Chuyên đề Phương pháp diện tích trong chứng minh hình học

CHUYÊN ĐỀ :
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I-MỤC TIÊU:
-Cung gấp cho HS phương pháp sử dụng công thức diện tích các hình(tam giác ,tứ giác ,đa giác ) để chứng minh các quan hệ về các độ dài các đoạn thẳng 
-Rèn luyện cho HS kỉ năng biểu thị độ dài đoạn thẳng ,tỉ số độ dài các đoạn thẳng,tích các độ dài các đoạn thẳng theo đoạn thẳng để giải quyết yêu cầu của từng bài toán .
-Rèn luyện cho HS về phương pháp vẽ thêm đường phụ ,chọn phương án giải quyết phù hợp với đề bài ,rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo trong giải toán 
II-THỜI LƯỢNG: 8 tiết
III-PHẦN THƯC HIỆN:
Hoạt động 1: Tiết 1
B
A
E
D
C
I-CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ TA LET VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH :
Ví dụ:
Chứng minh định lý Ta –Let :
Cho tam giác ABC ,nếu DE //BC thì :
Có thể chứng minh định lý trên bằng cách sử dụng công thức diện tích 
của tam giác . 
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Hình 1
Nếu hai tam giác có chung đường cao thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác.
Chứng minh:
Gọi S1và S2 lần lượt là diện tích của hai tam giác có chiều cao h và có độ dài hai cạnh đáy tương ứng là a1,a2 
Ta có: Nên 
Bây giờ ta chứng minh định lý ta let: Các tam gáic AED và ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề trên ta có 
C
A
E
D
B
Các tam gáic AED và ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề trên ta có :
Ta lại có SBEC = SBDC (Chung đáy BC,các đường cao tương ứng bằng nhau) nên ;
SABC –SBEC = SABC - SBDC 
 Hình 2
=.> SADE = SACD (3)
B
A
C
D
Hình 3
Từ (1);(2) và (3) suy ra (đpcm)
Hoạt động 2:
Ví dụ 2: Cho rABC có AD là phân giác BAC chứng minh :
Chứng minh:Các tam giác ABD và ADC có chung đường cao kẽ từ A đến BC nên theo bổ đề trên ta có (1)
B
A
C
D
H
K
Hình 4
Kẽ DH AB và DK AC thì DH = DK ta có 
SADB = 
SADC = 
Nên (2)
Từ (1) và (2) => 
Tiết 2:
Hoạt động 3:
Ví du3:
A
H
M
I
K
C
B
Hình 5
	Cho tam gáic ABC cân tại A Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đáy BC .Gọi MH , MK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ M đến AB , AC .Gọi BI là đường cao của tam giác ABC .Chứng minh rằng :MH+MK = BI
Cách giải không dùng diện tích (tự giải)
Cách giải dùng diện tích:
Đặt AB = a .Ta có MH = 
MK = 
Do đó : MH +MK = 
Ghi nhớ :
	Đường cao h của tam giác có diện tích S được biểu thị bằng :h = (với a là cạnh đáy tương ứng)
Cách giải trên ta còn diễn đạt khác :
Ta có :SAMB + SAMC = SABC
=> => 
=> 
Hoạt động 4: Đọc tiếp mục III và trả lời các câu hỏi nêu trong mục III
III-PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH 
Các công thức diện tích cho ta quan hệ về độ dài của các đoạn thẳng .Do đó để chứng minh về các quan hệ về các độ dài của các đoạn thẳng ,ta có thể sử dụng công thức diện tích của các hình .Đó là nội dung của phương pháp trong chứng minh.
Hãy xem lại các công thức về diện tích tam giác và diện tích của tứ giác trong chương II.
Ta thường gặp các bổ đề sau:
Bổ đề 1:Nếu hai tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tỉ số hai cạnh đáy tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác.
Bổ đề 2: hai tam giác có hai cạnh đáy bằng nhau thì tỉ số hai cạnh đường cao tương ứng bằng tỉ số diện tích của hai tam giác 
 ?1 -Điền vào chỗ tróng trong các câu sau:
a)Tam giác có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương ứng h thì S = a= h=.
b)Hình chữ nhật có diện tích S, các kích thước a và b thì :S = a= b = 
c)Hình bình hành có diện tích S ,cạnh đáy a ,đường cao tương úng h thì :
S= a=  h = 
d) Hình thang có diện tích S ,các cạnh đáy a ,b ,chiều cao h thì : S =  a = b= h = 
e) Hình thoi có các đường chéo m, n thì S =
f) Hình vuông có diện tích S .cạnh a thì : S =  a =
Tiết 3,4,5,6,7 
 LUYỆN TẬP
Bài 1:Chứng minh rằng tổng các khoảng cách ừ một điểm M bất kỳ trong tam giác đều ABC đến 3 cạnh của tam giác bằng chiều cao của tam giác đó .
Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A điểm M thuộc tia đối của tia BC .Chứng minh rằng hiệu các khoảng cách từ M đến các đường thẳng AC và AB bằng đường cao úng với cạnh bên của tam giác ABC 
Bài 3:Cho tam giác ABC (AC > AB ),đường cao BI .Gọi D là điểm nằm giữa B và c .Gọi BH và CK theo thứ tự là các đường vuông góc kẽ từ B và C đường thẳng AD .Chứng minh rằng:
a)AD < AC
b)BH + CK > BI
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD .Các điểm M,N theo thứ tự thuộc các cạnh AB ,BC sao cho AN = CM .Gọi K là giao điểm của AN và CM .Chứng minh rằng KD là tia phân giác của AKC
Bài 5:Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC .các tia AO ,BO,CO cắt các cạnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở A’B’C’ .Chứng minh rằng :
Bài 6: Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC .các tia AO ,BO,CO cắt các cạnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở A’,B’,C’ .Chứng minh rằng:
Bài 7:Cho tam giác ABC có các đường cao AA’,BB’,CC’ cắt nhau tại H .Cho biết ,Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều
Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD) ,các đường chéo cắt nhau tại O .Qua O vẽ một đường thẳng // hai đáy , cắt các cạnh bên AD và BC theo thứ tự tại E và F .Chứng minh rằng OE = OF 
Bài 9: Cho hình thang ABCD (AB //CD,AB < CD).các đương thẳng AB và CD cắt nhau tại O .Gọi F là trung điểm của CD ,E là giao điểm của OF và AB 
Hãy chứng minh AE = EB
Từ kết quả trên có nhận xét gì về các trung điểm của hai đáy và giao điểm cảu các đường thẳng chứa hai cạnh bên của hình thang.
Bài 10:Cho tam giác ABC vuông tại A ,các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I kẽ IK vuông góc với BC .Chứng minh rằng :
KB.KC = AB.AC
Bài 11: Gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC .các tia AO ,BO,CO cắt các cạnh BC,AC ,AB theo thứ tự ở M,N,P.Chứng minh rằng :
a) Tổng Tkhông phụ thuộc vào vị trí của điểm O.
b)Chứng minh rằng trong ba tỉ số :
 Có ít nhất một tỉ số không nhỏ hơn 2 và có ít nhất một tỉ số không lớn hơn 2
B
M
C
H
K
A
HD:Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC .h là độ dài đường cao .Ta có :
SMBC +SMAC +SMAB =SABC  MD+ME+MF = h