Chuyên đề Giá trị tuyệt đối - Tìm giá trị của biến để xảy ra đẳng thức hoặc bất đẳng thức chứa dấu GTTĐ

 Chuyên đề:
 I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ
A.KIẾN THỨC: 
 Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán :
 1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / >=0
 2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / 
 3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y /
 Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y//x/ - /y/
 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a x = 
 / x / > a 
 / x/ -a< x< a
B. LUYỆN TẬP: 
 1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :
 Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x với /x / = 0,5 
 Giải: / x / = 0,5 x = 0,5 hoặc x = - 0,5
 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75
 2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối
 Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /
 Giải : với x - 5 0 x 5 thì / x -5 / = x - 5
 với x –5 x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5
 Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x
 a/ Nếu x 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
 b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8
 3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:
 Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5
 Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
 Xét cả hai trường hợp :
 a/ 3x – 1 = 2 => x = 1
 b/ 3x - 1 = 2 => x = -
 Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?
 Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
 / A / = A A 0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :
 a/ a = 0 thì b tùy ý 
 b/ b = 2 thì a tùy ý
 c/ a > 0 thì b < 2 
 d/ a 2
Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)
 HD: Xét 4 trường hợp :
 a/ a 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra )
 b/ a 0, b 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luôn
 đúng.Vậy : a 0, b 0 thỏa mãn bài toán .
 c/ a 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a < 0 và
 b = -a thỏa mãn bài toán .
 d/ a a = -a ( không xảy ra )
 Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a 0, b 0 hoặc a 0 
 4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :
Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4 
 Với mọi x ta có / 3x – 1 / 0 => 2 / 3x – 1 / 0
 Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 - 4 
 Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3
 b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
 HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2
 c/ Tìm GTNN của C = /x-3/
 HD:Ta có x
 Bài 7: a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /
 Với mọi x ta có / x – 2 / 0 => - / 4 / x - 2 / 10
 Do đó 10- - 4 / x - 2 / 10
 Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2
 b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /
 HD: C= - /x+2/
 c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/
 HD: D = 1-/2x-3/
Bài 8: Tìm GTNN của C = với x là số nguyên 
 - Xét / x / > 3 => C > 0
 - Xét / x / / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
 Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 .
Bài 9 Tìm GTLN của d = x - / x /
 - Xét x 0 => C = x - x = 0 (1)
 - Xét x C = x – (- x ) = 2x < 0 (2)
 Từ (1) và (2) ta thấy C 0
 Vậy GTLN của C = 0 x 0
 Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : 
a/ A = 6 x với x = -2/3 (đs 20/9) b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - 3 (đs -8 )
Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x ;5x+ 3 với x < 3) 
b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với 
 ¼ x < 3và bằng -2x -5 với x 3.
Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức :
a / A = 2 / 3x – 2 / - 1 => GTNN của A = -1 x = 2/3
b/ B = 5 / 1 – 4x / - 1 => GTNN của B = -1 x = 1/4
c/ C = x + 3 / y – 2 / - 1 => GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2
d/ D = x + / x / ( xét x > 0 ;c GTNN của D = 0 x 0
Bài 13: Tìm GTLN của các biểu thức :
e/ E = 5 - / 2x - 1 / => GTLN của E = 5 x = 1/2
f/ F = => GTLN của F =1/3 x =2 
g/ G = với x là số nguyên
HD : Xét 3 TH : * x 
 * x = 1 C = 1 
 * x 
 Ta thấy G lớn nhất khi nhỏ nhất . Mà lớn nhất x nhỏ nhất
 tức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3
BÀI 14: Tìm x sao cho :
 a/ / x - 2 / < 4
 HD: Ta đã biết /x/ -a < x < a
 Nên /x-2/ -4 < x - 2 <4
 -4+2 < x < 4 + 2
 -2 < x < 6
Bài 15: Cho A = /x- Tìm khoảng gía trị nào của x thì biểu 
 thức A không phụ thuộc vào biến x ?
 HD: Ta lập bảng xét dấu :
x
 1/2 3/2
 x - 1/2
 - / + 0 +
 x -3/2 
 - 0 - / +
 Xét các trường hợp:
x A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1
1/2 => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2
X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1
 Vậy với x 3/2 thì giá trị biểu thức A không 
 phụ thuộc vào biến x
 II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC
 HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
 1/Phương pháp chung :
Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .
Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng : 
 a/ (1)
 GIẢI:
 Xét x-1 = 0 x = 1 và xét x-3 = 0 x = 3
 x-1 x x < 3
 x-1> 0 x > 1 x-3 > 0 x > 3
Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau :
 x
 1 3
 x - 1
 - 0 + / +
 x - 3
 - / - 0 +
Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6 (x-1)+(x-3) = 6
 -2x=2 0x = 4 2x = 10
 x=-1 (không có giá trị x = 5
 (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc
 khoảng đang xét) khoảng đang xét)
 Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)
 b/ 
 x
 -2 5
 x+2
 - 0 + / + 
 x-5
 - / - 0 +
* Xét khoảng x x= -2 (loại)
Xét khoảng-2 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét . Vậy -2 
Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại)
 Kết luận: -2 
c/ 
 x
 -3 4
 x+3
 - 0 + / + 
 x- 4
 - / - 0 +
*Xét khoảng x x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)
*Xét khoảng -3 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.
* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .
 Kết luận : vậy x = -3,55
Ví dụ 17: Tìm x , Biết: (2)
Tương tự:
Xét khoảng x(1-x)+*3-x)-3xx>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng đang xét)
Xét khoảng 1 thì (2)=>(x-1)+(3-x)2x>1 => Ta có các giá trị 1<x (3)
Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)x<5.
Ta có các giá trị : 3<x<5 (4) 
Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5 
2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt. Trong những dạng nầy; để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải bằng cách khác đơngiản hơn.
Dạng 1 = a ( a là hằng số dương) f(x)=
Dạng 2 = g(x) 1/g(x) & 2/f(x)=
Dạng 3 hay - = 0 f(x)= 
Dạng 4 + = 0 f(x)=0 và g(x) = 0
Dạng 5 -a< f(x)<a
Dạng 6 > a ( a là hừng số dương) a<f(x)<-a
 Cách giải từng dạng như sau :
 Dạng 1 = a ( a là hằng số dương)
 Ta lần lượt xét f(x) = a và f(x) = -a
 Mỗi lần tìm được một giá trị của x ta được một đáp số.
BÀI 18: Tìm x . Biết :
 a/ 
 HD: Ta có : 5x+4 = 19 và 5x+4 = -19
 5x = 15 5x = -23
 x = 3 x = -23/5 = -4,6
 Vậy x = 3 ; -4,6
 b/ 
 HD: .... x=-1 và x = 10.
 c/ 3 - 4 
 HD: Không có giá trị nào của x thoả mãn
 d/ 
 Hướng dẫn: - Ta có:.
 - Xét
Dạng 2 = g(x)
 Ta phải tìm x phải thoả mãn cả hai điêù kiện:
 1/ g(x) 0
 2/ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x)
Bài 19: Tìm x . 
 a/ Biết: 
 - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5 
 - Xét điều kiện thứ hai
 Vậy x = 4
b/ Biết: .
Xét điều kiện thứ nhất 5x-3 
Xét điều kiện thứ hai 
 Vậy x = 1 ; 3
c/ Biết: 
 ...
Dạng 3 hay - = 0 
 Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) 
 hoặc f(x) =-g(x)
 BÀI 20 :Tìm x .
 a/ Biết: 
 HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 Hoặc 17x-5 = -17x - 5 
 17x-17x = 5+5 17x+17x = -5+5
 0 x = 10 34x = 0
 Vô nghiệm x = 0
 Vậy x = 0
b/ Biết: / 3x+ 4 / = 2 / 2x - 9 /
 HD: .... x =22 và 2
Dạng 4. 
 Ta phải tìm x thoả mãn 2 điều kiện f(x)=0 và g(x)=0
 BÀI 21 : Tìm x .Biết : 
 a/ 
 HD: a/ cả hai số hạng đồng thời bằng 0.
 x + 13/14 = 0 x = -13/14 và x- 3/7 = 0 x=3/7.
 Vậy x = 
 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn :
 HD: b/ ....
 c/ 
 HD: c/
d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn:
 / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 0
 HD: / 2x- 
 / 2x -
 Vì: /2x-
 Nên: /2x-/+/3y+
Dạng 5. ( a là hằng số dưong)
BÀI 22: Tìm x. 
 a/ Biết 
 HD : a/ -5 < 3x - 1 < 5
 -4 < 3x < 6
 -4/3 < x < 2
b/ Biết 
 HD:b/ ... -37 -4,4 < x < 3
 c/ Biết 
 ...-19 3-8x 
 Dạng 6. f(x) > a
 f(x) < -a
BÀI 23: Tìm x .
a/ Biết; 
 HD: ...... 
b/ Tìm x . Biết 
 .......
Bài 24. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau :
 a/ 
HD: Nếu x =0 thì y = ta được 2 cặp số là (0;4)và(0;-4)
 Nếu x=1 thì y = 3 ta được 4 cặp số là ((1;3);(-1;-3);
 (1;-3);(-1;3)
 Nếu x=2 thì y = 2 ta được 4 cặp số là :...................
 Nếu x=3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là :...................
 Nếu x=4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là ....................
 Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho.
 b/ 
HD. Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho 
BÀI 25: 
a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > 0 
 HD:
 a/ Cách 1
 (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0
 -2/3 < x < 1/4
 Cách 2: Lập bảng xét dấu: 
 Giá trị x
 -2/3 1/4
dấu x+3/2
 - 0 + / +
dấu 1/4-x
 + / + 0 -
dấu của B.thức
 - -2/3 + 1/4 -
 Vậy Biểu thức > 0 nếu -2/3 < x < 1/4 
b/ Tìm x thoả mãn: 
 HD:b/
 Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2
 &&&&&&&&&