Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

 Toỏn Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
  TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 Đường trung tuyến của tam giỏc A
 Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giỏc ABC với trung điểm M 
 của cạnh BC gọi là đường trung tuyến của tam giỏc ABC .
  Mỗi tam giỏc cú ba đường trung tuyến. B M C
 Tớnh chất ba đường trung tuyến của tam giỏc
 Ba đường trung tuyến của một tam giỏc cựng đi qua một điểm. Điểm đú cỏch mỗi đỉnh 
 2
 một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh A
 3
 ấy.
 F E
 AG BG CG 2
  G là trọng tõm tam giỏc ABC thỡ .
 AD BE CF 3 G
 II. BÀI TẬP B D C
 Bài 1: 
 Từ cỏc đẳng thức trờn, hóy suy ra cỏc đẳng thức khỏc:
 1 1 2
 GD = AD = ................... AG = AD = ...................................
 3 2 3
 2
 BG = BE = .....................................
 GE = ẳẳẳẳ = ẳẳẳẳ 3
 2
 CG = CF = ....................................
 GF = ẳẳẳẳ = ẳẳẳẳ 3
 AD = ẳẳẳ = ẳẳẳ ; BE = ẳẳẳ = ẳẳẳ ; CF = ẳẳẳ = ẳẳẳ
 Bài 2: Cho tam giỏc ABC cú hai đường trung tuyến BP,CQ cắt nhau tại G. Trờn tia đối của 
 tia PB lấy điểm E sao cho PE PG. Trờn tia đối của tia QG lấy điểm F sao cho 
 QF QG. Chứng minh rằng: a) GB GE,GC GF; b) EF BC và EF // BC.
 Bài 3: Tam giỏc ABC cú cỏc đường trung tuyến BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng 
 ABC là tam giỏc cõn.
 Bài 4: Cho ΔABC cú 3 đường trung tuyến AD, BE,CF đồng quy tại G .
 a) Nếu ΔABC đều hóy chứng minh: GD GE GF .
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 1 Toỏn Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 b) Đảo lại, nếu cú GD GE GF khi đú hóy chứng minh tam ΔABC đều.
 Bài 5: : Chứng minh rằng, trong một tam giỏc vuụng, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền 
 bằng một nửa cạnh huyền.
 Bài 6: Chứng minh rằng nếu một tam giỏc cú đường trung tuyến tương ứng với một cạnh 
 bằng một nửa cạnh ấy thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng.
 Bài 7: Cho ABC cõn ở A, AB 34cm, BC 32cm và 3 trung tuyến AM , BN,CP đồng 
 quy tại trọng tõm G .
 a) Chứng minh AM ^ BC 
 b) Tớnh độ dài AM , BN,CP . (làm trũn kết quả đến chữ số thập phõn thứ hai).
 Bài 8: ΔABC cú đường cao AH , trung tuyến AM (H nằm giữa M, B) . Cho biết 
 ã ã ã
 BAH = HAM = MAC .
 a) Chứng minh MC 2MH 
 b) Vẽ MI  AC tại I. Chứng minh IãMB 2.ãABC .
 c) Tớnh cỏc gúc của ΔABC .
 Bài 9: Cho ΔABC vuụng tại A cú AD là trung tuyến.
 1
 a) Chứng minh AD = BC .
 2
 b) Biết AC 8 cm, AD 3 cm + Tớnh cạnh AB.
 + Trung tuyến BE của ΔABC cắt AD tại G. Tớnh BE và chứng minh AGB là tam giỏc 
 vuụng.
 Bài 10: Cho ΔABC cú hai trung tuyến AM và BN vuụng gúc với nhau tại G. Chứng 
 minh BC 2 CA2 5AB2 .
 Cể THỂ EM CHƯA BIẾT
 Mỗi trung tuyến chia thành 2 tam giỏc cú diện tớch bằng nhau.
 Nối 3 đỉnh của tam giỏc với trọng tõm của nú ta được 3 tam giỏc nhỏ cú diện tớch bằng nhau. 
 3 trung tuyến của tam giỏc phõn tam giỏc thành 6 tam giỏc nhỏ cú diện tớch bằng nhau.
 Hết
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 2 Toỏn Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: Hs tự điền
 Bài 2: 
 A
 a) Vỡ G là trọng tõm ABC nờn : BG 2GP,CG 2GQ.
 Lại cú PE PG,QF QG nờn : GE 2GP,GF 2GQ. F E
 Do đú BG GE,CG GF. Q G P
 b) Suy ra : GBC GEF (c.g.c)
 ã ã
 Từ đú ta cú EF BC và GEF GBC EF // BC. B C
 2
 Bài 3: Gọi G là giao điểm của BD và CE, ta cú BG = BD,
 3 A
 2
 CG = CE . Do BD CE nờn BG CG, GD GE
 3
 BGE CGD c.g.c BE CD E D
 G
 1 1
 Ta lại cú BE AB, CD AC nờn AB AC . Vậy ABC là tam 
 2 2
 giỏc cõn. B C
 ΔABC AD BE CF
 Bài 4: a) Vỡ đều nờn A
 1 1 1
 mà EG = EB; FG = CF; DG = AD ị GE = GF = GD
 3 3 3
 E F
 1 1 1
 b) Ta cú: EG = EB; FG = CF; DG = AD G
 3 3 3
 mà GE = GF = GD ị AD = BE = CF 
 C D B
 BE CF AB AC ( đó chứng minh bài 3 )
 AD = BE ị CA = CB 
 ị AB = BC = CA ị ΔABC đều.
 Bài 5: Xột ABC vuụng tại A, đường trung tuyến AM. 
 1
 Ta sẽ chứng minh AM = BC
 2
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 3 Toỏn Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 1
 Trờn tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . Ta cúMA = AD , cần chứng 
 2
 ả à
 minh. Dễ thấy BMD CMA (c.g.c)ị BD = AC, B1 = C do đú BD//AC . Ta lại cú 
 Bã AC 90 nờn ãABD 90 . Do đú CAB DBA(vỡ cạnh AB chung, Cã AB Dã BA 90 ,
 1
 AC BD ), suy ra BC AD . Vậy AM BC
 2
 1
 Bài 6: Xột ABC , đường trung tuyến AM cú AM BC . 
 2
 Ta sẽ chứng minh Bã AC 90 . Dễ thấy MA MB MC . 
 à à à ả
 Cỏc tam giỏc MAB, MAC cõn tại M nờn: B A1,. C A2
 à à à ả ã
 Do đú B + C = A1 + A2 = BAC
 Ta lại cú Bà Cà Bã AC 180 nờn Bã AC 90
 Bài 7: 
 A
 ã ã
 a) DAMB = DAMC(c.c.c) ị AMB = AMC = 90° 
 BC
 b) Vỡ M là trung điểm BC ị BM = = 16cm 
 2
 N P
 Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABM ta cú: G
 AM 2 + MB 2 = AB 2 
 ị AM = AB 2 - MB 2 = 342 - 162 = 30cm
 C M B
 1 1
 Vỡ G là trọng tõm ΔABC ị GM = AM = .30 = 10cm 
 3 3
 ỡ à à
 ù B = C (gt)
 ù
 Xột ΔCBP và ΔBCN cú: ớù BC chung ị DCBP = DBCN(c.g.c) ị CP = BN
 ù
 ù CN = PB (AB = AC)
 ợù
 Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng GBM ta cú: 
 GM 2 + MB 2 = MB 2 ị MB 2 = 102 + 162 = 356 ị BM ằ 18,87cm
 3 3
 Vỡ G là trọng tõm ΔABC ị BN = BG = .18,87 = 28,31cm 
 2 2
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 4 Toỏn Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Vậy AM = 30cm; BN = CP = 28,31cm
 Bài 8: 
 a) DABH = DAMH (c.g.c)ị BH = HM ị BM = 2HM = MC
 b) Chỉ ra ΔAHM ΔAIM (ch gn) ãAMH ãAMI A
 1
 mà ãAMH ãABH (theo a) Bã MI 2.ãABC 2 3
 I
 CM
 c) Ta cú: ΔAMI ΔAMH IM MH 
 2
 C
 M H B
 Trong tam giỏc vuụng CMI cú 
 CM
 IM = ị Cà= 300 ị CãMI = 600 ị IãMB = 1200 ị Bà= 600
 2
 à à à à
 ị A = 90° . Vậy tam giỏc ABC cú: C = 30°; B = 60°; A = 90°
 Chứng minh bổ đề: Trong một tam giỏc vuụng, gúc đối diện với cạnh cạnh gúc vuụng bằng nửa 
 cạnh huyền thỡ bằng 30° 
 Bài 9: 
 A
 BC
 a) AD BC 2AD 2 3cm 
 2 E
 b) Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABC ta G
 BC 2 AB2 AC 2 C B
 cú: D
 2 2
 AB BC 2 AC 2 2 3 8 2cm
 Áp dụng định lớ Pitago cho tam giỏc vuụng ABE ta cú: 
 2
 ổ 8ữử
 2 2 2 2 ỗ ữ
 BE = AB + AE ị BE = 2 + ỗ ữ = 6cm 
 ốỗ 2 ứữ
 2 2 3 2 2 6
 mà AG = AD = cm; BG = BE = cm 
 3 3 3 3
 2 2
 ổ2 3ữử ổ2 6ữử
 2 2 ỗ ữ ỗ ữ 2
 AG + BG = ỗ ữ + ỗ ữ = 4 = AB ị DAGB vuụng tại G ( Pitago đảo) 
 ốỗ 3 ứữ ốỗ 3 ứữ
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 5 Toỏn Họa 6 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 Bài 10: Vỡ AM  BN nờn : 
 BC 2 + CA2 = (2BM )2 + (2AN )2 
 = 4(BG 2 + GM 2 + GN 2 + AG 2) A
 2 2 2 2
 = 4(GB + AG )+ 4(GM + GN ) N
 G
 ộ 2 2 ự
 ổ ử ổ ử C B
 2 ờỗ1 ữ ỗ1 ữ ỳ 2 M
 = 4AB + 4 ờỗ AGữ + ỗ BGữ ỳ= 5AB
 ờốỗ2 ứữ ốỗ2 ứữ ỳ
 ở ỷ
 Bài tập bổ sung:
 1) Cho ΔABC cú hai trung tuyến BE và CF cắt nhau tại G. Đường thẳng AG cắt BC tại D. 
 Kẻ BH  AD tại H và CK  AD tại K. Chứng minh:
 a) BH CK 
 S S S
 b) AGB AGC CGB ( S là diện tớch)
 2) Cho ΔMNP . Gọi I là một điểm nằm trong tam giỏc. Chứng minh rằng nếu 
 S S S ΔMNP
 IGN MIP NIP thỡ I là trọng tõm của 
 A M
 E F F
 G I
 K K
 B P N
 C D E
 H
 H
 a) DBDH = DCKD(ch - gn) ị BH = CK 
 b) Xột ΔAGB và ΔAGC cú cạnh AG chung mà: 
 ỡ
 ù BH ^ AD
 ù
 ớ CK ^ AD ị S = S . Chứng minh tương tự ta được: S S
 ù ΔAGB ΔAGC ΔBGC ΔAGC
 ù BH = CK
 ợù
 Vậy S AGB S BGC S AGC
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 6 Toỏn Họa 7 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MễN TOÁN 7
 2) Gọi MI  NP E; NI  MP F 
 Kẻ NH  ME tại H, PK  ME tại K 
 1 1
 ị S = S ị MI .NH = MI .PK 
 DMNI DMIP 2 2
 ị NH = PK ị DNHE = DPKE(cgv - gn) ị NE = EP
 E là trung điểm NP . Chứng minh tương tự: F là trung điểm MP
 mà ME  NF I I là trọng tõm ΔMNP
 Bồi dưỡng năng lực học mụn Toỏn 7
 7