Chuyên đề Các dạng toán về giá trị tuyệt đối

Chuyên đề 2: Các dạng toán về giá trị tuyệt đối
( Dành cho lớp 6 – 7 )
A- Phần kiến thức:
I- Các kiến thức về giá trị tuyệt đối:
1. Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
* TQ: 	Nếu 
	Nếu 
2. Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
* TQ: 	
3. Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
* TQ: 	
4. Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.
* TQ:	 và 
5. Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơn
* TQ: 	Nếu 
6. Trong hai số dương soa nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
* TQ: 	Nếu 
7. Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.
* TQ: 	
8. Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.
* TQ: 	
9. Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.
* TQ: 	
10. Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.
* TQ: 	 và 
II – Một số kiến thức về bất đẳng thức:
1. Định nghĩa: Cho hai số a và b hệ thức quan hệ a > b, a < b, a b, a b được gọi là các bất đẳng thức. Trong đó: a được gọi là vế trái của bất đẳng thức.
	b được gọi là vế phải của bất đẳng thức
Dấu >, <, được gọi là chiều của bất đẳng thức.
2. Tính chất mở đầu của bất đẳng thức:
3. Hai bất đẳng thức cùng chiều, ngược chiều.
a) Hai bất đẳng thức: a > b và c > d được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.
b) hai bất đẳng thức a > b và c < d được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.
4. Các tính chất quan trọng của bất đẳng thức:
4.1: Nếu cộng ( hoặc trừ ) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
* TQ: 	
( Chú ý: Tính chất trên còn được gọi là tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, phép trừ )
4.2: Quy tắc chuyển vế trong bất đẳng thức:
Nếu chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một bất đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó.
* TQ: 	
4.3: Nếu nhân ( hoặc chia) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
* TQ: m > 0 ta có: 
4.4: Nếu nhân ( hoặc chia ) hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.
* TQ: n < 0 ta có: và 
4.5: Nếu cộng vế với vế của hai hay nhiều bất đẳng thức cùng chiều thì ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho.
* TQ: 	
( Chú ý: Không được trừ vế với vế của hai bất đẳng thức cùng chiều )
Ví dụ: 	 là sai.
4.6: Nếu trừ vế với vế của bất đẳng thức thứ nhất với bất đẳng thức thứ hai ngược chiều với nó thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhất.
* TQ: 	
( Chú ý: Không được cộng vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều )
Ví dụ:	 là sai.
4.7: Một số tính chất biến đổi các bất đẳng thức mà cả hai vế đều dương.
a) Cho a, b, c, d là các số dương ta có:
b) Cho a, b là các số dương ta có:
c) Cho a, b cùng dấu, ta có:
B. Các dạng toán :
I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: 	 ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )
* Cách giải: 
- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) 
- Nếu k = 0 thì ta có 
- Nếu k > 0 thì ta có: 
Bài 1.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	
Bài 1.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.5: Tìm x, biết:
a) 	b) c) d) 
= = = = = = = *&*&* = = = = = = =
2. Dạng 2: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải:
Vận dụng tính chất: ta có: 
Bài 2.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) d) 
Bài 2.2: Tìm x, biết:
a) 	b) c) d) 
3. Dạng 3: ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )
* Cách giải 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:
	(1)
Điều kiện: B(x) (*)
(1) Trở thành ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều kiện ( * )
* Cách giải 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
Nếu 
Nếu 
Ta giải như sau: 	(1)
Nếu A(x) thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được với điều kiện )
Bài 3.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.5: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 	d) 
4. Dạng 4: đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: 
* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:
x
( Điền giá trị của x khi A(x) = 0, B(x) = 0, C(x) = 0 thiều thứ tự tăng dần từ trái sang phải )
Kết quả bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Căn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )
Bài 4.1: Tìm x, biết: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 4.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 
Bài 4.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	
c) 	d) 	
e) 	f) 	
Bài 4.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
 (1)
Điều kiện: D(x) kéo theo 
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.2: Tìm x, biết:
a) 
b) 
c) 
d) 
6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.2: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.3: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
7. Dạng 7: 
 Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: 
B1: đánh giá: 
B2: Khẳng định: 
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: 
a) 	b) 	c) 
Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 	 c) 
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) 
Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a) 	b) 
c) 	d) 
8. Dạng 8: 
* Cách giải: Sử dụng tính chất: 
 Từ đó ta có: 
Bài 8.1: Tìm x, biết:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bài 8.2: Tìm x, biết:
a) 	 b) 	 c) 
d) 	 e) 	 f) 
II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: với 
* Cách giải: 
* Nếu m = 0 thì ta có 
* Nếu m > 0 ta giải như sau:
 (1)
Do nên từ (1) ta có: từ đó tìm giá trị của và tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) b) c) 	d) 
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	 b) 	 c) 	 d) 
2. Dạng 2: với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá 
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) từ đó giải bài toán như dạng 1 với 
Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) c) d) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và 	b) x +y = 4 và 
c) x –y = 3 và 	d) x – 2y = 5 và 
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và 	b) x – y = 3 và 
c) x – y = 2 và 	d) 2x + y = 3 và 
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : 
Đánh giá: tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: 
a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 	c) 
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B 
Đánh giá: 	(1)
Đánh giá: 	(2)
Từ (1) và (2) ta có: 
Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 
a) 	b) 
c) 	d) 
=====================================================
III – rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:
Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 
a) 	b) 
Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:
a) 	b) 
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 4: Rút gọn biểu thức khi 
a) 	b) 
Bài 5: Rút gọn biểu thức:
a) với x < - 0,8	b) với 
c) với 	d) với x > 0
==============&=&=&==============
IV – Tính giá trị biểu thức:
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
a) M = a + 2ab – b với 	b) N = với 
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
a) với 	b) với 
c) với 	d) 	với 
Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:
a) với 	b) với 
c) với x = 4	d) 	với 
======================
V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 	b) 	c) 	d) 
e) 	f) 	g) 
h) 	i) 	k) 
l) 	m) 	n) 
Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
k) 	l) 	m) 
Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
a) 	b) 	c) 
Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức 
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 	c) 
Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: