Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 2: Tam giác - Bài 6: Tam giác cân

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 6. TAM GIÁC CÂN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Tam giác cân
 ▪ Tam giác cân là tam giác cân cĩ hai cạnh bằng nhau.
2. Tính chất
 ▪ Tính chất 1: trong tam giác cân, hai gĩc ở đáy bằng nhau.
Dấu hiệu nhận biết: 
 ▪ Nếu một tam giác cĩ hai cạnh bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác cân.
 ▪ Nếu một tam giác cĩ hai gĩc bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác cân.
3. Tam giác vuơng cân
 ▪ Tam giác vuơng cân là tam giác vuơng cĩ hai cạnh gĩc vuơng bằng nhau.
4. Tam giác đều
 ▪ Tam giác đều là tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau.
 ▪ Tính chất: Trong tam giác đều, ba gĩc bằng nhau và mỗi gĩc bằng 60 .
Dấu hiệu nhận biết:
 ▪ Nếu một tam giác cĩ ba cạnh bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác đều.
 ▪ Nếu một tam giác cĩ ba gĩc bằng nhau thì tam giác đĩ là tam giác đều.
 ▪ Nếu một tam giác cân cĩ một gĩc bằng 60 thì tam giác đĩ là tam giác đều.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính số đo các gĩc của một tam giác cân khi biết trước số đo ở đỉnh hoặc một gĩc ở 
đáy.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân tại A .
a) Biết Aˆ 80 , tính các gĩc cịn lại của tam giác ABC .
b) Biết Bˆ 40 , tính các gĩc cịn lại của tam giác ABC .
Lời giải
Ta cĩ Bˆ Cˆ Aˆ 180 ; Aˆ 80 Bˆ Cˆ 100 .
 100
Mà Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ 50 .
 2 Toán 7 Tài liệu dạy học
Cĩ Bˆ 40 Bˆ Cˆ 40 mà Bˆ Cˆ 80 Aˆ 100 .
Ví dụ 2. a) Tính các gĩc ở đáy của một tam giác cân biết gĩc ở đỉnh bằng 50 .
b) Tính các gĩc ở đỉnh của một tam giác cân biết gĩc ở đáy bằng 60 .
Lời giải
 180 50
Mỗi gĩc ở đáy bằng 65 .
 2
Gĩc ở đỉnh bằng 180 60 60 60 .
Dạng 2: Nhận biết tam giác cân, tam giác đều
Ví dụ 3. Trong các hình sau, hình nào là tam giác cân, tam giác đều? Giải thích tại sao?
Lời giải
Ta cĩ VDEH cĩ DE DH VDEH cân.
Cĩ DE DH ; EF HG DF DG VDFG cân.
Ta cĩ Kˆ 180 Iˆ Jˆ 70 VIJK cân.
Cĩ MO MP PO VMPO đều.
Lại cĩ LO OM VLOM cân, MP PN VMPN cân.
Vì VMOP cân nên L·OM M· PN do dĩ ML MN VLMN cân tại M .
Ví dụ 4. Trong các hình sau, tam giác nào là tam giác cân, tam giác đều? Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
 · 
Ta cĩ VQRS cĩ QR QS và QRS 60 suy ra VQRS đều.
Suy ra VQRN VQSM QN QM VQMN cân.
Cĩ D· GF 72 D· GE 108 ; D· EF 36 .
Vì E· DF E· FD 72 suy ra VDEF cân tại G ;
 Vì D· GF D· FG 72 VDFG cân.
Ví dụ 5. Cho x·Oy 120 , điểm A thuộc tia phân giác gĩc đĩ. Kẻ AB  Ox (B Ox) , kẻ 
 AC  Oy (C Oy) . Tam giác ABC là tam giác gì? Vì sao?
Lời giải
Xét hai tam giác vuơng VABO và VACO 
cĩ A· OB A· OC (vì OA là tia phân giác gĩc x·Oy ) và 
OA cạnh chung, suy ra
 VABO VACO AB AC VABC cân tại A .
 120
Cĩ B· OA B· AO 90 ; A· OB 60
 2
 B· AO 30 .
Suy ra B· AC 60 VABC đều.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC cân tại A . Trên cạnh AB , AC lần lượt lấy các điểm K , H sao cho 
 AK AH . Gọi O là giao điểm của BH và CK . Chứng minh tam giác OBC cân.
Lời giải
Xét VABH và VACK cĩ AH AK (gt); Aˆ chung và AB AC 
(gt) suy ra VABH VACK (c.g.c). Toán 7 Tài liệu dạy học
Suy ra A· BH A· CK .
Mà A· BC A· CB O· BC O· CB VOBC cân.
Ví dụ 7. Cho tam giác ABC đều. Trên cạnh AB , BC , CA lần lượt lấy các điểm M , N , P sao 
cho AM BN CP . Chứng minh tam giác MNP đều.
Lời giải
Cĩ AB BC CA và AM BN CP nên MB NC AP .
Mặt khác Bˆ Cˆ ; BN CP ; BM CN .
Suy ra VBMN VCNP (c.g.c) suy ra MN NP (1)
Chứng minh tương tự ta cĩ VAPM VCNP (c.g.c) MP NP (2)
Từ (1) và (2) suy ra VMNP đều.
Ví dụ 8. Cho tam giác ABC vuơng tại A , Bˆ 30 . Trên cạnh BC lấy M sao cho AM BM . 
Chứng minh VAMC đều.
Lời giải
Cĩ VAMB cân, suy ra B· AM A· BM .
Mà B· AM C· AM 90 và A· BM A· CM 90 .
Suy ra A· CM C· AM VAMC cân.
Ta cĩ Cˆ 180 Aˆ Bˆ 60 .
Suy ra VAMC đều.
Dạng 3: Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh sự bằng nhau của 
hai tam giác, hai đoạn thẳng, hai gĩc.
Ví dụ 4. Câu 9. Cho tam giác ABC vuơng tại A (AB AC) . Tia phân giác gĩc A cắt BC tại 
 D . Qua D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với BC tại D , cắt AC tại E . Trên AB lấy điểm F sao 
cho AE AF . Chứng minh
a) A· BC D· EC .
b) VDBF là tam giác cân.
c) DB DE .
Lời giải Toán 7 Tài liệu dạy học
a) Ta cĩ A· BC A· CB 90 ; A· CB D· EC 90 .
Suy ra A· BC D· EC .
b) Xét VFAD và VEAD cĩ AD chung F· AD E· AD ; AF AE suy ra VFAD VEAD (c.g.c) 
 D· FA D· EA D· FB D· EC mà A· BC D· EC A· BC D· FB VDBF cân tại D .
c) Ta cĩ VFAD VEDA DE DF (1)
Tam giác DBF cân tại D DB DF (2)
Từ (1) và (2) suy ra DB DE .
Câu 10. Cho tam giác ABC , các tia phân giác gĩc B và gĩc C cắt nhau tại I . Qua I kẻ đường 
thẳng song song với BC , đường thẳng này cắt AB , AC lần lượt tại D và E . Chứng minh 
 DE BD CE .
Lời giải
Cĩ DE  BC ; D· BI I·BC ; E· CI B· CI .
Suy ra D· IB D· BI ; E· IC E· CI .
Suy ra VBDI ; VICE là các tam giác cân.
Suy ra DE DI IE ; DI BD ;
 IE EC DE BD EC .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác ABC vuơng, cân tại A . Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho 
 BD BC (D và A khác phía so với B ). Tính số đo các gĩc của tam giác ADC .
Lời giải
Cĩ A· BC A· CB 45 C· BD 135 .
 180 135
Tam giác BCD cân tại B suy ra A· DC B· CD 22,5 .
 2
Suy ra A· CD 67,5 .
Bài 2. Cho tam giác ABC vuơng tại A , BC 2AB . D là trung điểm cạnh AC . Đường thẳng 
vuơng gĩc với AC tại D cắt BC tại E . Chứng minh
a) VEAC cân. b) VABE đều. Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
a) Xét VEAD và VECD cĩ DA DC ; E· DA E· DC ; ED chung suy 
ra VEAD VECD .
Suy ra EA EC ECA cân.
 A· BE E· CA 90
 · ·  · · ·
b) Cĩ ABE EAC 90 BAE EBA (cùng phụ BAE ).
 E· CA E· AC
 BC
Suy ra VABE cân tại E EC BE EA AB VABE đều. 
 2
Bài 3. Cho tam giác ABC vuơng, cân tại A . Tia phân giác gĩc A cắt BC tại D . Trên cạnh AB , 
 AC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho AE CF . Chứng minh VABD , VADC , VAEF 
vuơng cân.
Lời giải
Tam giác AEF vuơng cân vì AE AF và Aˆ 90 .
Xét VABD và VACD cĩ Bˆ Cˆ , AD chung và B· AD C· AD suy ra 
 VABD VACD . Suy ra A· DB A· DC 90 A· BD A· CD 45 .
Suy ra VABD ; VADC vuơng cân tại D .
Bài 4. Cho x·Oy 120 , kẻ Oz là tia phân giác gĩc x·Oy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên Oz lấy 
điểm B và trên Oy lấy điểm C sao cho OA OB OC . Chứng minh
a) OA PCB ; OC P AB . b) OB  AC .
Lời giải
a) Ta cĩ C· BO A· OB A· BO C· OB 60 .
Suy ra OA PCB ; OC P AB .
b) Gọi I là giao điểm của AC và OB .
Xét VOIC và VOIA cĩ OC OA ; OI chung, 
C· OI A· OI suy ra VOIC VOIA do đĩ 
 A· IO C· IO 90 OB  AC .