếu 
Nếu 
Ta có: 	
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số 
Nhận xét: Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc toạ độ O
* Chủ đề 5. Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức A = 3x2 – 2x + 1 với 
Bài làm: Ta có 
Nếu thì 
Nếu thì 
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức với , y = - 3.
Ta có: 
. B có giá trị là: 
* Chủ đề 6. Rút gọn biểu thức chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ: Cho biểu thức: . 
Hãy viết A dưới dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài làm: 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Nếu 
Ta có: 	
Nếu . Ta có: 
Nếu . Ta có: 
III. Kết luận
Việc giảng dạy giúp học sinh làm tốt các bài toán về giá trị tuyệt đối có rất nhiều úng dụng trong thực tế cũng như trong khi giải các dạng toán khác như: giải phương trình, bất phương trình, vẽ đồ thị, toán cực trị, ... Nó được vận dụng rất nhiều trong thực tế. Vì vậy việc phân chia các dạng bài giúp học sinh nắm chắc công thức tổng quát, áp dụng giải từng bài cụ thể la rất quan trọng trong khi dạy. Trong thời gian có hạn, sáng kiến dạy “các dạng toán về giá trị tuyệt đối cho học sinh lớp 7” của tôi không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến./.
Xuân Trường, ngày 02 tháng 05 năm 2007
Người viết
Nguyễn Thị Thu Hường