Chủ đề tự chọn Toán 7 - Loại nâng cao

CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 7- LOẠI NÂNG CAO (Dành cho lớp chọn)
Tên c/ đề: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU TAM GIÁC- MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN KHÁC &Ư/ DỤNG
 Thời lượng: 10 tiết (Chia nhỏ BT đối với lớp thường )
 GV: Nguyễn Tấn Ngọc ( THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn)
 Thời gian thực hiện: Tháng 01& 02-2008.
A. LÝ THUYẾT CƠ BẢN: 
I. Các trường hợp bằng nhau tam giác thường:
1.1 (c-g-c)
1.2 (c-c-c)
1.3 (g-c-g).
II. Các trường hợp bằng nhau tam giác vuông: Cho △ABC; △A'B'C' lần lượt vuông tại A và A' nếu : 
1.4 (Cạnh huyền - góc nhọn).
1.5 (Cạnh huyền - cạnh góc vuông).
1.6 (Cạnh góc vuông - cạnh góc vuông).
1.7 (Cạnh góc vuông - góc nhọn).
1.8 △ABC vuông tại A ĩ AB2 + AC2 = BC2 ( Định lý Py-Ta-Go).
1.9 △ABC vuông tại A ĩ AM = ( trong đó M là trung điểm BC ).
1.10 △ABC cân tại A ; AH là đường cao ( H Ỵ BC ) 
 ( tính chất tam giác cân )
1.11 Nếu tam giác thõa đồng thời hai trong bốn đường: Đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực thì tam giác đó cân.
1.12 △ABC đều ĩ ( có thể thay ÐA bỡi ÐC ) 
1.13 △ABC vuông tại A và có (nửa tam giác đều).
1.14 △ABC vuông tại A và BC = 2. AB => B = 600 và C = 300 (nửat/gđều).
1.15 Bất kỳ tam giác nào cũng có:
 - Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm).
 - Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm).
 - Ba đường trung trực đồng quy ( tại tâm đường tròn đi qua ba đỉnh t/giác).
 - Ba đường phân giác đồng quy (điểm đó cách đều ba cạnh tam giác).
1.16 Cho △ABC ta luôn có bất đẳng thức:
 < BC < AB + AC .
1.17 Với ba diểm A , B , C tùy ý ta luôn có:
 AB + BC ≥ AC ( Dấu"=" ĩ B Ỵ ) (Bất đẳng thức ba đểm ).
1.18 Với △ABC thì : A > B ĩ BC > AC .
1.19 Cho A nằm bên ngoài đường thẳng a , AH ⊥ a tại H ; B Ỵ a thì:
AH AB (Dấu "=" ĩ B ≡ H ).
1.20 Nếu ba đoạn thẳng AB ; BC ; CA tỉ lệ thuận với các số a ; b ; c thì:
AB : BC : CA = a : b : c ĩ .
1.21 Nếu △ABC có M và N lần lượt là trung điểm AB và AC thì đoạn thẳng MN gọi là đường trung bình của △ABC khi đó luôn có MN // BC và MN = .
1.22 Tam giác cân , góc ở đỉnh không đổi thì cạnh đáy nhỏ nhất ( lớn nhất ) khi chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất ( lớn nhất ).
B. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CÙNG HƯỚNG DẪN VẮN TẮT:
Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2. AB . Gọi D là trung điểm của BM . CMR: AC = 2.AD . ( HD: Vẽ E sao cho D là trung điểm AE ; C/m:
△AME = △AMC (c-g-c).
Bài 2: Cho △ABC có ∠ ABC = 300 ; ∠ BAC = 1300. Đường phân giác ngoài ở đỉnh A cắt phân giác trong ở đỉnh B tại D. Hai đường thẳng CD và AB cắt nhau tại E . CMR: CA = CE . ( HD: CD là phân giác ngoài ở đỉnh C của △ABC => 
∠ ACD = 800 và ∠ CAE = 500 ).
Bài 3: Cho △ABC có E là trung điểm BC sao cho ∠EAB = 150 ; ∠EAC = 300. Tính ∠ACB ? (HD: Vẽ F sao cho AE là trung trực của CF => △ACF đều; gọi I là trung điểm FC => △BFC vuông tại F => △BFA cân tại F => △BFC vuông cân tại F => ∠C = 1050 ).
Bài 4: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 800. Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 100; ∠MCB = 300. Tính ∠AMB ? ( HD: Vẽ △BCD đều, D nằm trong △ABC => △ABD = △MBC (g-c-g) => △ABM cân có ∠ABM = 400 ).
Bài 5: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 1000. Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 200; ∠MCB = 300 . Tính ∠AMB ? (Giải tương tự BT4).
Bài 6: Cho △ABC có AB < AC ; gọi D là điểm tùy ý nằm giữa A và B. Gọi E là điểm nằm giữa A và C sao cho CE = BD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm BC và DE . Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q . CMR: △APQ cân. (HD: Gọi I là trung điểm BE  )
Bài 7: Cho △ABC có ∠A = 150 và ∠B = 450 . Trên tia đối của tia CB lấy D sao cho CD = 2.CB . Tính ∠ADC ? (HD: Kẽ DE ⊥ AC tại E => △DEC là nửa tam giác đều => △BCE cân => △AEB cân và △AED vuông cân).
Bài 8: Cho △ABC có hiệu∠C - ∠B = 900; AD và AE lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ( D, E Ỵ BC ). CMR: AD = AE .
(HD: Kẽ AH ⊥ BC tại H c/m: ∠DAH = ( ∠C - ∠B ): 2 => △DAE vuông cân).
Bài 9: Cho △ABC có AH là đường cao. Về phía ngoài tam giác vẽ △ABD vuông cân tại B, vẽ △ACE vuông cân tại C . CMR: AH ; BE ; CD đồng quy.
(HD: Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC => △ABK = △ BDC (c-g-c) => CD ⊥ BK ).
Bài 10: Cho P nằm bên trong △ABC sao cho ∠PAC = ∠PBC . Gọi M , L lần lượt là hình chiếu của P lên AC và BC . Gọi D là trung điểm AB . CMR: DL = DM.
(HD: Gọi I , K lần lượt là trung điểm PA và PB => △DIM = △DKL (c-g-c)).
Bài 11: Cho △ABC vuông tại A và AC = 3.AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho 3.AE = 2.AC . CMR: ∠AEB + ∠ACB = 450. (HD: Gọi D là trung điểm AE ; vẽ hình vuông ADKH ( H không trùng B) => △BKC vuông cân => △BAE = △KDC ).
Bài 12: Cho △ABC nhọn; AH là đường cao ( H Ỵ BC ) . Vẽ M sao cho AB là trung trực đoạn HM , vẽ N sao cho AC là trung trực đoạn HN. Đường thẳng MN lần lượt cắt các cạnh AB ; AC tại E và F . CMR: AH ; BF ; CE đồng quy. (HD: HA là phân giác góc ÐEHF ; c/m: HB và EB là các đường phân giác ngoài △HEF => FB là phân giác trong △HEF ).
Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 750; CE = 2.CA . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu của M lên CE => △CME cân => △CME = △BME (c-g-c) => ∠BEC = 300 ).
Bài 14: Cho △ABC cân tại A và ∠BAC = 200 . Trên cạnh AB lấy E sao cho AE = BC . Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △ABC vẽ △BIC đều ).
Bài 15: Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠D = 1v ; CD = 2.AB . Gọi H là hình chiếu của D lên AC ; M là trung điểm của HC . Tính ∠BMD . (HD: Gọi I là trung điểm HD ; c/m: I là trực tâm △ ).
Bài 16: Cho D nằm bên trong △ABC đều sao cho ∠DAB + ∠DCB = 600 và DC = 2.DA . Tính ∠ADB và ∠CDB ? (HD: Vẽ △BDE đều sao cho E và D nằm khác phía đối với AB => △ADE (?)).
Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD . Qua I là trung điểm BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M . CMR: △BMD cân. (HD: Vẽ K sao cho I là trung điểm AK ; gọi R là trung điểm AD ).
Bài 18: Cho △ABC cân tại C ; CM là đường trung tuyến ; AD là đường phân giác trong sao cho AD = 2.CM . Tính ∠ACB ? (HD: Gọi I là trung điểm AD => CDMI là hình thang cân ).
Bài 19: Cho △ABC vuông cân ở B và M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3 . Tính ∠AMB ? (HD: Vẽ △BME vuông cân tại B ; E và M nằm khác phía dối với AB => AE = CM => △AME vuông tại M ).
Bài 20: Cho △ABC đều và M nằm bên trong tam giác sao cho MA:MB:MC = 3 : 4 : 5 . Tính ∠AMB ? (HD: Giải tương tự BT19 ).
Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 . Trên các cạnh AB ; BC ; CD ; DA lần lượt lấy M ; N ; P ; Q . CMR: MN + NP + PQ + QM ≥2.(HD: Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm PQ ; PM ; MN- dùng đường gấp khúc)
Bài 22: Cho △ABC cân tại A ; gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C . Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc AC ở điểm K . Gọi I là trung điểm của MB . Tính ∠AIK ? (HD:Vẽ F sao cho I là trung điểm KF ).
Bài 23: Cho hình thang ABCD ; trong đó ∠A = ∠D = 1v ; O là trung điểm AD sao cho AC ⊥ BO . CMR: BD ⊥ CO. (HD: Vẽ E sao cho O là trung điểm BE )
Bài 24: Cho △ABC có AB = 3cm , AC = 5cm và trung tuyến AM = 2cm ( M Ỵ BC ) . Tính số đo ÐBAM ? (HD: Vẽ D sao cho M là trung điểm AD - Dùng Py-ta- go).
Bài 25: Cho △ABC cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác sao cho ÐAMB > ÐAMC . So sánh độ dài hai đoạn thẳng MB và MC. (HD: Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ tia AD sao cho ÐCAD = ÐMAB và AD = AM ; Dùng t/g cân và quan hệ góc cạnh đối diện trong t/g ) . 
Bài 26: Cho △ABC cân tại A ; M là điểm thay đổi luôn nằm giữa B và C . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của M lên AB , AC . Định vị trí của M để độ dài DE nhỏ nhất . (HD: Gọi I là trung điểm AM - Dùng t/g cân góc ở đỉnh không đổi, cạnh đáy nhỏ nhất ĩ cạnh bên nhỏ nhất - Quan hệ đường vuông góc và đường xiên )
Bài 27: Cho ABC cân tại A có . Lấy điểm M nằm giữa A và C , hạ AH và CK cùng vuông góc với BM ( H, K BM ) sao cho BH = HK + KC . Tính độ lớn của . (HD: Trên tia đối của tia KH xác định D sao cho DK = KC )
Bài 28: Cho ; trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC xác định điểm D sao cho cân tại D và . CMR: là tam giác cân . (HD: Kẽ AK ⊥ BC tại K ; DH ⊥ AC tại H )
B.G.H DUYỆT TỔ DUYỆT G.V BỘ MÔN
 Nguyễn Tấn Ngọc