Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Hình học Lớp 7

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
HÌNH HỌC LỚP 7
CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC
Cơ sở lí thuyết
Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau:
Trong tam giác:
Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng .
Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại.
Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó.
Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại.
Trong tam giác vuông:
Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại.
Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng .
Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng .
Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng .
Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau.
Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là .
Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là .
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, 
Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý:
Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh đúng.
Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ.
Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, 
 Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc.
Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, )
(Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình)
Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau ... rồi suy ra kết quả.
Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá “ thực thụ để giải quyết dạng toán này.
Một số dạng toán và hướng giải quyết
Dạng 1. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều.
Bài toán 1. Cho có có , lấy sao cho . Tính số đo 
	Nhận xét
Ta cần tìm thuộc có mà .
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc và góc , mặt khác .
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều.
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
	Hướng giải
Cách 1. (Hình 1)
Vẽ đều (D, A cùng phía so với BC). Nối A với D.
Ta có (c.c.c) => 
Lại có (c.g.c) => 
=> 
Cách 2. (Hình 2)
Vẽ đều (M, D khác phía so với AC).
Ta có (c.g.c) => (1)
=> cân tại D, => (2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải Bài toán1 theo các phương án sau:
Vẽ đều (C, D khác phía so với AB)
Vẽ đều (B, D khác phía so với AC)
Vẽ đều (D, C khác phia so với AB)
..
Lập luận tương tự ta cũng có kết quả.
Bài toán 2. Cho cân tại A, . Đường cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho . Tính 
Hướng giải
Vẽ đều (B, D khác phía so với AC)
 cân tại A, (gt)
=> mà (gt)
=> , => cân tại F.
=> , mặt khác , FD chung
Do AH là đường cao của tam giác cân BAC
=> , (vì đều), (gt)
=> (g.c.g) => => cân tại A mà 
Nhận xét
Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ giả thiết và mối liên hệ được suy ra từ cân tại F.
Với hướng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải Bài toán 2 theo các cách sau:
Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.1).
Vẽ đều, F, D khác phía so với AB (H.2).
	(H.1)	(H.2)
Bài toán 3. (Trích toán nâng cao lớp 7 – Vũ Hữu Bình)
Cho , . Điểm E nằm trong sao cho . Tính 
	Nhận xét
Xuất phát từ và đã biết, ta có và do cân tại E. Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ là tam giác đều.
	Hướng giải
Vẽ đều (I, B cùng phía so với AE).
Ta có (c.g.c)
 mà ( đều)
 => .
	Khai thác
Chúng ta có thể giải Bài toán 3 theo cách sau:
Vẽ đều (D, E khác phía so với AC)
Một số bài toán tương tự
Bài toán 3.1. Cho , . Kẻ tia . Kẻ AD sao cho (B, D cùng phía so với AC). Tính 
Bài toán 3.2. Cho , (B, H khác phía so với AC). Tính 
Bài toán 3.3. Cho . Điểm M nằm trong tam giác sao cho . Tính 
Bài toán 4. Cho . M là điểm nằn trong tam giác sao cho. Tính 
	Nhận xét
Xuất phát từ giả thiết và liên hệ giữa góc với ta có
. Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều.
	Hướng giải
Cách 1. (H.1)
Vẽ đều (A, D cùng phía so với BC)
Dễ thấy (c.g.c) và (g.c.g)
 cân tại B, 
Cách 2. (H.2)
Vẽ (D, A khác phía so với BC)
 cân tại A. Từ đó có hướng giải quyết tương tự.
Bài toán 5. Cho . Kẻ tia sao cho . Trên tia lấy điểm D sao cho (A, D khác phía so với BC). Tính 
	Nhận xét
Ta thấy bài ra xuất hiện góc và mà , đồng thời với . Điều này làm nảy sinh suy nghĩ về vẽ hình phụ là tam giác đều.
	Hướng giải
Cách 1
Vẽ đều (I, A cùng phía so với BC)
Ta thấy (c.g.c) và (c.g.c)
Cách 2
Vẽ đều (E, B khác phía so với AC)
Từ đây ta có cách giải quyết tương tự.
Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền
Bài toán 6. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau.
	Phân tích
+/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia thành ba góc bằng nhau
 cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác)
 đồng thời là trung tuyến
+/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến và liên quan đến HM = HB = BM = MC
 Kẻ MK AC tại K. Khi đó có sơ sơ đồ phân tích.
	Hướng giải
Vì tại K. Xét có
AH là đường cao ứng với BM
AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì )
Nên cân tại đỉnh A
=> H là trung điểm BM
Xét có
	AM là cạnh huyền chung
	 (gt)
 (cạnh huyền – góc nhọn)
 (hai cạnh tương ứng)
Xét có , KM = MC
 khi đó ta tính được 
Vậy 
Bài toán 7. Cho . Đường cao AH AH = BC. D là trung điểm của AB. Tính 
	Hướng giải
 cân tại C => CD là phân giác => 
	Nhận xét
Suy nghĩ chứng minh cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông có và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng .
Bài toán 8. Cho có ba góc nhọn. Về phía ngoài của ta vẽ các tam giác đều ABD và ACE. I là trực tâm , H là trung điểm BC. Tính 
	Phân tích
 là một nửa tam giác đều
=>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại)
=> Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
	Hướng giải
Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF
Ta có 
Ta có IA = IB và (vì đều)
Mà 
 cân tại I mà 
	Khai thác
Với cách giải này nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau:
Lấy K đối xứng với I qua H (H.1)
Lấy M đối xứng với B qua I (H.2)
	(H.2)	
	(H.1)	
	Bài tập cùng dạng:
Cho , vẽ đều (E, D nằm ngoài tam giác). I, P lần lượt là trung điểm của AD và CE. Điểm F nằm trên BC sao cho BF = 3FC. Tính 
Dạng 3. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân
Bài toán 9. Cho , M là trung điểm của BC, . Tính 
	Phân tích
Khi đọc kĩ bài toán ta thấy , quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ Bài toán 3. Mặt khác , điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân.
	Hướng giải
Cách 1.
Hạ (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK)
Ta có vuông cân tại K (vì ) 
Vẽ vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC) 
Do vuông tại K => KM = BC = MC
 cân tại M
Dễ thấy 
 và 
 đều => AS = SM = AK
 cân tại A
Cách 2. 
Lấy D đối xứng B qua AM => cân tại A
Mà đều
Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), ()
Mà 
Mặt khác xét có
 cân tại D => AD = CD
Mà AD = BD ( đều)
Vậy vuông cân tại D => 
Bài toán 10. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính 
	Hướng giải
Kẻ sao cho EA = ED, với EF = AD (B, F khác phía so với AC)
Ta có (c.g.c) (*)
 vuông cân tại D
 (1)
Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB
Dễ thấy (c.g.c) => (2)
Từ (*), (1) và (2) ta có 
	Nhận xét
Sau khi vẽ hình ta dự đoán lúc đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc . Ý nghĩ dự đoán xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ vuông cân (E là trung điểm AD). Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau. 
Bài toán 11. Cho vuông cân tại A, M là điểm bất kì trên đoạn AC (M khác A, C). Kẻ . E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC kẻ EI // BM, . Tính ? 
	Hướng giải
Gọi K là giao điểm của IE và AC
Xét có FA // EK, EF = FC (gt)
=> KA = AC và
Ta có 
=> AM = AI => vuông cân tại A
Nhận xét
Đường kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh kẻ đường phụ này:
+/ Một là do IE // AF	
+/ Hai là EF = FC
Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh 
và bài toán được giải quyết.
Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta có các cách vẽ hình phụ khác như sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM.
Từ đó ta có cách giải quyết tương tự như trên. 
Dạng 4. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc.
Bài toán 12. Cho . D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC=AB. M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Tính 
	Hướng giải
Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC
Nối K với B ta có cân tại A (vì AB = DC)
Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC
=> MN là đường trung bình của 
	Nhận xét
Vì đâu ta có kẻ đường phụ AK?
+/ Thứ nhất: Ta có cân và biết . Như vậy các góc của sẽ tìm được.
+/ Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC
+/ Thứ ba: Do NB = MC
Với lí do thứ hai và ba ta có được góc cần tìm bằng . Vậy bài toán được giải quyết. Sau khi nêu ra các lí do cơ bản đó, ta có các đường kẻ phụ khác như sau:
Lấy K đối xứng với A qua N
Lấy K là trung điểm của BD
Lấy K đối xứng M qua B
Lấy K đối xứng D qua N
Bài toán trên có thể ra dưới dạng tổng quát như sau: Giữ nguyên giả thiết và thay 
Một số bài toán tham khảo
Bài 1. Cho , các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, , . Tính 
Bài 2. Cho , CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho . Tính 
Bài 3. Cho cân tại C, , M nằm trong tam giác sao cho
. Tính 
Bài 4. Cho AB = AC, , trung tuyến CM. trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, biết . Tính 
CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
A, Tóm tắt lý thuyết
1.Hai tam giác bằng nhau:
 Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứ ... O, R) và hai điểm A, B Î (O, R) cùng một đoạn thẳng đã biết l. Dựng hai dây cung song song đi qua A và B sao cho tổng của chúng bằng l.
9. Cho điểm A ở ngoài (O, R). Dựng cát tuyến đi qua A cắt (O, R) tại B và C sao cho AB = BC.
10. Cho đường tròn (O) và một dây cung AB cố định. Dựng D đều MNP thoả mãn: M & P Î (O); N Î AB và MN ^ AB.
11. Cho hình vuông ABCD có giao điểm hai đường chéo là 0. hãy dựng ảnh của các điểm A, B, C, D trong phép quay tâm O một góc 450 ngược chiều kim đồng hồ.
12. Dựng một hình vuông nội tiếp một đường tròn bán kính R, dựng một lục giác và một tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R.
CHUYÊN ĐỀ 5 : TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
1.Nhắc lại kiến thức
-Đường trung tuyến của tam giác:Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC ) của tam giác ABC.Đường thẳng AM cũng gọi là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
-Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác:
Định lý: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm ,điểm đó ccahs mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác
2.Ví dụ
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 34cm, BC = 32cm. Kẻ đường trung tuyến AM.
Chứng minh : AM vuông góc BC.
Tính AM.
 GIẢI
*Phân tích bài toán:
a) để chứng minh AM vuông góc với BC ta cần chứng minh 
Ta sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh 2 góc trên bằng nhau,đồng thời 2 góc đó lại kề bù.
+tam giác ABC cân
+AM là đường trung tuyến
b) Để tìm được độ dài AM,ta cần gắn vào tam giác AMC
chứng minh được tam giác AMC vuông vì:
+sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh tam giác AMB=tam giác AMC
+ góc AMB và AMC kề bù
=
Áp dụng định lý pitago trong tam giác vuông AMC để tính được AM
1. AM vuông góc BC : 
Xét ΔAMB và ΔAMC, ta có :
AB =AC (gt)
MB = MC (AM là đường trung tuyến)
AM cạnh chung
=> ΔAMB = ΔAMC (c – c – c)
=> 
Mà :  (hai góc kề bù)
=> 	
Hay AM   BC.
2.Tính AM :
Ta có : BM = BC : 2 = 16cm (AM là đường trung tuyến)
Xét ΔAMB vuông tại M. ta có :
AB2 = AM2 + BM2 (pitago)
342 = AM2 + 162
=>AM = 30cm.
Ví dụ 2:Cho tam giác DEF cân tại D có đường trung tuyến DI.
a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
b)      Các góc DIE và góc DIF là góc gì ?
c)      DE = DF = 13cm, EF = 10cm. Tính DI.
Giải.
Phân tích bài toán:
Để chứng minh tam giác DEI=DFI
Ta nhận thấy 2 tam giác trên bằng nhau theo trường hợp c-c-c
Sử dụng các giả thiết đã cho để chứng minh
Từ chứng mình câu a ta có được rằng : góc DIE=DIF
 Lại nhận thấy rằng 2 góc trên kề bù,từ đó ta sử dụng để chứng minh rằng 2 góc đó là hai góc vuông.
Ta sử dụng được giả thiết DI là đường trung tuyến
EI=IF
Mặt khác sử dụng được định lý pitago vì đã chứng mình được câu b
Từ đó tìm được độ dài cạnh DI
a)      Chứng minh : ΔDEI = ΔDFI.
Xét ΔDEI và ΔDFI, ta có :
DE = DF (gt)
IE = IF ( DI là trung tuyến)
DI cạnh chung.
=> ΔDEI = ΔDFI (c – c – c)
b) Các góc DIE và góc DIF :
  (ΔDEI = ΔDFI)
Mà :   (E, I,F thẳng hàng )
=> 
c) tính DI :
IE = EF : 2 = 10 : 2 = 5cm
Xét ΔDEI vuông tại I, ta có :
DE2 = DI2 + IE2
=> DI2 = DE2 – IE2 =132 – 52 = 144
=> DI = 12cm.
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD = MA.
a)      Tính số đo góc ABD
b)      Chứng minh : ABC = BAD.
c)      So sánh độ dài AM và  BC.
Giải.
Phân tích bài toán:
Để tính được số đo góc ABD ta cần tính được tổng 
Sử dụng giả thiết tam giác ABC vuông tại A ta có 
Sử dụng các giả thiết về cạnh để chứng minh tam giác AMC =BMD
Sử dụng câu b để chứng minh(AC=BD)
Để so sánh AM và BC ta đi so sánh AM và AD( vì AD=BC)
	GIẢI
Tính số đo góc ABD	
Xét ΔAMC và ΔDMB, ta có :
MA = MD (gt)
  (đối đỉnh)
MC = MB (gt)
=> ΔAMC = ΔDMB
=>   (góc tương ứng);
Mà :   (ΔABC vuông tại A)
=> 
Hay 
b)Chứng minh : ABC = BAD
Xét ABC và BAD, ta có :
AB cạnh chung.	
AC = BD (AMC = ΔDMB)
=> ΔABC =Δ BAD
c)So sánh độ dài AM và  BC :
AM = (gt).
Mà : AD = BC (ΔABC =Δ BAD)
=> AM = 
3.Bài tập áp dụng:
BÀI 1 :
Hai đường trung tuyến AD và BE của tam giác ABC cắt nhau tại G. kéo dài GD thêm một đoạn DI = DG. Chứng minh : G là trung điểm của AI.
BÀI 2 :
Trên  đường trung tuyến AD của tam giác ABC, lấy hai điểm I và G sao cho AI = IG = GD. Gọi E là trung điểm của AC.
Chứng minh B, G, E thẳng hàng và so sánh BE và GE.
CI cắt GE tại O. điểm O là gì của tam giác ABC. chứng minh BE = 9OE.
 BÀI 3 :
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 4cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
Tính AB.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.
BÀI 4: Giả sử hai đường trung tuyến BD và CE của tam giác ABC có độ dài bằng nhau và cắt nhau tại G.
Tam giác BGC là tam giác gì ?
So sánh tam giác BCD và tam giác CBE.
Tam giác ABC là tam giác gì ?
BÀI 5:Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8cm, BC = 10cm. lấy điểm M trên cạnh AB sao cho BM = 16/3cm. lấy điểm D sao cho A là trung điểm của DC.
Tính AC.
Điểm M là gì của tam giác BCD.
D
Gọi E là trung điểm của BC. chứng minh D, M, E thẳng hàng.
CHỦ ĐIỂM 2: TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC
1.Nhắc lại kiến thức
x
-Định lý 1: Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
B
t
O
A
y
-Định lý 2: (định lý đảo)
x
 Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
2.Các dạng bài tập
Dạng 1:chứng minh một tia là tia phân giác của một góc
t
Cách giải: chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc xOy
y
O
 + Cách 1: chứng minh:
 Tia Ot nằm giữa 2 tia Ox và Oy
+ Cách 2: Chứng minh
Ví dụ :Trên nửa mặt phẳng chứa tia Ox,vẽ tia Oy,Ot sao cho 
Chứng minh rằng : Ot là tia phân giác của 
*Phân tích bài toán:
Để chứng minh Ot là tia phân giác của góc xOy ta cần áp dụng cách chứng minh 1 hoặc 2.
t
ở bài này ta sử dụng cách 2 vì chưa có điều kiện tia Ot nằm giữa Ox và Oy
x
Chứng minh:
Trên cùng một nửa mặt phẳng bở chứa tia Ox
y
Ta có: 
=>tia Ot nằm giữa Ox và Oy (1)
O
=> 
Thay (gt) 
Ta được: 
 => 
 => 	
Mà 
Từ (1)và (2)=> Ot là tia phân giác của 
DẠNG 2: Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc để giải các bài toán khác
Ví dụ: tia Oy và Oz cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bở là tia Ox
 Om là tia phân giác của 
 On là tia phan giác của 
Tính và 
Giải:
*Phân tích bài toán:
Sử dụng các tính chất kề bù và tia phân giác của góc để tính các góc
n
Ta có: (vì tia Oy nằm giữa Ox và Oz) 
Thay (gt)
y
z
 ta được: 
hay 
m
b)Tính 
x
ta có:
O
(vì Om là tia p/g của )
Lại có:
(vì On là tia p/g của )
Mà (vì tia Oy nằm giữa Om và On)
Thay ta được:
3.Bài tập áp dụng
BÀI 1 :Cho hình thoi ABCD. Trên tia đối tia CD lấy điểm E, gọi F là giao điểm của AE và BC. Đường thẳng song song AB kẻ từ F cắt BE tại P. 
Chứng minh CP là phân giác góc CBE.
BÀI 2 :Cho hình bình hành  ABCD. phân giác góc A cắt đường chéo BD tại E và phân giác góc B cắt đường chéo AC tại F. 
Chứng minh : EF // AB.
BÀI 3 :Cho tam giác ABC có AB = 4cm, BC = 6cm, CA = 8cm. Đường phân giác trong AD và BE cắt nhau tại I.
Tính : BD và CD.
BÀI 4:Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. chứng minh : IG // BC và tính IG.
 cho tam giác ABC có AB= 5cm, AC = 6cm và BC =7cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. 
Tính EB và EC. 
BÀI 5:Vẽ hai góc kề bù xOy,yOx’,biết .Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy,Ot’là tia phân giác của góc x’Oy.
Tính 
Chủ điểm 6: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG
1.Kiến thức cần nhớ
+Định lý 1(định lý thuận):điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+ Định lý 2(định lý đảo): điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.
Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 
Ứng dụng:
Ta có thể vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước và compa như sau:
-Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn AB 
-Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có cùng bán kính đó sao cho hai cung tròn này có 2 điểm chung ,gọi là C và D
-Dùng thước vẽ đường thẳng CD .Đường thẳng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
2.Các dạng bài tập
Dạng 1: Chứng minh một đường thằng là đường trung trực của một đoạn thẳng
Cách giải: 
Cách 1:chứng minh rằng đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng tai trung điểm của đoạn thẳng đó
Cách 2: chứng minh 2 điểm thuộc đường thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng
Ví dụ 1:cho tam giác ABC cân đỉnh C,tam giác ABD cân đỉnh D
C
Chứng minh rằng CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Giải:
*Phân tích bài toán: để chứng minh CD là đường trung trực của AB 
Ta chứng minh C và D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
B
A
Tam giác ABC cân đỉnh C (gt)
 => CA=CB
=>C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
D
Tương tự D cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB
=>CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB
Dạng 2: sử dụng tính chất đường trung trực của đoạn thẳng để giải các bài toán khác
Ví dụ 1:Tam giác ABC cân tại A .Đường trung trực của cạnh AC cắt AB tại D .Biết CD là tia phân giác của góc ,Tính các góc của tam giác ABC
A
Giải:
Ta có: DA=Dc => tam giác ADC cân tại D
=> (1)
DS
Tam giác ABC cân tại A => (2)
Tam giác ABC có (3)
C
B
Từ 1,2,3 suy ra 
3.Bài tập áp dụng
BÀI 1 :
Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho các đường AB, AC lần lược là các đường trung trực của DH, EH.
Chứng minh tam giác ADE là tam giác cân.
Đường thẳng DE cắt AB, AC lần lượt tại M và N. chứng minh tia HA là phân giác của góc NHM.
Chứng minh : 
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC cân tại A. hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I.
Chứng minh tam giác BIC cân tại I.
Chứng minh AI là đường trung trực của BC.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC cân tại A. gọi M là trung điểm của BC. hai đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại D. chứng minh :
DB = DC.
A, M, D thẳng hàng.
 BÀI 4:
Cho d là đường trung trực của AC. Lấy điểm B sao cho A và B ở cùng bên đường thẳng d. BC cắt d tại I. điểm M di động trên d.
So sánh MA + MB với BC.
Tìm vị trí M trên d để MA + MB nhỏ nhất.
BÀI 5 :
Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho BM  = AB. trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = AC. Vẽ đường cao BH của tam giác ABM và đường cao CK của tam giác ACN, hai đường cao cắt nhau tại O. chứng minh rằng :
Điểm O nằm trên đường trung trực của MN.
AO là phân giác của góc BAC.