Chuyên đề Các đường đồng quy trong tam giác

 Chuyên đề 5 : 
 CÁC ĐƯỜNG ĐỒNG QUY 
 TRONG TAM GIÁC
 A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN:
 $1. TÍNH CHẤT 3 ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC
 Ba đường trung tuyên của tam giác đồng quy tại một điểm.Điểm nầy gọi là trọng tâm của tam giác. Trọng tâm cách mỗi đỉnh một khoảng bừng 2/3 độ dài trung tuyến qua đỉnh ấy .
 Nâng cao : 1/ Hai tam giác có chung đỉnh và có chung một trung tuyến phát xuất từ đỉnh ấy thì có cùng một trọng tâm .
 2/ Trung tuyến của tam giác thì chia tam giác thành 2 diện tích bằng nhau .
 3/ Ba trung tuỷến một tam giác chia tam giác chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ có diẹn tích bằng nhau .
 $2. Tính chát 3 tia phân giác của góc , Tam giác :
Điểm nằm trên tia phân giác của một góc cáh đều hai cạnh của góc đó .
Đảo lại: Điểm nằm ben trong một góc và cach đều 2 cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.
Ba đường phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm . Điểm nầy cách đều 3 cạnh của tam giác.Còn goi là tam vòng tròn nội tiếp của tam giác.
Bổ sung: Tron một tam giác các đường thửng chứa tia phân giác của góc ngoài và tia phân giác của góc trong không kề cùng đi qua một điểm.Điểm nầy cách đều 3 đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác .
 $3. Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng.
 Tính chất 3 đường trung trực của tam giác:
Điểm nằm trên trung trực của đoạn thẳng thì cách dều hai mút(đầu) đoạn thẳng ấy .
Đảo lại: Điểm cách đèu hai đầu mut đopạn thẳng thì nằm trên trung trực đoạn thẳng đó.
Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm nầy cách đều ba đỉnh của tam giác. Còn gọi là tâm vòng tron ngoại tiếp của tam giác . 
Bổ sung: Có một đường tròn qua ba đỉnh của tam giác. Gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tâm đường tròn nầy là giao điẻm ba đường trung trực của tam giác .
Đường tròn ngoại tiép của tam giác vuông có tâm là trung điẻm cạnh huyền .
 $4. Tính chất ba đường cao của tam giác :
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm . Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác
Nâng cao: - Trực tâm của tam giác nhọn nằm trong tam giác >
Trực tâm của tam giác vuông nằm tại đỉnh góc vuông.
Trực tâm của tam giác tù có đỉnh năm ngoài tam giác .
 LUYỆN TẬP:
BÀI 1. Cho tam giác ABNC có AB < AC. Hai trung tuyến BE , CF cắt nhau tại G . Gọi D là trung điểm BC. Chứng minh rằng :
 a/ A,G,D thẳng hàng ?
 b/ BE < CF
 A 
 HD: a/ Gọi G là trọng tâm của tam giác nên trung
 AG phải qua G => A,G,D thẳng hàng
 b/ cóDB=DC;AD 
 F E chung,AB<AC(gt) nên (Đlí: hai tgiác có 
 2 cặp cạnh bằng nhau )
 có DB=DC;GD chung,
 Nên GB 2/3BEBE<CF.
B D C
BÀI 2. Cho tam giác ABC các trung tuýen AD,BE,CF căt nhau tai G . Chứng minh rằng : 
 A a/ b/ BE+CF < 3/2 BC
 HD: a/ Vẽ điểm D trung điểm AM. Chứng minh
 F E 
 Xét có AM < AC + CM hay 
B C 2AD AD < 
 D b/ Xét tam giác GBC có GB+GC>BC
 =>2/3BE + 2/3CF > BC => BE + CF > 3/2 BC
 M
BÀI 3. Cho góc xÔy . Lấy điểm A tren O x, điểm B trên Oy. Vẽ tia phân giác các góc BA x và ABy cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt O x,Oy lần lượt tai C,D . Chứng minh tam giác OCD cân?
 HD: Xét tam giác AOB có các tia phân giác ngoài của 
 góc A và B cắt nhau tai M nên tia tia OM là tia 
 phân giác góc xÔy.=>
 D =>OC = OD => cân
 B
O A C x
BÀI 4 . Cho tam giác ABC , góc B = 120 độ. Phân giác BD; CE. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài tại đỉnh A của tam giác ABC cát BC tai F . Chứng minh rằng:
 a/ góc ADF = góc BDF
 b/ Ba điểm B,E,F thẳng hàng
 HD: a/ góc ABD=góc ABF=gòcBy=60 độ
 Xét tam giác ABD có 2 tia phân giác ngoài tại 
 đỉnh A,B cắt nhau tại F , Suy ra DF là tia 
 F B phân giác ABD. Vậy góc ADF=góc BDF
 b/ Xét tam giác DBC có tia phân giác góc C và 
 tia phân giác ngoài tại điỉnh B,cắt nhau tại E. 
 Suy ra DE là tia phân giác ngoài của AB .
 A D C Tia DE và DF đều là tia phân giác của góc 
 ADB . => Nên 3 điểm D,E,F thẳng hàng.
BÀi 5. Cho tam giác ABC tia phân giác góc B,C cắt nhau tại O . Từ A kể đường thẳng vuông góc với OA,cắt tia BO và CO lần lượt tai M và N . Chứng minh rằng : a/ BM vuông góc BN , b/ CM vuông góc CN ?
 HD: a/ Xét tam giác ABC,có O là giao điểm các tia 
 phân giác góc B và C nên AO là tia phân giác 
 góc A .Có AN vuông góc AO nên AN là tia phân 
 N A M giác ngoài của đỉnh A của tam giác ABC.Tia phân 
 giác ngoài AN và tia phân giác trong CO của 
 t/giác ABC cắt nhau tại N . Suy ra BN là tia phân 
 giác ngoài tại đỉnh B của t/giác ABC. Do đó BM 
 B C vuông góc BN(Hai tia phân giác của 2 góc kề bù)
 b/Tương tự chứng minh được CM vuông góc CN 
BÀI 6. Cho tam giác ABC . góc B = 45 độ . Đường cao AH. Tia phân giác BD . Cho biết góc BDA = 45 độ . Chứng minh : HD // AB
 HD:Xét tam giác DBC có ADB là góc ngoài nên : 
 góc ADB = 
 Xét t/giác ABC có A góc ngoài nên:
 A (1)
 Xét t/giác vuông HAC có góc A= 90 độ - góc C
 D = 90 độ - ( 45 (2)
 Từ (1) và (2) suy ra 
B H C Xét tam giác ABH có D là giao điểm một tia 
 phân giác ngoài và tia phân giác trong không kề 
 nên HD là tia phân giác ngoai tại đỉnh H do đó 
 góc DHC = 45 độ. => HD // AB
BÀI 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. AB = 3 (dv), BC= 4 (dv) . Phân giác góc B,C cắt nhau tại O . Vẽ OE vuông góc AB và O F vuông góc AC.
 a/ Chứng minh rằng : OA + AC - BC = 2AE
 b/ Tính khoảng cách O đến các cạnh của ABC ?
 c/ Tính OA ? OB ? OC ?
 HD: a/ Vẽ thêm OD vuông góc BC ta được 
 OD=OE=O F
 B Ta cũng chứng minh đựoc : AE=A F (=x) ,BE= 
 BD(y),CD=CF(=z).Ta có :
 AB+AB-BC=(x+y)+(x+z)-(y+z=2x=2AE .
 b/ Áp dụng định lý Py ta go vao tam giác vuông 
 ABC. Tính BC= 5
A C Ta có 2AE=AB+AC-BC= 3+4-5 = 2 ; AE = 1.
 T/giác EOA có góc E=90 độgóc A =45 độ nên 
 vuông cân => AE= 1.=> OD=OE=O F=1
 c/ Ta có AB=3,AE=1=>BE=2,AC=4;A F=1 nên 
 CF=3. =>
 BÀI 8. cho tam giác ABC không vuông. Các đường trung trực AB và AC cắt nhau tại O,các đường thẳng BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc MAN .
 A HD: Gọi O là giao điểm các đường trung trực 
 AB,AC nên OA=OB=OC. Điểm M nằm trên trung 
 trực AB nên MA=MB. Điểm N nằm trên trung trực 
 nên NA=NC.
 B N M C
 Mặt khác 
BÀI 9. Cho tam giắc ABC. Trên tia BA lấy điểm M trên tia CA lấy điểm N sa cho BM+CN=BC. Chứng minh rằng đường trung trưc của MN luôn luôn đi qua một điểm cố định ?
 HD: Vẽ các tia phân giác góc Bvà C chúng cắt 
 N M nhau tại O đó là điểm cố định. Trên cạnh BC lấy 
 A điểm D sao cho BD=BM thế thì CD=CN. 
 ,
 Suy ra OM=OD và ON=OD do đó OM=ON. 
 B C Suy ra trung trực MN đi qua điểm cố định O.
BÀI 10: Cho góc xoy. Trên 2 cạnh Ox ; Oy lần lượt lấy các điểm A,B sao cho OA+OB= 2a. Xác định vị trí của A và B có độ dài nhỏ nhất?
 HD: Trên tia O x lấy A trên tia Oy lấy Bsao cho 
 y OA.Ta có OA
 =>A A. Gọi H ,K làn lượt là hình chiếu 
 của của A và B trên A 
B' 
 K Ta chứng minh được HK )dáu = A trùng 
 B A và B trùng B)
 Do đó A
 A' A x Vây AB nhỏ nhátOA=OB=a.
 H Nhận xét: Chu vi 
 Một cách tổng quát: Trong các tam giác có một 
 góc bằng nhau và tổng 2 cạnh kề góc ấy bằng nhau 
 thì tam giác cân có chu vi nhỏ nhất .
BÀI 11 : Cho đoạn thẳng MN = 4cm . Điẻm O nằm giữa M và N trên cùng một nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O là OMA và OMB sao cho góc ở đỉnh O bằng 45 độ. Tìm vị trí của O để AB có độ dài nhỏnhất. Tính độ dài nhỏ nhất đó ?
 HD: Tam giác AOB :Ô=90 độ;
 OA+OB=OM+ON=MN=4cm nên AB nhỏ nhất
 B Khi OA=OB. Khi đó O phải là trung điểm MN.
 Áp dụng DL/Py-ta-go AB
 A Suy ra AB = 
M O N
BÀI 39: Cho tam giác cân ABC(AB=AC) . Đường cao phát xuất từ A là AD và trọng tâm G. Trên tia điối DG lấy điểm E sao ch DE=DG.
 a/ Chứng minh BG=GC=CE=BE ?
 b/ So sánh 2 tam giác ABE và tam giác ACE ?
 c/ Nếu CG= 1/2 AE thì tam giác ABC là tam giác gì?
 HD: bai 488 câu 3
BÀI 12: Cho tam giác ABC nhọn có AH là đường cao. Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC bờ là đường thẳng BC vẽ các tia HI và HF thứ tự vuông góc AC và AB (I thuộc AC,F thuộc AB). Trên tia HI lấy điểm E trên tia HF lây điểm D sao cho I là trung điểm HE và F là trung điểm HD.
 a/ So sánh tam giác A FD và tam giác A F H, tam giác AHI và tam giác AEI ?
 b/ Chứng minh tam giác ADH;AHE;ADE là tam giác cân ?
 A
 N
 D M I
 F
 B H C
 Hướng dẫn:
 a/ 
BÀI 13: Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' cho trước.
Chứng minh rằng : GG'< 1/33(A A'+BB'+CC')
 HD: Gọi M,M',I,I' theo thứ tự trung điểm BC;B'C';AG;A"G" . Ta có:
BAI 14:Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC . Chứng minh rằng :
 HA+HB+HC <2/3(AB+AC+BC
 A
 E D
 C' B'
 B A' C
 HD: Gọi A A',BB',CC' làn lượt là ba đươngcao của tam giác 
 ABC & H là trực tâm .
 Từ H kẻ HD //AB ;HE//AC=> HE = AD & AE AH
 => AH AH < AE + AD
 Trong tam giác vuông HDC(góc H=1 v): HC < DC
 Vậy : HA + HB + HC < AE + AD + BE + DC
 => HA + HB + HC < AB + AC (1)
 Chứng minh tương tự: HA + HB + HC =< AB + BC (2)
 HA + HB + HC <BC + AC (3)
 Từ (1),(2) &(3): 3( HA+HB+HC)< 2( AB+AC+BC)
 => HA + HB + HC < 
Bài 15: Cho đoạn thẳng AB có trung điểm M . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ Ax,By cùng vuông góc AB . Lấy điểm C bất kỳ trên A x. Qua M vẽ đường vuông góc MC cắt tia By tại D.
 a/ Chứng minh AC+BD=CD
 b/ Vẽ MH vuông góc CD . Chứng minh tam giác AHB vuông ?
Bài 16: Cho 2 tam giác vuông AMO và BMO bằng nhau có chung cạnh huyền MO và A,B nằm trên 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng MO . Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt MB tại S . Chứng minh tam giác SOM cân ?
Bài 17: Cho hình vuông ABCD cạnh a. Một góc xÂy = 45 độ có A x cắt BC tại E;Ay cắt CD tại F. Trên tia đối DC lấy điểm G sao cho GD = BE.
 a/ Tính góc FAG ?
 b/ Chưng minh E F = BE + DF ?
 c/ Chứng minh 2/3a < E F < a ?
 y
Hướng dẫn: x D
Bài 15: H
 C 
 A M B
 E
 a/ Gọi E là giao điểm DM với tia đối của A x 
Ta có: 
 Tam giác ECD có CXM đường cao vừa là trung tuyến => tam giác ECD cântại C=> CE= CD Mà CE = CA + AE = CA + BD Vậy : AC + BD = CD
 b/ Chứng minh tam giác ACM = tam giác HCM ( Ch+ gnhọn)
 Suy ra HM = AM = 1/2 AB.
 Tam giác AHB có trung tuýen HM bằng nửa cạnh tương ứng nên tam giác vuông taị H.
 A
Bài 16: 
 O M
 S
 B
Ta có: 
 Mà O S//MA=>gócAMO =góc SMO => góc BMO =góc SOM => tam giác SOM cân tai S >
Bài 17: B // E C
 F
 A D
 =
 G
a/ Chứng minh tam giác ABE= tam giác ADG9cgc)=> góc ABE=góc DAG
 Suy ra Hay góc DA F = 45 độ.
b/ Chứng minh tam giác E A F= tam giác GA F (cgc)
 =>E F = F G = F D + DG Hay : E F = BE + D F
c/ Ta có : E F < EC + C F
 E F = BE + DF
 => 2 E F E F < 2a (1)
 Mặt khác : E F > EC
 E F > CF
 E F = BE + D F
 => 3 E F > BC +CD = 2a => E F > 2/3 a (2)
 Từ (1) và (2) => 2/3 a < E F < a
 KẾT THÚC NĂM HỌC THẮNG LỢI 
 &&&&&&&&&