Chuyên đề Đại số Lớp 7 - Chương 1, Bài 4: Lũy thừa của một số hữu tỉ

 Bài 4. LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên
 n
 ▪ Với x Î ¤ ;n Î ¥ ;n > 1, ta có: x = x14.x42¼44x3.
 n thöøa soá
 ▪ Quy ước: x1 = x; x 0 = 1 (x ¹ 0) .
2. Các phép tính về lũy thừa
 ▪ Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: xm ×xn = xm+ n ;
 ▪ Chia hai lũy thừa cùng cơ số: xm : xn = xm - n (x ¹ 0;m ³ n) ;
 n
 ▪ Lũy thừa của lũy thừa: (xm ) = xm.n .
 ▪ Lũy thừa của một tích: (x ×y)n = xn ×yn ;
 n
 æx ö xn
 ▪ Lũy thừa của một thương: ç ÷ = (y ¹ 0) .
 ç ÷ n
 èçy ø÷ y
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
 Dạng 1: Tính giá trị của một lũy thừa hoặc viết một số dưới dạng lũy thừa
 n
 ▪ Vận dụng định nghĩa về lũy thừa: với x Î ¤ ;n Î ¥ ;n > 1, ta có: x = x14.x42¼44x3.
 n thöøa soá
 æ ö4 æ ö3
 ç2÷ 2 ç 1÷
Ví dụ 1. Tính: a) ç ÷ ; b) (- 0,5) ; c) ç- 1 ÷ . 
 èç3ø÷ èç 4ø÷
Chú ý: - Lũy thừa bậc chẵn của một số ấm là một số dương.
 - Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là một số âm.
Ví dụ 2. Tính:
a) (- 1) ×(- 1)2 ×(- 1)3 ×(- 1)4 ¼ (- 1)9 ×(- 1)10 ; 
 é ù é æö2 ù é æ ö2 ù é æ ö2 ù
 1 2 ê 1 ç1÷ ú ê 1 ç1÷ ú ê 1 ç 1 ÷ ú
b) ê - 1 ú×ê - ç ÷ ú×ê - ç ÷ úL ê - ç ÷ ú. 
 ê100 ú ê100 èç2ø÷ ú ê100 èç3ø÷ ú ê100 èç20ø÷ ú
 ë û ë û ë û ë û
Ví dụ 3. Viết các số hữu tỉ sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ khác 1.
 - 27 16
a) ; b) .
 125 81 Dạng 2: Tính tích, tính thương của hai lũy thừa cùng cơ số và tính lũy thừa của một lũy thừa
 ▪ Áp dụng công thức ở phần trọng tâm kiến thức.
 ▪ Lưu ý: Có nhiều công thức được vận dụng theo chiều ngược lại.
Ví dụ 4. Tính 
 2
 æ ö3 æ ö2 æ ö éæö3 ù
 ç 1÷ ç 1÷ ç 1÷ 7 4 4 7 êç1÷ ú
a) ç- ÷ ×ç- ÷ ×ç- ÷; b) 2 : 2 ; c) 2 : 2 ; d) êç ÷ ú.
 èç 3ø÷ èç 3ø÷ èç 3ø÷ êèç2ø÷ ú
 ë û
Ví dụ 5. Có bao nhiêu cách biểu diễn số 512 dưới dạng (5m )n với m , n là các số tự nhiên khác 1?
 85 492 ×78
Ví dụ 6. Rút gọn các biểu thức sau: a) ; b) .
 47 98×79
Ví dụ 7. Chứng minh rằng 
a) 116 - 115 + 114 chia hết cho 111;
b) 165 + 219 - 86 chia hết cho 10.
Ví dụ 8. Rút gọn biểu thức rồi viết kết quả dưới dạng lũy thừa của một số
 éæ ö7 æ ö7 æ ö7 æ ö7 æ ö7 æ ö7 ù
 - 2 êç2÷ ç2÷ ç2÷ ç2÷ ç2÷ ç2÷ ú
 M = 3 ×êç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ú.
 êèç3ø÷ èç3ø÷ èç3ø÷ èç3ø÷ èç3ø÷ èç3ø÷ ú
 ë û
 Dạng 3: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương
 ▪ Áp dụng công thức ở phần trọng tâm kiến thức.
 ▪ Lưu ý: Có nhiều công thức được vận dụng theo chiều ngược lại.
Ví dụ 9. Viết các lũy thừa sau dưới dạng tích hoặc thương của các lũy thừa:
 æ ö4 æ ö3
 ç 3÷ ç2 5÷
a) ç5× ÷ ; b) ç : ÷ .
 èç 7ø÷ èç3 6ø÷
 2305
Ví dụ 10. Tính bằng cách hợp lí nhất: a) (0,125)3 ×512 ; b) .
 235
Ví dụ 11. Viết biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ khác 1
 2130 289 ×309
a) ; b) .
 6315 1059 3
 5 4
 (5 - 5 ) 323 ×95
Ví dụ 12. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) ; b) .
 506 83 ×66
 Dạng 4: Tìm cơ số, tìm số mũ của một lũy thừa
 Có thể sử dụng các tính chất được thừa nhận dưới đây:
 ▪ Với a ¹ 0;a ¹ ± 1: nếu am = an thì m = n .
 ▪ Với n Î ¥ ;n ³ 1: nếu an = bn thì
 ✓ a = b nếu n lẻ.
 ✓ a = ±b nếu n chẵn.
 æ ön
 ç2÷ 8 n+ 1 2
Ví dụ 13. Tìm số tự nhiên n , biết: a) ç ÷ = ; b) 3 = 9 .
 èç3ø÷ 27
 625 (- 2)n
Ví dụ 14. Tìm số tự nhiên n , biết: a) = 53 ; b) = 4.
 5n - 128
Ví dụ 15. Cho biết 32 < 2n < 512 (n Î ¥ ) . Tìm tập hợp các giá trị của n .
Ví dụ 16. Tìm x , biết rằng (x + 1)3 = 216.
Ví dụ 17. Tìm x , biết rằng (x - 1)4 = 16.
 Dạng 5: So sánh hai lũy thừa
 ▪ Có thể so sánh hai lũy thừa bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
Ví dụ 18. So sánh 56 và (- 2)14 .
Ví dụ 19. So sánh 95 và (27)3 .
 æ ö6 æ ö4
 ç1÷ ç 1 ÷
Ví dụ 20. So sánh ç ÷ và ç ÷ .
 èç8ø÷ èç32ø÷
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
 æ ö0 æ ö2
 ç 1÷ ç 1÷ 3
Bài 1. Tính: a) ç- ÷ ; b) ç3 ÷ ; c) (2,5) ;
 èç 2ø÷ èç 2ø÷
 æ ö4 æ ö5
 ç 1÷ ç1÷ 5 3 4
d) ç- 1 ÷ ; e) ç ÷ ×5 ; f) (0,125) ×512 ; g) (0,25) ×1024 ;
 èç 4ø÷ èç5ø÷ æ ö2
 ç 1÷ 3 - 3
Bài 2. Tính: a) ç- 2 ÷ ; b) (- 0,75) ; c) 2 ;
 èç 3ø÷
 1203 3904 32
 d) ; e) ; f) ;
 403 1304 (0,375)2
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau
 4510 ×520 (0,8)5 215 ×94
a) ; b) ; c) .
 7515 (0,4)6 66 ×83
Bài 4. Viết các số sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ khác 1
 8 81 2 8 16
a) - ; b) . c) 27 ×81; d) × × .
 27 625 5 125 625
 3 2
 3 æö æ ö
 2 7 5 ç1÷ ç 1÷ 1
Bài 5. Tính: a) (3 ) ; b) (- 5) : (- 5) ; c) ç ÷ ×ç- ÷ × .
 èç2ø÷ èç 2ø÷ 2
Bài 6. Viết các tích sau dưới dạng an (a Î ¤ , n Î ¥ ).
 æ ö æ ö2 æ ö2
 3 1 2 5 ç 3 1 ÷ 2 5 ç2÷ ç1÷ 1 2
a) 9×3 × ×3 ; b) 4×2 : ç2 × ÷; c) 3 ×2 ×ç ÷ ; d) ç ÷ × ×9 .
 81 èç 16ø÷ èç3ø÷ èç3ø÷ 3
 æ ön
 n ç3÷ 81
Bài 7. Tìm số tự nhiên n , biết: a) 5 = 125; b) ç ÷ = .
 èç7ø÷ 2401
Bài 8. Tìm x , biết
 3
 7 8 æ ö
 x x 5 3 ç 4 ÷
a) = 27 ; b) = 729; c) x = x ; d) çx - ÷ = 343.
 81 9 èç 11ø÷
Bài 9. So sánh 220 và 312 .