Chuyên đề Hình học Lớp 7 - Chương 3, Ôn tập chương 3

 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 Bài. ÔN TẬP CHƯƠNG III
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1. Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
 ▪ Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
 ▪ Quan hệ giữa đuòng vuông góc và đưồng xiên, đưồng xiên và hình chiếu.
 ▪ Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác.
2. Các đường đồng quy của tam giác
 ▪ Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác.
 ▪ Tính chất tia phân giác của một góc. Tính chất ba đường phân giác của tam giác.
 ▪ Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng. Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
 ▪ Tính chất ba đường cao của tam giác.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1: So sánh các yếu tố trong tam giác
Vận dụng các tính chất sau:
 ▪ Trong một tam giác, góc đối diện vói cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.
 ▪ Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.
 ▪ Trong một tam giác, độ dài của một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các 
 độ dài của hai cạnh kia.
Ví dụ 1. Cho VABC có Aˆ = 60° , Bˆ = 105° . So sánh độ dài ba cạnh của VABC .
Lời giải
VABC có Aˆ = 60° , Bˆ = 105° Þ Cˆ = 15° nên Cˆ < Aˆ < Bˆ Þ AB < BC < AC . 
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có AB = 11cm, AC = 8 cm, BC = 6cm. So sánh độ lớn ba góc 
của tam giác ABC .
Lời giải
 BC < AC < AB Þ Aˆ < Bˆ < Cˆ .
Ví dụ 3. Cho năm đoạn thẳng có độ dài là 2cm, 3 cm, 5cm, 7 cm, 11cm. Hỏi có thể vẽ được bao 
nhiêu tam giác phân biệt với ba cạnh là ba trong năm đoạn đó?
Lời giải
Nếu cạnh lớn nhất là 11cm, thì độ dài hai cạnh còn lại là 5cm, 7 cm.
Nếu cạnh lớn nhất là 7 cm, thì độ dài hai cạnh còn lại là 3 cm, 5cm.
Cạnh lớn nhất không thể là 5cm (vì 2 + 3 = 5 ).
Vậy chỉ có thể vẽ được hai tam giác phân biệt với ba cạnh có số đo như trên. Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Ví dụ 4. Cho VABC cân tại A . Lấy điểm M bất kì thuộc cạnh BC (M khác B và C ). Chứng 
minh AM < AB .
Lời giải
Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có A·MB > Cˆ , mà 
 Bˆ = Cˆ Þ A·MB > Bˆ 
 Þ AB > AM .
Dạng 2: Tính số đo góc
 ▪ Sử dụng tính chất tia phân giác của một góc, tính chất đồng quy của ba đường phân giác 
 trong của tam giác, tính chất đồng quy của hai đường phân giác ngoài và một đường phân 
 giác trong của tam giác.
 ▪ Sử dụng tính chất đường cao và trực tâm của tam giác.
Ví dụ 5. Cho VABC có góc B bằng 45° , góc C bằng 120° . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D 
sao cho CD = 2BC . Tính góc A·DC .
Lời giải
Vẽ tia Bx ^ BD , tia phân giác góc A·CB cắt Bx tại E
 ˆ ˆ ˆ °
 Þ C1 = C2 = C 3 = 60 .
 ˆ ° ˆ ° ˆ °
VBCE có B = 90 ; C1 = 60 Þ E2 = 30 , EC = 2BC .
Xét VACE và VACD có: 
 ˆ ˆ
CE = CD = (2BC),C 2 = C 3, AC cạnh chung 
 Þ VACE = VACD (c.g.c)
 · ˆ
 Þ ADC = E1 (1) 
VBCE có BA , CA là đường phân giác 
 1
 Þ EA là đường phân giác góc C·Ex Þ Eˆ = C·Ex = 75° (2)
 1 2
Từ (1) và (2) suy ra A· DC = 75° .
Dạng 3: Ba đường đồng quy trong tam giác
Trong một tam giác Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 ▪ Ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm. Điểm đó gọi là “trọng tâm của tam giác”.
 ▪ Ba đường phân giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó gọi là “tâm đường tròn nội tiếp tam 
 giác”.
 ▪ Ba đường trung trực cắt nhau tại một điểm. Điểm đó gọi là “tâm đường tròn ngoại tiếp 
 tam giác”.
 ▪ Ba đường cao cắt nhau tại một điểm. Điểm đó gọi là “trực tâm của tam giác”.
Ví dụ 6. Cho tam giác ABC . Kẻ AH vuông góc với BC . Trên tia đối của tia AH lấy D sao cho 
 AH = AD . Gọi E là trung điểm của HC , F là giao điểm của AC và DE . Chứng minh
 1 1
a) AF = AC ; b) H,F và trung điểm M của DC thẳng hàng; c) HF = CD .
 3 3
Lời giải
a) Xét VHDC có DE , CA là hai đường trung tuyến cắt 
nhau tại F 
 1
 Þ F là trọng tâm, suy ra AF = AC .
 3
b) VHDC có HM là đường trung tuyến, F là trọng tâm 
 Þ H, F, M thẳng hàng.
c) VHDC có HM là đường trung tuyến, F là trọng tâm 
 2
 Þ HF = HM (1) 
 3
 1
VDHC vuông có HM là đường trung tuyến Þ HM = CD (2) 
 2
 1
Từ (1) và (2) suy ra HF = CD .
 3
Ví dụ 7. Cho VABC có I là giao điểm các đường phân giác trong AD và BE . Qua A kẻ đường 
thẳng vuông góc với BE cắt BC tại K . Chứng minh A·IC = A·KC .
Lời giải
VABC có AD , BE là các đường phân giác cắt nhau tại I
 Þ CI là đường phân giác góc C . 
 · · °
 · · BAC ACB 180 - Bˆ
Suy ra: ACI + CAI = + = .
 2 2 2
Mà: A·CI = 180° - (A·CI + C·AI ) Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 180° - Bˆ Bˆ
 Þ A·IC = 180° - = 90° + .
 2 2
 · · ˆ
Gọi giao điểm AK và BE là H . Ta có AKC = BHK + B1
 Bˆ
hay A·KC = 90° + . Vậy A·IC = A·KC .
 2
C. BÀI TẬP VẬN DỤNG
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên AB lấy K , trên AC lấy điểm M . Kết luận nào 
 sau đây là sai?
 A. MK < KC .B. MK < KA . C. MK < MB . D. MK < BC .
Câu 2: Chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó 3,9cm và 7,9cm là:
 A. 15,7cm . B. 11,8cm .
 C. 19,7cm . D. Cả ba đáp án trên đều sai.
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A , biết BC = 11cm . Đường trung tuyến AM có độ dài 
 là:
 A. 5,5cm . B. 6cm . C. 5cm . D. 6,5cm .
Câu 4: Điểm N thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB thì:
 A. NA NB .
 C. NA = NB . D. Cả ba phương án trên đều sai.
Câu 5: Cho ba tam giác cân AMN , BMN , CMN có chung đáy MN . Kết quả nào sau đây 
 đúng?
 A. AN = BN = CN . B. AM = BM = CM .
 C. Ba điểm A ,B ,C thẳng hàng. D. Ba tam giác trên bằng nhau.
Câu 6: Cho tam giác ABC , điểm E là giao điểm hai tia phân giác của hai góc ngoài tại đỉnh B 
 và C .
 A. Điểm E nằm trên tia phân giác của góc A .
 B. Điểm E nằm trên đường cao đi qua đỉnh A của tam giác.
 C. Điểm E nằm trên đường trung tuyến đi qua đỉnhA của tam giác.
 D. Điểm E nằm trên đường thẳng góc với AC .
Câu 7: Cho tam giác ABC cân tại A . Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác. Biết 
 BC = 12cm , AB = AC = 10cm thì độ dài AM là:
 A. Không xác định được. B. 22cm .
 C. 8cm . D. 4cm .
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có Cµ> 30° . Kết quả nào sau đây là đúng?
 BC BC BC
 A. AB = BC . B. AB .
 2 2 2 Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 5cm , AC = 7cm . Từ C kẻ CM vuông góc với AB , 
 BN vuông góc AC . Kết luận nào sau đây là đúng?
 A. BN + CM > 12.B. BN + CM < 12. C. BN = 5cm . D. CM = 7cm .
Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A có CM là đường phân giác của góc C , MH vuông góc 
 với BC , K là giao điểm của MH và AC . Khẳng định sai là:
 A. CM vuông góc với BK .
 B. AM = MH .
 C. CM không là đường trung trực của AH .
 D. MK = MB .
Câu 11: Cho tam giácABC cân tại A , phân giácAI . Nếu AB = 5 cm; BC = 6cm thì độ dài 
 AI là:
 A. 5cm.B. 4 cm. C. 7 cm. D. 6cm.
Câu 12: Tam giácABC vuông tại A , có BC = 2 2 , đường cao AH = 2 . Tam giác ABC là:
 A. Tam giác đều.B. Tam giác vuông cân.
 C. Tam giác vuông. D. Tam giác cân.
Câu 13: Cho tam giácABC có hai đường trung tuyến CQ và AK cắt nhau tại G . Trên tia đối 
 của tia GA vẽ điểm M sao cho GA = GM . Kết luận nào sau đây luôn đúng?
 A. BM = AG . B. BM = QG . C. BM = QC .D. BM = GC .
Câu 14: Phát biểu nào sau đây là sai:
 A. Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông.
 B. Trực tâm của tam giác nhọn nằm ở bên trong tam giác.
 C. Trực tâm của tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.
 D. Trực tâm của tam giác tù nằm bên ngoài tam giác.
Câu 15: Cho đoạn thẳngAB = 8 cm. Hai điểm M và I nằm trên trung trực của AB ; biết rằng I 
 nằm trênAB . Nếu IM = 3 cm thì độ dài đoạn MB là:
 A. 3 cm. B. 6cm.C. 5cm. D. 4 cm.
Câu 16: Phát biểu nào sau đây là sai:
 A. Trong một tam giác cân, góc ở đỉnh có thể là góc tù.
 B. Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất.
 C. Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất.
 D. Trong một tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh nhỏ nhất.
Câu 17: Tam giácABC , các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G . Biết BD < CE . Kết 
 quả so sánh G·BC và G·CB là:
 · ·
 A. G·BC ³ G·CB . B. GBC < GCB .
 C. G·BC > G·CB . D. G·BC = G·CB .
Câu 18: Cho tam giácABC vuông tại A . Trên AB lấy điểm K . Kết luận nào sau đây đúng?
 A. BC > KC > AC . B. BC > AC > KC .
 C. KC > AC > BC . D. AC > KC > BC .
Câu 19: Điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác đó là:
 A. Giao điểm của ba đường trung trực.B. Giao điểm của ba đường phân giác. Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 C. Giao điểm của ba đường trung tuyến. D. Giao điểm của ba đường cao.
 µ ·
Câu 20: Gọi H là trực tâm tam giácABC . Cho C = 60° . Số đo của AHB là:
 A. 60° . B. 80° .C. 120°. D. 150°.
Câu 21: Cho tam giác ABC cân tại A , có các đường phân giác AD;BE;CF và G là trọng tâm 
 của tam giác. Khẳng định đúng là:
 A. Ba điểm C,G,F thẳng hàng B. Cả ba đáp án trên đều sai
 C. Ba điểm A,G,D thẳng hàng D. Ba điểm B,G,E thẳng hàng
Câu 22: Cho tam giác ABC có Aµ= 90° ; Bµ= 45° tam giác ABC là:
 A. Tam giác cân B. Tam giác vuông
 C. Tam giác vuông cân D. Tam giác đều
Câu 23: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AE và BD cắt nhau tại G . Phát biểu 
 nào sau đây sai?
 2 1
 A. GB = BD B. GE = AE C. GB = GA D. GA = 2GE
 3 3
Câu 24: Cho tam giác PNK có Pµ= 60° . Tia phân giác của góc N và góc K cắt nhau tại I . Số 
 đo của góc NIK là:
 A. 90° B. 120° C. 160° D. 100°
Câu 25: Cho tam giác ABC có Aµ> 90° . Trên AB lấy điểm M , so sánh nào sau đây đúng?
 A. CM CB > CA
 C. CA > CM > CB D. CA < CM < CB
Câu 26: Cho tam giác ABC vuông tại A , CM là đường phân giác của góc C . Nếu cho 
 Bµ= 30° thì số đo của góc AMC là:
 A. 60° B. 45° C. 30° D. 75°
Câu 27: Cho tam giác ABC không vuông, H là trực tâm. Khi đó trực tâm của tam giác HAB 
 là:
 A. Điểm C B. Điểm B C. Điểm H D. Điểm A
Câu 28: Cho tam giác ABC có Aµ= 70° , Bµ= 30° . So sánh nào sau đây là đúng?
 A. AC > BC > AB B. AC > AB > BC
 C. AB > BC > AC D. AB > AC > BC
Câu 29: Đường cao xuất phát từ đỉnh của một tam giác cân có đáy 5cm, cạnh bên 6,5cm bằng:
 A. 5cm B. 6,5cm C. 5,5cmD. 6cm
Câu 30: Tam giác có trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó trùng nhau là:
 A. Tam giác vuông B. Tam giác đềuC. Tam giác cân D. Tam giác tù
Câu 31: Cho tam giác ABC có AB = 6cm . BC = 3cm, AC = 4cm. Khẳng định đúng
 A. Aµ> Bµ> Cµ.B. Cµ> Bµ> Aµ. C. Aµ> Cµ> Bµ. D. Bµ> Cµ> Aµ. Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Câu 32: Cho tam giác ABC bất kì hai đường trung tuỵến CQ và AK cắt nhau tại G . Trên tia 
 đối của tia GA vẽ điểm M sao cho GA = GM . Vẽ GN là trung tuyến của tam giác 
 BMG . Kết luận nào sau đây luôn đúng?
 A. GN = BM . B. GN = BK . C. GN = GM .D. GN = BQ .
Câu 33: Tam giác MNP có trung tuyến MR và trọng tâm Q . Khẳng định nào sai?
 SMNQ
 A. SRPQ = SRNQ . B. = 2.
 SRNQ
 SMPQ 1
 C. SQMN = SNQP = SQMP . D. = .
 SRPQ 2
Câu 34: Để chọn điểm L cách đều 3 đỉnh M ,N,P của tam giác MNP thì ta phải:
 A. Dựng hai đường trung trực của tam giác MNP , chúng cắt nhau tại 1 điểm, đó chính 
 là điểm L cần phải tìm.
 B. Dựng hai đường trung tuyến của tam giác MNP , chúng cắt nhau tai 1 điểm, đó chính 
 là điểm L cần phải tìm.
 C. Dựng hai đường phân giác của tam giác MNP chúng cắt nhau tại 1 điểm đó chính là 
 điểm L cần phải tìm.
 D. Dựng hai đường cao của tam giác MNP chúng cắt nhau tại 1 điểm, đó chính là điểm 
 L cần phải tìm.
Câu 35: Chọn câu trả lời đúng
 A. Trong một tam giác, giao điểm của ba đường phân giác thì cách đều ba cạnh của tam 
 giác đó
 B. Trong một tam giác, giao điểm của ba đường phân giác là trọng tâm của tam giác đó
 C. Trong một tam giác, giao điểm của ba đường phân giác thì cách đều ba đỉnh của tam 
 giác đó
 D. Trong một tam giác, giao điểm của ba đường phân giác luôn nằm ngoài tam giác đó
Câu 36: Cho tam giác ABC vuông tại B thì trực tâm của tam giác ABC :
 A. Trùng với điểm B . B. Là trung điểm của AC .
 C. Nằm bên trong tam giác. D. Nằm bên ngoài tam giác.
Câu 37: Cho tam giác ABC vuông tại A . Đường phân giác cảa A·BC cắt đường trung trực của 
 đọan thẳng AC ở D . Tam giác DBC là:
 A. Tam giác vuông. B. Tam giác đều. C. Tam giác nhọn. D. Tam giác cân.
Câu 38: Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác:
 A. Cách đều 3 cạnh. B. Là trực tâm.
 C. Là tâm đường tròn ngoại tiếp. D. Cách đều 3 đỉnh
Câu 39: Cho tam giác ABC vuông tại A có G là trọng tâm. O là giao điểm các đường trung trực 
 của tam giác ABC . Khẳng định nào dưới đây là đúng.
 A. AG = GO .B. AG = 2GO .
 C. Ba điểm A,G,O không thẳng hàng. D. AG = 0,5GO Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Câu 40: Cho tam giác ABC vuông tại A . Hai đường trung trực của AB,AC lần lượt cắt 
 AB,AC tại M ,N và chúng cắt nhau tại P . Khẳng định đúng là:
 1
 A. AP = AN + NP .B. AP = BC .
 2
 C. AP = AM + AN . D. AP = AM - AN .
 BẢNG ĐÁP ÁN
 1.B 2.C 3.A 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C
 11.B 12.B 13.D 14.C 15.C 16.D 17.C 18.A 19.B 20.C
 21.C 22.C 23.C 24.B 25.D 26.A 27.A 28.C 29.D 30.C
 31.B 32.D 33.D 34.A 35.A 36.A 37.A 38.C 39.B 40.B
II. PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1. Cho VABC vuông tại A (AC > AB ). Gọi I là trung điểm của BC . Vẽ đường trung trực 
của cạnh BC cắt AC tại D . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AD . Gọi F là 
giao điểm của BE và đường thẳng AI . Chứng minh
a) CD = BE ; b) B·EC = 2B·CE ;
c) VAEF cân; d) AC = BF .
Lời giải
a) D thuộc đường trung trực của cạnh BC
 Þ CD = BD .
 BA là đường trung trực của đoạn thẳng DE
 Þ BD = BE .
Suy ra CD = BE .
b) VBED cân tại (vì BE = BD ) Þ B·ED = B·DE . 
VBDC cân tại D (vì BD = CD )
 Þ B·DE = 2B·CD (tính chất góc ngoài)
 Þ B·EC = 2B·CE .
c) VABC vuông tại A có AI là đường trung tuyến 
 Þ AI = IC Þ VAIC cân 
 ˆ ˆ ˆ ˆ
 Þ C1 = A1 Þ C1 = A2 . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
 · · · ˆ
Mà BEC = 2BCE Þ BEC = 2A2 .
 · ˆ ˆ
Mặt khác BEC = A2 + F1 (tính chất góc ngoài) 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 Þ 2A2 = A2 + F1 Þ A2 = F1 Þ VAEF cân tại F .
d) Ta có BF = BE + EF ,
 AC = CD + AD .
Mà BE = CD ; EF = AD(= AE) Þ BF = AC .
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H . Gọi M , N là 
trung điểm của AH và BC . Chứng minh
a) MN là đường trung trực của DE ; b) M·DN = 90° .
Lời giải
a) Áp dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có:
 æ ö
 ç 1 ÷
 ▪ MD = ME ç= AH ÷Þ M thuộc đường trung trực của DE.
 èç 2 ø÷
 æ ö
 ç 1 ÷
 ▪ ND = NE ç= BC ÷Þ N thuộc đường trung 
 èç 2 ø÷
 trực của DE.
Vậy MN là đường trung trực của DE .
b) I là giao điểm của AH và BC Þ AI ^ BC .
 ˆ ˆ
Ta có MD = MA Þ VMAD cân tại M Þ D1 = A1 . 
 ˆ ˆ
 NC = ND Þ VNCD cân tại N Þ C = D2 .
 ˆ ˆ °
Mặt khác A1 + C = 90 (do VAIC vuông) 
 ˆ ˆ ° · °
 Þ D1 + D2 = 90 Þ MDN = 90 .
Bài 3. Cho VABC có tia phân giác của Bˆ và Cˆ cắt nhau tại I . 
Biết IB < IC . Chứng minh AB < AC .
Lời giải
 ˆ ˆ
VIBC có IB < IC Þ C1 < B1 .
 · ˆ · ˆ · ·
 ABC = 2B1 ; ACB = 2C1 Þ ACB < ABC Þ AB < AC . Toaùn 7 Taøi lieäu daïy hoïc
Bài 4. Cho VABC có AB < AC . Gọi AD là tia phân giác của góc A (D thuộc BC ). Chứng 
minh rằng
a) A·DB < A·DC ; b) DB < DC .
Lời giải
a) Trên cạnh AB lấy E sao cho 
 ˆ ˆ
 AE = AB Þ VABD = VAED (c.g.c) Þ D1 = D2 . 
 ˆ · · ·
Mà D2 < ADC Þ ADB < ADC .
b) Theo tính chất góc ngoài của tam giác ta có 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
 E1 > D2 Þ E1 > D1 và D1 > C Þ E1 > C Þ DC > DE mà 
 DE = DB Þ DC > DB .
Bài 5. Cho VABC có Aˆ = 90° và BD là đường phân giác. Trên BC lấy điểm E sao cho 
 BE = BA . 
a) Chứng minh AD = DE và BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE ;
b) Kẻ AH vuông góc với BC . Chứng minh: AE là tia phân giác của góc H·AC ;
c) Chứng minh AD < CD ;
d) Gọi tia Cx là tia đối của tia CB . Tia phân giác của góc A·Cx cắt đường thẳng BD tại K . Tính 
số đo góc BAK .
Lời giải
a) VABD = VEBD (c.g.c) 
 Þ AD = DE 
 Þ D thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AE . 
Suy ra BD là đường trung trực của đoạn thẳng AE .
b) VABD = VEBD Þ B·ED = 90° . 
 ˆ ˆ
 AH PDE(^ BC) Þ A1 = E1 
 ˆ ˆ
 Þ A1 = A2 Þ tia AE là phân giác của góc HAC .
c) VDEC vuông tại C Þ DE < DC , do đó AD < DC .