Chuyên đề Bồi dưỡng năng lực học Hình học Lớp 7 - Chương II, Bài 7: Định lý pitago

 Toán Họa 1 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
  ĐỊNH LÝ PITAGO
 I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
 1. Định lý Py-ta-go:
 Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của 
 hai cạnh góc vuông
 2 2 2
 DABC vuông tại A Þ BC = AB + AC .
 B
 2. Định lý Py-ta-go đảo:
 Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình 
 phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
 A C
 2 2 2 · 0
 DABC có BC = AB + AC Þ BAC = 90
 II. BÀI TẬP
 Bài 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau:
 G
 M
 E
 A 45°
 4 4 32
 3
 12
 9
 C 45° 60°
 H K N P
 B D F
 Bài 2: Các tam giác cho dưới đây có phải là tam giác vuông không? Chứng minh. 
 Nếu tam giác là tam giác vuông hãy chỉ rõ vuông tại đỉnh nào?
 a) AB = 25; BC = 7;CA = 24. b) DE = 2;EF = 11; FD = 15 
 c) GH = 5;HI = 6;IG = 7 
 d*) KL = 4a + 5 , LM = 9a + 12 , MK = 8a + 11 với a là độ dài cạnh huyền của tam giác 
 vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1.
 Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H. Tính độ dài 
 cạnh BC biết
 a) HA 7 cm,HC 2 cm. 
 b) AB 5 cm,HA 4 cm. 
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 1 Toán Họa 2 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 4: Cho DABC có AB = 24, AC = 32, BC = 40 . Trên cạnh AC lấy điểm M sao 
 cho AM = 7 . Chứng minh rằng:
 a) DABC vuông
 · µ
 b) AMB = 2C
 AB 8
 Bài 5: DABC vuông ở A có = , BC = 51 . Tính AB, AC. 
 AC 15
 Bài 6: Cho DABC vuông cân ở A; M là điểm tùy ý nằm giữa B và C. Vẽ đường cao AH 
 của ABC.
 BC
 a) Chứng minh AH = b*) Chứng minh MB 2 + MC 2 = 2MA2. 
 2
 Bài 7: Cho hình vẽ bên, trong đó BC = 6cm , AD = 8cm . Chứng minh rằng AD vuông 
 góc với BC.
 A 3 B
 7
 C D
 Bài 8: a) DABC có đường cao AH . Chứng minh : AB 2 + AC 2 = BH 2 + CH 2 + 2AH 2. 
 b) Cho DABC nhọn (AB > AC) có đường cao AH , E là điểm tùy ý trên AH
 Chứng minh: AB 2 – AC 2 = EB 2 – EC 2. 
 c) Cho DABC có ba góc nhọn, AB = AC . Vẽ đường cao CH . 
 Chứng minh AB 2 + BC 2 + CA2 = BH 2 + 2AH 2 + 3CH 2. 
 Hết
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 2 Toán Họa 3 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 HDG
 Bài 1: 
 G
 M
 E
 A 45°
 4 4 32
 3
 12
 9
 C 45° 60°
 H K N P
 B D F
 a) BC 2 = AB 2 + AC 2 = 225 Þ BC = 15 
 b) DDEF cân tại D Þ DF = 3 .EF 2 = DE 2 + DF 2 = 18 Þ EF = 18 = 9 2 
 c) DHGK đều Þ GH = GK = HK = 4 
 d) DMNP cân tại N
 MN 2 + NP 2 = MP 2 Þ 2MN 2 = 32 Þ MN 2 = 16 Þ MN = 4. Vậy MN = NP = 4 
 Bài 2: 
 a) Có: BC 2 + CA2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252 = AB 2 .
 Vậy ABC vuông tại C (Định lý Pythagore đảo)
 2 2
 b) Có: DE 2 + EF 2 = 22 + ( 11) = 4 + 11 = 15 = ( 15) = FD 2 .
 Vậy DEF vuông tại E (Định lý Pythagore đảo)
 c) Ta có: 7 6 5 .
 Mà GH 2 + HI 2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61 > 49 = 72 = IG 2 .
 Vậy GHI không phải là tam giác vuông.
 d) KL 4a 5 , LM 9a 12 , MK 8a 11 .
 a là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông là 1 nên a 2
 KL < MK < LM
 Có: 
 2 2
 KL2 + MK 2 = (4a + 5) + (8a + 11) = 16a2 + 40a + 25 + 64a2 + 176a + 121 = 80a2 + 216a + 146
 2
 LM 2 = (9a + 12) = 81a2 + 216a + 144.
 Thay a = 2 . Ta được: K L2 + MK 2 = 80.2 + 216. 2 + 146 = 306 + 216 2 ;
 LM 2 = 81.2 + 216. 2 + 144 = 306 + 216 2
 Vậy KL2 + MK 2 = LM 2 nên KLM vuông tại K (Định lý Pythagore đảo) .
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 3 Toán Họa 4 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 Bài 3: A
 a) AB AC HB HC 9 cm. 
 Dùng định lý Py-ta-go ta có
 BC 2 BH 2 HC 2
 H
 AB2 AH 2 HC 2
 Từ đó BC 6 cm. B C
 b) Làm tương tự câu a, tính được HC 1 cm BC 10 cm. 
 Bài 4: a) Có: AB 2 + AC 2 = 242 + 322 = 576 + 1024 = 1600 = 402 = BC 2 .
 Vậy ABC vuông tại A (Định lý Pythagore đảo)
 C
 b) Áp dụng định lý Pythagore cho ABM vuông tại A có:
 BM 2 = AB 2 + AM 2 = 242 + 72 = 576 + 49 = 625 MB 25
 Có AM + MC = AC nên MC = AC - AM = 32 - 7 = 25.
 MBC có MB = MC = 25 nên MBC cân tại M .
 ·
 Þ Cˆ = MBC (t/c tam giác cân) (1) M
 A·MB = Cˆ + M·BC
 Lại có: (tính chất góc ngoài tam giác) (2)
 · µ B
 Từ (1) và (2) suy ra AMB = 2C . A
 Bài 5: Áp dụng định lý Pythagore cho ABC vuông tại A có: BC 2 AB2 AC 2
 AB 8 AB AC
 Có = Þ = 
 AC 15 8 15
 AB 2 AC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 512
 Þ = = = = = 9 
 64 225 64 + 225 289 289
 AB AC
 Þ = = 3 | 
 8 15
 VậyAB = 24; AC = 45 .
 · ·
 Bài 6: a) DABC vuông cân nên ABC = ACB = 45°. A
 · ·
 Chỉ ra HAB = HAC = 45° ,
 DAHB vuông cân tại H nên AH = HB 
 DAHC vuông cân tại H nên AH = HC 
 BC
 HB = HC = B C
 2 H M
 BC
 Þ AH = 
 2
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 4 Toán Họa 5 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 b) Có MB = MH + HB ; MC = HC – MH. 
 2 2
 MB 2 + MC 2 = (MH + HB) + (HC – HM ) 
 = MH 2 + 2MH.HB + HB 2 + HC 2 - 2HC.HM + HM 2 
 Vì HA = HB = HC nên MB 2 + MC 2 = 2MH 2 + 2HA2 = 2(MH 2 + HA2) = 2MA2 
 (Áp dụng ĐL Pythagore cho DHAM vuông tại H ).
 Vậy MB 2 + MC 2 = 2MA2 
 Bài 7:
 Qua B kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD ở E. 
 3 B
 Ta chứng minh được DE = AB = 3 , BE = AD = 8 A
 Tam giác BCE có BC = 6, BE = 8, CE = 10 
 8
 nên ta chứng minh được C· BD 90O
 ü
 AD / / BEï C E
 ý Þ BC ^ AD 7 D 3
 BC ^ BEï
 þï
 Bài 8:
 C C
 A
 H
 H H
 C
 E B
 B
 A A B
 a) Áp dụng định lý Pythagore cho DHAB và DHAC vuông tại H có: AB 2 = HA2 + HB 2 ; 
 AC 2 = HA2 + HC 2 
 Vậy AB 2 + AC 2 = HA2 + HB 2 + HA2 + HC 2 = BH 2 + CH 2 + 2AH 2. 
 b) Áp dụng định lý Pythagore cho DHAB ; DHEB ; và DHEC vuông tại H có:
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 5 Toán Họa 6 [Document title] PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC MÔN TOÁN 7
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
 C AB = HA + HB ; AC = HA + HC ; EB = HE + HB ; 
 EC 2 = HE 2 + HC 2 
 Vậy AB 2 - AC 2 = HA2 + HB 2 - (HA2 + HC 2) = BH 2 - CH 2. 
 2 2 2 2 2 2 2 2
 H EB - EC = HE + HB - (HE + HC ) = BH - CH 
 Vậy AB 2 – AC 2 = EB 2 – EC 2. 
 E
 B
 A c) Áp dụng định lý Pythagore cho DHBC ;DHAC vuông tại H 
 có:
 BC 2 = HB 2 + HC 2; AC 2 = HA2 + HC 2 
 Mà AB = AC Þ AB 2 = AC 2 
 Nên : AB 2 + BC 2 + CA2 = BC 2 + 2AC 2 
 = HB 2 + HC 2 + 2( HA2 + HC 2) = BH 2 + 2AH 2 + 3CH 2. 
 Bồi dưỡng năng lực học môn Toán 7
 6