Chuyên đề Chứng minh tam giác

 Chuyên đề 
 CHỨNG MINH TAM GiÁC
 $1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC
Kiến thức cần nhớ : 
 1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .
 2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau .
 3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
 4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó .
BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK)
 b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?
 c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?
BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?
 b/ Cho ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D BC ) Chứng minh :
 Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?
 HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác . 
BÀI 3 Cho ABC có góc A = 
 Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .
 a/ Tính góc BOC theo ?
 b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo ?
 A 
 E O D
 1 1
 B 2 2 C
 4 3 3 4
Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90+ và góc I = 90 - 
BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết = 20
 HD : ..=> Â = + 20 , = 3 = 180 ,
 => = 60, Â = 80; = 40 & = 120, =100; = 140
BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = 
 a A
 O
 b B 
$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC
 Tam giác
 Tam giác vuông
 TH 1. C-C-C 
 Cạnh huyền + Cạnh góc vuông
 TH 2. C-G-C
 Hai cạnh góc vuông 
 TH 3. G-C-G
 Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn
 $ 3. TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :
Tam giác
 . Cân
 . ĐỀU
 VUÔNG
vuông cân
Định nghĩa
A,B,C không thẳng hàng
 ABC:
 AB = AC
 ABC :
 AB=BC=AC
 = 90
 AB=AC
Quan hệ các góc
Â+=180 
=
Â=180
60
 = 90
 = 45
Quan hệ các cạnh
1 cạnh< Tổng 
 và > Hiệu 
2cạnh còn lại
AB=AC
AB=BC=AC
BC
 BC > AB
 BC > AC
AB=AC=
 BC= c
BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , = 60 độ . Hai tia phân giác của góc B và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứng minh góc BDC = góc C ?
 A HD: Tính góc C = 40 độ . 
 Tính góc BDC = 180 –(90 +30) = 40độ =>gócC =góc BDC.
 I
 B C
BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 và = 3 .
 a/ Tính góc A ;B ; C ?
 b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tại 
 đỉnh C . Tính góc AEC ?
 B HD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 => góc C = 18 
 => = 54 độ; Â = 108 độ.
 b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ 
 A => AC E = 81 độ và
 Â= =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27 độ .
 C
 E
BÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC là 
 tam giác gì ?
 HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ 
 => Tamgiác ABC vuông tại A .
BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếp và AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác PQR . Biết 
 A 
 HD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 và 
 CA = 2n +5 .
 Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2 
 =>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cm
 B C
BÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ; AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ?
 D
 C
 HD : 
 A B
BÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đường thẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đường thẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đường thẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?
 A HD : Chứng minh 
 =>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnh 
 tương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ; 
 NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .
 B C
 M
BÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH AM và CK.
 Chứng minh : a/ BH // CK 
 A b/ M trung điểm của HK 
 c/ HC // BK ?
 H 
 H D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM .
 B M C b/ 
 c/ 
BÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giác ấy
ba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?
 HD : => LB = MC = NA . 
 L
 A 
 M N
 B
BÀI 14: Cho tamgiác ABC có Â = 90 độ ; = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắt nhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BMC là góc tù ?
 b/ Tính góc BIC ?
 A HD:a/ Góc I > góc A Góc ngoài tam giác BIM
 Góc I > góc A góc ngoài tam giác CIM
góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .
 C b/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .
 M 
 B 
BÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắt BC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?
 A HD : => Ta có = 20 
 Mà = 180 độ => =100, = 80
 B D C
BÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( E khác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?
 b/ DC BE ?
 E HD : a/ => DE = BE
 D b/ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giao 
 A điểm DC với BE. 
 B C
BÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trên tia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao cho CK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ?
 HD : Chứng minh góc ABE = góc ACK
 A => => AE = AK .
 D
 B C K
E
BÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tia đối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao cho EN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ?
 HD:
 M A N Mà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)
 AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)
 Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN .
 K E
 B C
BÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tại A là ADB ; có AB = AD ; AC = AE . Kẻ EH vuông góc BC ; DM vuông góc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằng 
 a/ DM = AH
 N E b/ MN đi qua trung điểm DE .
D M
 A HD : a/ ...=> 
 b/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=EN
 Chứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN và
 B H C DE => .
BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm F sao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng : 
 A a/ DB = CF
 b/ 
 D E F c/ DE // BC & DE = 
 HD: a/ ...=> 
 B C b/ ...=> 
 c/ ...=> .
BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. Qua D và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứng minh DM + EN = BC ? 
 A HD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BK
 EB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK
AD= NK ( vì cùng bằng EB ).
Chứng minh ...=>....
 E	N
 B F C
BÀI 22 : Cho tam giác ABC có Â = 60. Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại I và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?
 A HD : ...=>
 E I D IK phân giác 
 B C
BÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác 
cắt nhau ở K . Chứng minh : ?
 K 
 D
 HD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DE
 A H Xét (1)
 G Xét (2)
 E Từ (1) &(2) => 2=> 
 C B
BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng không chứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặt phẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .
 Chứng minh : a/ AM = AD 
 b/ AM DE
 H E HD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôi 
 AM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đi
 chứng minh DE = AK 
Xét 
 Và (1)
 (2)
 Vậy : 
 B M C b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta có 
BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz = yÔz .Qua điểm A thuộc 
Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứng minh tam gíc AOD cân ?
 HD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OB
 A Ta thấy :
 => => AO=AD => AOD cân 
 E D
 B
 O H 
BÀI 26 : Cho góc xÔy = 120 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác của góc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông góc
Oy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh MC = MA – MB ?
 HĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.
 y => EOI đều => OC = OK .
 z M Vẽ EH dễ dàng chứng minh được
 B MH = MB ; EK = OC 
MA-MB = MA – MH = HA = EK = OC
 H E
 t
 C
 O x
 A K
BÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có Â = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.
Chứng minh BC = BD + AD .
 A HD : Ta có 
trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao cho
Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2)
Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)
Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+AD 
 B K E C
BÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểm I. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB . Chứng minh AIK vuông cân ?
 HD : Ch/minh 
 A Góc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)
 Suy ra : tam giác AIK vuông cân
 B C
BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểm E trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .
 a/ Chứng minh AB = E F và AB E F
 b/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tam 
 giác OMN vuông cân ?
 HD : a/
 b/ 
 y OMN vuông cân
 B 
 F
 N M
 E O A x
BÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N sao cho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :
 A a/ CM = B N
 b/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trên 
 AB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.
 M HD: a/ 
 b/
 N
 O
 B C
 &&&&&&&&&