Chuyên đề Số nguyên, phép chia hết, số nguyên tố

SỐ NGUYÊN, PHÉP CHIA HẾT
1. Định nghĩa.
Tập các số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của chúng và được ký hiệu là Z.
Số nguyên lớn hơn 0 gọi số nguyên dương. 
Số nguyên nhỏ hơn 0 gọi là số nguyên âm.
2. Tính chất.
2.1. Không có số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất. Số nguyên dương nhỏ nhất là 1.
2.2. Một tập con hữu hạn bất kỳ của Z luôn có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất.
2.3. Không có số nguyên nào nằm giữa hai số nguyên liên tiếp
2.4. Nguyên lý qui nạp: 
Cho A là tập hợp con của Z. Nếu k Î A và n Î A Þ n + 1 Î A , "n ≥ k thì mọi số nguyên lớn hơn hay bằng k đều thuộc A.
2.5. Nếu a, b Î Z , a < b thì a + 1 £ b
2.6.
3. Phép chia hết.
3.1. Định nghĩa.
Cho a, b là hai số nguyên bất kỳ, b khác 0. Nếu tồn tại số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b hay a là bội của b (a b) hay b là ước của a (b|a)
3.2. Định lý. (thuật toán chia) 
Cho a, b là hai số nguyên bất kỳ, b khác 0. Khi đó, tồn tại duy nhất các số nguyên q, r sao cho a = bq + r với 0 £ r < |b|.
3.3. Các tính chất của phép chia hết.
3.3.1. Nếu a b thì am b với mọi số nguyên m.
3.3.2. Nếu a b và b c thì a c
3.3.3. Nếu a c và b c thì ax + by c "x,y Î Z ( ax + by được gọi là tổ hợp tuyến tính của a,b)
3.3.4. Nếu a b thì |a| ≥ |b|
3.3.5. Nếu a b và b a thì |a| = |b|
3.3.6. a b Û am bm, "mÎ Z*
BÀI TẬP
1. Cho a, b, n là các số nguyên, n > 0, a ¹ b. Chứng minh 
a/ an – bn (a – b) 
b/ (an + bn) (a + b) với n lẻ
c/ (an – bn) ( a + b) với n chẵn
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n
a/ 33n + 3 – 26n – 27 169
b/ n2 – 3n + 5 không chia hết cho 121
3. 
a/ Cho f(x) là một đa thức tùy ý với hệ số nguyên. Chứng minh rằng f(a) – f(b) (a – b) với mọi số nguyên a, b.
b/ Chứng minh không tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thỏa p(3) = 10, p(7) = 24
4. Chứng minh rằng với k nguyên, a lẻ.
5. Chứng minh rằng (n + 1)(n + 2) (2n) 2n với mọi số nguyên dương n
6. Chứng minh rằng tồn tại vô số nguyên dương n thỏa mãn 2n + 1 n.
7. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thỏa x2 + y2 = z2. Chứng minh xyz 60
8. Cho x,y,z là các số nguyên thỏa (x – y)(y – z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.
9. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 - ab 7 thì 8a3 – 6b3 7
10. Chứng minh rằng nếu 2 + a và 35 – b chia hết cho 11 thì a + b chia hết 11.
ƯỚC SỐ CHUNG LỚN NHẤT, BỘI SỐ CHUNG NHỎ NHẤT
1.Ước chung lớn nhất.
1.1. Định nghĩa.
Số nguyên dương d được gọi là ước chung lớn nhất của các số nguyên a1, a2, , an nếu d là ước chung của a1, a2, , an và nếu e là một ước chung khác của chúng thì e là ước của d.
Ký hiệu: d = UCLN(a1,a2,,an) hay d = (a1,a2,,an)
Ví dụ : (-20, 30, 50) = 10, (15, 20, 18) = 1
Các số nguyên a1, a2, , an gọi là nguyên tố cùng nhau nếu (a1,a2,,an) = 1
Các số nguyên a1,a2,,an gọi là nguyên tố sánh đôi nếu hai số bất kỳ trong chúng nguyên tố cùng nhau.
Chú ý:  Các số nguyên tố sánh đôi thì nguyên tố cùng nhau nhưng ngược lại không đúng.
1.2. Thuật toán Euclid.
1.2.1. Bổ đề. Nếu a = bq + r thì (a,b) = (b,r)
Chứng minh:
Ta có (a,b) |a và (a,b)| b Þ (a,b)| r Þ (a,b)|(b,r) (1)
Mặt khác (b,r)|b và (b,r)|r Þ (b,r)|a Þ (b,r)|(a,b) (2)
Từ (1) và (2) Þ (a,b) = (b,r)
1.2.2. Thuật toán. Tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên a và b.
Đầu tiên ta chia a cho b được dư r1 (0 £ r1 <|b|), chia b cho r1 được dư r2 (0 £ r2 <r1), cứ tiếp tục như thế ta được dãy |b|, r1, r2,  giảm dần về 0. Giả sử rn+1 = 0. 
Thuật toán sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước.
a = bq + r1 (0 £ r 1 < |b|)
b = r1q1 + r2 (0 £ r2 < r1)
r1 = r2q2 + r3 (0 £ r3 < r2)
.
rn-2 = rn-1qn-1 + rn (0 £ rn < rn-1)
rn-1 = rnqn
Theo định lý trên ta có (a,b) = (b,r1) = (r1,r2) ==(rn-1,rn) = rn.
Ví dụ: Tìm ước chung lớn nhất của hai số a = 555 và b = 407
555 = 407.1 + 148
407 = 148.2 + 111
148 = 111.1 + 37
111 = 37. 3
Vậy (555,407) = 37
1.3. Tính chất.
1.3.1. (a,b) = (b,a)
1.3.2. d = (a,b) Û 
1.3.3. k(a,b) = (ka,kb)
1.3.4. Nếu (a,b) = 1 và b|ac thì b|c
1.3.5. Nếu (a,b) = 1 và (a,c) = 1 thì (a,bc) = 1
1.3.6. (a,b,c) = ((a,b),c) = (a,(b,c))
1.3.7. (a,b) = (a, b + ka), "k
1.4. Định lý. 
Cho a, b là các số nguyên, d là ước số chung lớn nhất của a và b. Khi đó tồn tại các số nguyên x’, y’ sao cho d = ax’ + by’
Chứng minh
Đặt A = {ax + by /x,y ÎZ} . Gọi l là số dương nhỏ nhất của A.
Do l > 0 nên tồn tại q, r sao cho a = lq + r ( 0 £ r < l)
Giả sử r > 0. Khi đó r = a – lq = a – (ax’ + by’)q = a(1 – x’q) + b( – y’q) Î A mâu thuẩn với l là số dương nhỏ nhất trong A.
Þ r = 0 hay a l 
Tương tự ta cũng có b l 
Þ d l ( do d = (a,b))
Mặt khác l = ax’ + by’ Þ l d . Từ đây suy ra l = d.
1.5. Hệ quả. 
1.5.1. a, b là hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại hai số nguyên m, n sao cho am + bn = 1
1.5.2. d là ước chung lớn nhất của a và b khi và chỉ khi d là tổ hợp tuyến tính dương nhỏ nhất của a và b.
1.5.3. Nếu d = (a1,a2,,an) thì tồn tại các số x1,x2,..,xn sao cho d = a1x1 + a2x2 +  + anxn
2. Bội chung nhỏ nhất.
2.1. Định nghĩa. 
Số nguyên dương b được gọi là bội chung nhỏ nhất của n số nguyên a1,a2,,an khác 0 nếu m là bội chung của a1,a2,,an và nếu e là một bội chung khác của chúng thì e là bội của b.
Ký hiệu b = [a1,a2,,an]
Ví dụ: [7, -14, 4] = 28 
2.2.Tính chất 
2.2.1. k[a,b] = [ka,kb]
2.2.2. [a,b,c] = [[a,b],c]
2.2.3 [a,b].(a,b) = ab
Chứng minh tính chất 2.2.3.
Đặt d = (a,b) Þ a = a1d, b = b1d với (a1,b1) = 1 
Ta có [a1,b1] a1 Þ [a1,b1] = m.a1 
b1|[a1,b1] = ma1 Þ b1|m Do (a1,b1) = 1 Þ [a1,b1] a1b1 
mà a1b1 [a1,b1] nên [a1,b1] = a1b1
[a,b].(a,b) = [a1d, b1d] d = [a1,b1]d2 = a1b1d2 = ab
2.2.4. Hệ quả 
2.2.4.1. a b, a c Þ a [b,c]
2.2.4.2. a b, a c, (b,c) = 1 Þ a bc 
BÀI TẬP
1. Chứng minh phân số tối giản
2. Chứng minh phân số không là số nguyên
3. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n sao cho 2010n – 1 chia hết cho 1010n – 1 
4.Cho M là một số nguyên dương và tập hợp . Chứng minh rằng tất cả các tích có dạng ab với a, b Î S đều phân biệt.
5. Chứng minh rằng một số có số lẻ ước số khác nhau khi chỉ khi nó là bình phương đúng.
6. Chứng minh rằng nếu (a,b) = 1 thì (a + b,a2 + b2) là 1 hoặc 2.
7. Giả sử m, n là 2 số tự nhiên thỏa (m,n) + [m,n] = m + n. Chứng minh rằng (m,n) bằng m hoặc n.
8. Tìm (2n + 1,9n + 4), (2n – 1 , 9n + 4), (36n + 3, 90n + 6)
9. Tìm x, y nguyên dương thỏa x + y = 150, (x,y) = 30
10. Tìm x, y nguyên dương thỏa (x,y) = 5!, [x,y] = 50! và x £ y.
SỐ NGUYÊN TỐ
1. Định nghĩa. 
Số nguyên p > 1 được gọi là số nguyên tố nếu p chỉ có hai ước dương là 1 và chính nó.
Số nguyên lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọi là hợp số.
Từ định nghĩa dễ thấy rằng nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên bất kỳ thì hoặc a p hoặc (a,p) = 1
2. Định lý.
Cho hai số nguyên a, b và số nguyên tố p. Khi đó nếu p|ab thì p|a hoặc p|b.
Chứng minh.
Nếu p a thì (a,p) = 1 suy ra p|b.
3.Định lý. 
Mọi hợp số phải có ước nguyên tố nhỏ hơn hay bằng căn bậc hai của nó.
Chứng minh.
Giả sử n = a. b (1 < a, b < n )
Nếu cả a và b đều lớn hơn thì n = ab > n (vô lý) như vậy phải có một thừa số không vượt quá hay có ước nguyên tố không vượt quá .
3.1.Hệ quả. 
Nếu số nguyên n > 1 không có ước nguyên tố nào nhỏ hơn hay bằng thì n là số nguyên tố. 
Ví dụ: 211 là số nguyên tố vì tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn là 2,3,5,7,11,13 đều không là ước của 211. 
4. Định lý cơ bản của số học.
Mọi số nguyên n > 1 đều biểu diễn được dưới dạng tích của các số nguyên tố. Phân tích này là duy nhất nếu không tính thứ tự của các thừa số.
Chứng minh.
Ta chứng minh tồn tại biểu diễn bằng qui nạp.
Với n = 2, n =3, n = 4 = 2.2, n = 5, n =6 = 2.3 đều biểu diễn dưới dạng tích các số nguyên tố. Giả sử khẳng định đúng đến n – 1, tức mọi số nguyên không vượt quá n – 1 đều biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố. 
Xét số nguyên n. Nếu n nguyên tố ta có ngay điều chứng minh. Nếu n là hợp số thì n = n1.n2 (1 < n1, n2 < n), từ giả thiết qui nạp ta có n1, n2 đều biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố, như vậy n cũng biểu diễn được dưới dạng tích các số nguyên tố.
Ta chứng minh cách biểu diễn trên là duy nhất.
Giả sử n có hai cách biểu diễn khác nhau
n = p1p2pr = q1q2qs (các số nguyên tố pi khác các số nguyên tố qj ). 
Khi đó p1| q1q2qs Þ p1| qj Þ p1 = qj (mâu thuẩn)
Như vậy mọi số nguyên n > 1 đều có biểu diễn n = trong đó pi (i =1,2,k) là những số nguyên tố đôi một khác nhau. Ta nói n có dạng phân tích chính tắc.
4.1. Hệ quả. 
4.1.1. Nếu n có dạng phân tích chính tắc thì số tất cả các ước số dương của n là 
4.1.2. Nếu ,, thì 
m n Û 
(m,n) =
[m,n] =
5. Định lý Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh.
Giả sử chỉ có n số nguyên tố p1, p2, , pn. Xét số N = 1 + p1p2pn.
N > 1 nên tồn tại một số nguyên tố p là ước của N. Rõ ràng p khác với p1, p2,.., pn (vô lý).
Vậy có vô hạn số nguyên tố.
6. Hệ thống ghi số
6.1. Định lý.
Cho số nguyên dương d > 1. Khi đó mọi số tự nhiên N đều có thể biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng N = d0 + d1b + d2b2 + . + dnbn (1) , trong đó các số nguyên dương di thỏa mãn 0 £ di £ b – 1
Chứng minh.
Ta Chứng minhbằng qui nạp theo N.
Với N = 1, ta có biểu diễn duy nhất 1 = 1
Giả sử biểu diễn nói trên có được và duy nhất cho mọi số 1, 2, , N – 1 
Xét số N. Gọi d0 là số sao cho N – d0 b. 
Đặt N1 = (N – d0)/b. Vì N1 < N , theo gt qui nạp N1 được biểu diễn duy nhất dưới dạng N1 = 
Như vậy N = d0 + d1b + d2b2 +  + dnbn
Nếu có một cách biểu diễn khác như thế cho N tức là N = d0 + d1b + d2b2 +  + dnbn
 = a0 + a1b + a2b2 +  + anbn.
Khi đó d0 = a0 = r ( là số dư khi chia N cho b) 
Þ N1 = 
và theo tính chất duy nhất trong giả thiết qui nạp, ta có điều phải chứng minh.
6.2. Định nghĩa.
Giả sử g là số tự nhiên lớn hớn 1 và M = {0,1,2,, g – 1} là tập hợp gồn g ký hiệu các số tự nhiên đầu tiên. Ta nói số tự nhiên s được viết trong hệ g- phân ( hoặc hệ thống ghi cơ số g) nếu trong s = angn + an-1gn-1 + . + a1g + a0 trong đó n là một số nguyên dương và ai Î M, an ¹ 0.
Ký hiệu : s = (g) có thể bỏ (g) nếu không nhầm lẫn.
6.3. Hệ nhị phân.
Hệ thống ghi số này sử dụng hai chữ số 0, 1.
Một số tự nhiên k trong hệ nhị phân được viết k = với ai , i = 0,1,2,..,n là một trong các chữ số 0,1 và an ¹ 0 có nghĩa là k = an2n + an-12n-1 + + a1.2 + a0
6.3.1. Định lý.
Cho số tự nhiên N. Gọi n là số các chữ số (0,1) của N khi viết trong hệ nhị phân, ta có n = [log2N] + 1
Chứng minh.
Ta có N = 2n – 1 + an-22n -2 +  + a12 + a0 , ai Î{0,1} Þ 2n > N ≥ 2 n -1 
Þ n > log2N ≥ n – 1 hay [log2N] = n – 1 suy ra dpcm. 
7. Phần nguyên
7.1. Định nghĩa.
Phần nguyên, ký hiệu [x], của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.
Phần phân của x , ký hiệu {x}, là x – [x].
7.2. Tính chất.
7.2.1. x = [x] + {x}
7.2.2. x = [x] Û x Î Z
7.2.3. x = {x} Û 0 £ x < 1
7.2.4. x – 1 < [x] £ x
7.2.5. Nếu k Î Z thì [x + k] = [x] + k, {x + k} = {x} + k
7.2.6. [x + y] – [x] – [y] bằng 0 hoặc 1
7.2.7. [x + y] ≥ [x] + [y] , {x + y} £ {x} + {y}
7.3. Định lý.
* Nếu a là số thực dương và n Î N thì là số tất cả các số nguyên dương là bội của n nhưng không vượt qua a.
* Nếu a, b là hai số không âm thì [2a] + [2b] ≥ [a] + [b] + [a + b]
8. Định lý.
Trong sự phân tích số n! ra thừa số nguyên tố n! = 
thì số mũ ai của pi nào đó sẽ là 
Chứng minh.
Tổng trên là hữu hạn vì khi k đủ lớn thì n < pik khi đó 
Giả sử p là một ước của n!.
Ta có n! = 1.2p.(p+1)2p3p.n = với m = và (p,q) =1
Tương tự với (p,q’) = 1
Suy ra với (p,qq’) = 1
Cứ tiếp tục như thế ta thu được số mũ của p : 
Ví dụ. Số mũ của 5 trong phân tích 100! ra thừa số nguyên tố là
 Từ đó 100! Có tận cùng 24 chữ số 0.
BÀI TẬP
1. Tìm tất cả các số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n luôn tồn tại n số tự nhiên liên tiếp không là số nguyên tố.
3. Chứng minh rằng không tồn tại n để 6n + 5 biểu diễn dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố
4. Tìm tất cả các số tự nhiên n lẻ để n, n + 10, n + 14 là số nguyên tố.
5. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho 2p2 + 1 là số nguyên tố.
6. Cho a, b, c là các số nguyên khác 0, a ¹ c thỏa mãn . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 không thể là số nguyên tố.
7. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho p2 + 11 có đúng 6 ước số nguyên dương.
Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho hệ phương trình p + 1 = 2x2, p2 + 1 = 2y2 có nghiệm nguyên.
8. Chứng minh rằng nếu p và 8p2 + 1 lẻ là số nguyên tố thì 8p2 + 2p + 1 là số nguyên tố.
9. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n + 1, n + 3, n + 7, n + 9, n + 13 và n + 15 đều là số nguyên tố
10. Cho 4 số tự nhiên thỏa tính chất : Bình phương của tổng hai số bất kỳ chia hết cho tích hai số còn lại. Chứng minh rằng có ít nhất ba trong bốn số đó phải bằng nhau.