Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. đường xiên và hình chiếu

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUƠNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN.
 ĐƯỜNG XIÊN VÀ HÌNH CHIẾU
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Các khái niệm: xem hình vẽ bên
 ▪ Đoạn thẳng AH được gọi là đường vuơng gĩc hay đoạn vuơng gĩc 
 kẻ từ A đến đường thẳng d.
 ▪ Đoạn thẳng AB được gọi là đường xiên kẻ từ điểm A đến đường 
 thẳng d.
 ▪ Đoạn thẳng HB được gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên 
 đường thẳng d.
2. Quan hệ giữa đường vuơng gĩc và đường xiên
 ▪ Trong các đường xiên và đường vuơng gĩc kẻ từ một điểm nằm ngồi một đường thẳng đến 
 đường thẳng đĩ, đường vuơng gĩc là đường ngắn nhất.
 AH ^ d,B Ỵ d Þ AH £ AB
3. Quan hệ giữa các đường xiên và các hình chiếu của nĩ
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngồi một đường 
thẳng đến đường thẳng đĩ thì
 ▪ Đường xiên nào cĩ hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
 AH ^ d,HC > HB Þ AC > AB
 ▪ Đường xiên nào lớn hơn thì cĩ hình chiếu lớn hơn.
 AH ^ d,AC > AB Þ HC > HB
 ▪ Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngược lại, nếu hai hình chiếu 
 bằng nhau thì hai đường xiên cũng bằng nhau.
 AB = AC Û HB = HC
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh hai hình chiếu
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC nhọn cĩ AB AC . Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Hãy so sánh 
độ dài HB và HC .
Lời giải
Dễ thấy HB , HC lần lượt là hình chiếu của AB , AC lên đường thẳng 
 BC , mà AB AC .
Do đĩ HB > HC .
Câu 2. Tam giác GHK vuơng tại H cĩ HG HK . Kẻ HI vuơng gĩc với GK tại I . Hãy so 
sánh độ dài IG và IK . Toán 7 Tài liệu dạy học
Lời giải
Dễ thấy IG , IK lần lượt là hình chiếu của HG , HK lên đường thẳng 
GK , mà HG HK .
Do đĩ IG IK .
Dạng 2: so sánh hai đường xiên
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Trên cạnh AC lấy điểm D , E sao cho AD AE .
a) So sánh độ dài BD và BE .
b) Sắp xếp các đoạn thẳng BC , BD , BE theo thứ tự cĩ độ dài giảm dần.
Lời giải
a) Vì AD < AE 
Mà AD , AE lần lượt là hình chiếu của BD , BE lên đường 
thẳng AC .
Do đĩ, BD < BE .
b) Dễ thấy AE AC . Mà AE , AC lần lượt là hình chiếu của 
 BE , BC lên đường thẳng AC . 
Do đĩ BE < BC .
Vậy BD BE BC .
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Trên tia đối của các tia BA và tia CA lấy các điểm P , 
Q .
a) So sánh CP và PQ . b) Chứng minh BC PQ .
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AC AQ .
Mà AC , AQ lần lượt là hình chiếu của PC , PQ lên đường 
thẳng AQ .
Do đĩ, PC PQ .
b) Ta cĩ AB AP . Mà AB , AP lần lượt là hình chiếu của BC , 
 PC lên đường thẳng AP .
Do đĩ BC PC .
Kết hợp ý trên, ta suy ra BC PQ . Toán 7 Tài liệu dạy học
Dạng 3: quan hệ giữa đường vuơng gĩc và đường xiên
Ví dụ 5. Cho tam giác ABC , điểm E nằm giữa B và C (AE khơng vuơng gĩc với BC ). Gọi 
 H và K là chân các đường vuơng gĩc kẻ từ B và C đến đường thẳng AE .
a) So sánh BH và BE . b) Chứng minh BC BH CK .
Lời giải
a) Dễ thấy BH là đường vuơng gĩc, BE là đường xiên kẻ từ 
điểm B đến đường thẳng AK . Do đĩ, BE BH . 
b) Ta thấy CK là đường vuơng gĩc, CE là đường xiên kẻ từ 
điểm C đến đường thẳng AK . Do đĩ CE CK .
Vậy BE EC BH CK hay BC BH CK .
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho tam giác DEF vuơng tại D . Trên tia đối của tia ED lấy điểm P , Q sao cho 
 EP EQ .
a) So sánh độ dài FP và FQ .
b) Sắp xếp các đoạn thẳng FE , FP , FQ theo thứ tự cĩ độ dài tăng dần.
Lời giải
a) Vì EP < EQ nên DP < DQ .
Mà DP , DQ lần lượt là hình chiếu của FP , FQ lên đường 
thẳng DQ .
Do đĩ FP < FQ .
b) Dễ thấy DE DP . Mà DE , DP lần lượt là hình chiếu của FE , FP lên đường thẳng DP . 
Do đĩ FE < FP .
Vậy FE FP FQ .
Bài 2. Cho tam giác MNP vuơng tại M . Trên tia đối của tia NM lấy điểm D .
a) So sánh PN và PD .
b) Lấy điểm E trên cạnh MP . Chứng minh EN < PD .
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ MN MD .
Mà MN , MD lần lượt là hình chiếu của PN , PD lên đường thẳng MD . Toán 7 Tài liệu dạy học
Do đĩ, PN PD .
b) Ta cĩ ME MP . Mà ME , MP lần lượt là hình chiếu của EN , 
 PN lên đường thẳng MP .
Do đĩ EN PN .
Kết hợp ý trên, ta suy ra EN PD .
Bài 3. Tam giác nhọn ABC cĩ Bˆ Cˆ . Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BC .
a) So sánh HB và HC .
b) Lấy điểm E trên cạnh AH . Chứng minh EB < EC .
Lời giải
a) Xét tam giác ABC cĩ Bˆ Cˆ nên AC AB . Mà HB , 
 HC lần lượt là hình chiếu của AB , AC lên đường thẳng 
 BC . Do đĩ HB HC .
b) Từ ý trên và HB , HC lần lượt là hình chiếu của EB , 
 EC lên đường thẳng BC nên ta cĩ EB EC .
Bài 4. Tam giác DEF cĩ DE DF . Qua D kẽ đường thẳng vuơng gĩc với EF và cắt EF tại 
 K .
a) So sánh KE và KF .
b) Trên tia đối của tia DK lấy điểm H . Chứng minh HE HF .
Lời giải
a) Theo giả thiết DE DF . Mà KE , KF lần lượt là hình chiếu của 
 DE , DF lên đường thẳng EF . Do đĩ KE KF .
b) Ta cĩ KE , KF lần lượt là hình chiếu của HE , HF lên đường 
thẳng EF . Mà KE KF (Chứng minh trên). Vậy HE HF .
Bài 5. Cho tam giác nhọn MNP . Vẽ MD vuơng gĩc với NP (D NP ), vẽ NE vuơng gĩc với 
 MP (E MP ).
a) So sánh MN và MD . b) Chứng minh 2MN MD NE .
Lời giải
a) Dễ thấy MD là đường vuơng gĩc, MN là đường xiên kẻ từ 
điểm M đến đường thẳng NP . Do đĩ, MN MD . 
b) Ta thấy NE là đường vuơng gĩc, MN là đường xiên kẻ từ 
điểm N đến đường thẳng MP . Do đĩ MN NE . Toán 7 Tài liệu dạy học
Vậy MN MN MD NE hay 2MN MD NE .
Bài 6. Tam giác ABC cĩ AB 3 cm, AC 5 cm. Kẻ AH vuơng gĩc với BC tại H . Hãy so 
sánh độ dài HB và HC .
Lời giải
Từ giả thiết, ta cĩ AB AC .
Mà HB , HC lần lượt là hình chiếu của AB , AC lên 
đường thẳng BC .
Do đĩ, HB HC .
Bài 7. Cho tam giác MNP vuơng tại M cĩ MN 6 cm. Trên tia MN lấy các điểm D , E sao 
cho MD 3 cm, ME 8 cm.
a) So sánh độ dài PD và PE .
b) Sắp xếp các đoạn thẳng PD , PE , PN theo thứ tự cĩ độ dài tăng dần.
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ MD ME .
Mà MD , ME lần lượt là hình chiếu của PD , PE lên đường 
thẳng ME .
Do đĩ, PD PE .
b) Ta cĩ MD MN ME . Mặt khác MD , MN , ME lần lượt 
là hình chiếu của PD , PN , PE lên đường thẳng ME .
Vậy PD PN PE .
Bài 8. Cho tam giác ABC vuơng tại A . Lấy các điếm M , N trên các cạnh AB , AC .
a) So sánh MN và MC . b) Chứng minh MN BC .
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AN AC .
Mà AN , AC lần lượt là hình chiếu của MN , MC lên đường thẳng 
 AC .
Do đĩ, MN MC .
b) Ta cĩ AM AB . Mà AM , AB lần lượt là hình chiếu của MC , 
 BC lên đường thẳng AB .
Do đĩ MC BC .
Kết hợp ý trên, ta suy ra MC BC . Toán 7 Tài liệu dạy học
Bài 9. Tam giác ABC cĩ AB AC . Vẽ AD vuơng gĩc với BC (D BC ) 
a) So sánh DB và DC .
b) Qua B kẻ đường thẳng bất kì cắt AD tại G , nối GC . Chứng minh GB GC .
Lời giải
a) Từ giả thiết, ta cĩ AB AC .
Mà DB , DC lần lượt là hình chiếu của AB , AC lên 
đường thẳng BC .
Do đĩ, DB DC .
b) Từ ý trên, DB DC . Mà DB , DC lần lượt là hình 
chiếu của GB , GC lên đường thẳng BC .
Vậy GB GC .
Bài 10. Cho tam giác ABC . Gọi H là chân đường vuơng gĩc kẻ từ A đến BC
a) So sánh HB và AB .
b) Chứng minh BC AB AC .
Lời giải
a) Dễ thấy HB là đường vuơng gĩc, AB là đường xiên kẻ 
từ điểm B đến đường thẳng AH . Do đĩ, HB AB . 
b) Ta thấy HC là đường vuơng gĩc, AC là đường xiên kẻ 
từ điểm C đến đường thẳng AH . Do đĩ HC AC .
Vậy HB HC AB AC hay BC AB AC .