Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Bài 9: Tính chất ba đường cao của tam giác

 Toán 7 Tài liệu dạy học
 Bài 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 ▪ Định lí 1. Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua 
 một điểm. Điểm đĩ gọi là trực tâm của tam giác.
 ▪ Định lí 2. Trong một tam giác cân, đường cao ứng vĩi 
 cạnh đáy đồng thịi là đường phân giác, đường trung 
 tuyến, đường trung trực của tam giác đĩ.
 ▪ Nhận xét. Trong một tam giác, nếu cĩ hai trong bốn 
 loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường 
 trung trực, đường cao) trùng nhau thì đĩ là tam giác 
 cân.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: Tính chất đường cao trong tam giác cân
 ▪ Sử dụng tính chất của đường cao vuơng gĩc đối với cạnh đối diện.
 ▪ Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.
 ▪ Sử dụng tính chất của tam giác cân.
Ví dụ 1. Cho VABC cân tại A (Aˆ ¹ 90° ), hai đường cao BD , CE cắt nhau tại H , tia AH cắt 
 BC tại M . Chứng minh rằng:
a) BD = CE ; b) MB = MC ; c) HB = HC .
Lời giải
Xét VCDB và VBEC cĩ C·DB = B·EC = 90° , D·CB = E·BC , cạnh 
 BC chung nên VCDB = VBEC (cạnh huyền, gĩc nhọn).
Suy ra BD = CE .
VABC cĩ BD,CE là đường cao cắt nhau tại H nên H là trực tâm 
suy ra AM là đường cao. 
VABC cân tại A , mà AM là đường cao nên AM là đường trung 
trực. Vậy MB = MC .
VABC cân tại A ; AM là đường trung trực của BC mà H thuộc AM nên HB = HC .
Dạng 2: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy
Chứng minh các đường đặc biệt trong tam giác thì ba đường thẳng đĩ đồng quy
 ▪ Ba đường trung tuyến.
 ▪ Ba đường trung trực.
 ▪ Ba đường phân giác. Toán 7 Tài liệu dạy học
 ▪ Ba đường cao.
 ·
Ví dụ 2. Cho gĩc nhọn xOy . Trên tia Ox lấy điểm A , trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB
. Kẻ AC ^ Oy ; BD ^ Ox . Đường thẳng vuơng gĩc với Ox kẻ từ A cắt đường thẳng vuơng gĩc 
với Oy kẻ từ B tại M . Chứng minh OM , AC , BD đồng quy.
Lời giải
Xét VAMO và VBMO cĩ
 ▪ O·AM = O·BM = 90° (giả thiết);
 ▪ OA = OB (giả thiết);
 ▪ OM là cạnh chung.
 Þ VAMO = VBMO , suy ra MA = MB . 
Ta cĩ OA = OB , MA = MB , suy ra OM là đường trung trực của đoạn thẳng AB do đĩ 
OM ^ AB . 
Xét VAOB cĩ AC , BD , OM là ba đường cao nên chúng cùng đi qua một điểm.
Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuơng tại A cĩ BD là đường phân giác. Trên cạnh BC lấy điểm E 
sao cho BE = BA . Vẽ CH vuơng gĩc với BD . Chứng minh BA , DE , CH đồng quy.
Lời giải
Xét VABD và VEBD cĩ 
 ˆ ˆ
 AB = EB ; B1 = B2 ; BD cạnh chung
 Þ VABD = VEBD (c.g.c)
 Þ B·ED = B·AD Þ B·ED = 90° . 
Xét VBDC cĩ BA , DE , CH là đường coa nên BA , DE , CH 
đồng quy.
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Cho VABC nhọn cĩ đường cao AE và BD cắt nhau tại H . Biết rằng AH = BC . Tính 
 B·AC .
Lời giải
VABC cĩ AE , BD là đường cao nên H là trực tâm.
Kẻ CH cắt AB tại F , suy ra CF ^ AB . 
Xét VAHD và VBCD cĩ
 ▪ A·DH = B·DC = 90° (giả thiết); Toán 7 Tài liệu dạy học
 ▪ AH = BC (giả thiết);
 ▪ H·AD = C·BD (cùng phụ với A·CB ).
 Þ VAHD = VBCD (g.c.g), suy ra DA = DB . 
Do đĩ VDAB vuơng cân tại D . Suy ra B·AC = 90° .
Bài 2. Cho đoạn thẳng AB cĩ điểm M nằm giữa. Kẻ từ Mx vuơng gĩc với AB . Trên Mx lấy D
, C sao cho MD = AM , MC = MB . Chứng minh BC ^ AD .
Lời giải
 ˆ ˆ
Xét VAMC và VDMB cĩ M 1 = M 2 , MA = MD , MC = MB 
nên VAMC = VDMB (c.g.c). 
Suy ra M·AC = M·DB . Mà M·DB + M·BD = 90° . 
Do đĩ M·AC + M·BD = 90° . 
Vậy BD ^ AC . 
Xét VABC cĩ CM ^ AB , BD ^ AC suy ra D là trực tâm. 
Vậy AD ^ BC . 
Cách khác: VMAD và VMBC vuơng tại M nên M·AD = M·BC = 45° .
Suy ra M·AD + M·BC = 90° , suy ra AD ^ BC .
Bài 3. [Đố] Bốn bạn cùng nhìn vào một hình tam giác và phát biểu nhưng cĩ một bạn khẳng định 
“trái ý” với ba bạn cịn lại. Đĩ là khẳng định nào?
A. Trực tâm trùng với đỉnh.
B. Tổng hai gĩc bằng gĩc cịn lại.
C. Tâm đường trịn ngoại tiếp là trung điểm một cạnh.
D. Tam giác cĩ ba gĩc nhọn.
Lời giải
Tổng hai gĩc bằng gĩc cịn lại thì tam giác đĩ vuơng. Tam giác vuơng cĩ trực tâm trùng với đỉnh và 
tâm đường trịn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền. 
Vậy khẳng định “trái ý” là khẳng định “Tam giác cĩ ba gĩc nhọn”.