Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán 7

 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II MÔN TOÁN 7
A-PHAÀN ÑAÏI SOÁ
I-PHẦN THỐNG KÊ
Bảng thống kê số liệu 
-Khi quan tâm đến một vấn đề , người ta quan sát , đo đạc, ghi chép lại các số liệu về đối tượng quan tâm để lập nên các bảng số liệu thống kê
 2. Dấu hiệu , đơn vị điều tra 
 - Vấn đề mà người điều tra nghiên cứu , quan tâm được gọi là dấu hiệu điều tra 
 - Mỗi đơn vị được quan sát đo đạc là một đơn vị điều tra .
 - Mỗi đơn vị điều tra cho tương ứng một số liệu là một giá trị của dấu hiệu 
 - Tập hợp các đơn vị điều tra cho tương ứng một dãy giá trị của dấu hiệu .
 3. Tần số của mỗi giá trị , bảng tần số 
 - Số lần xuất hiện của giá trị trong dãy giá trị của dấu hiệu là tần số của giá trị đó .
 -Bảng kê các giá trị khác nhau của dãy và các tần số tương ứng là bảng tần số 
 4. Số trung bình cộng , mốt của dấu hiệu
 - Là giá trị trung bình của dấu hiệu 
 - Mốt của dấu hiệu là giá trị có tần số lớn nhất trong bảng tần số 
1-Lý thuyết
2/ Baøi taäp:
Bài 1: Tổng số điểm 4 môn thi của các học sinh trong một phòng thi được cho trong bảng dưới đây.
32
30
22
30
30
22
31
35
35
19
28
22
30
39
32
30
30
30
31
28
35
30
22
28
a/ Dấu hiệu ở đây là gì? Số tất cả các giá trị là bao nhiêu? , số GT khác nhau của dấu hiệu ?
	b/ Lập bảng tần số , rút ra nhận xét 
 c/ Tính trung bình cộng của dấu hiệu , và tìm mốt 
Bài 2: Lớp 7A góp tiền ủng hộ đồng bào bị thiên tai. Số tiền góp của mỗi bạn được thống kê trong bảng ( đơn vị là nghìn đồng)
1
2
1
4
2
5
2
3
4
1
5
2
3
5
2
2
4
1
3
3
2
4
2
3
4
2
3
10
5
3
2
1
5
3
2
2
a/ Dấu hiệu ở đây là gì?
b/ Lập bảng “tần số” , tính trung bình cộng 
Bài 3: Số bàn thắng trong mỗi trận đấu ở vòng đấu bảng vòng chung kết World Cup 2002 được ghi trong bảng 
1
2
3
8
2
4
1
4
1
3
2
2
4
2
2
5
2
2
1
2
3
4
1
1
3
4
3
2
1
2
2
4
0
6
2
3
2
0
5
4
7
3
2
1
2
5
1
4
	a/ Dấu hiệu ở đây là gì? Có bao nhiêu trận đấu ở vòng đầu bảng.
	b/ lập bảng “tần số” và rút ra một vài nhận xét về vòng đấu bảng
Bài 4 : Thời gian làm bài tập của các hs lớp 7 tính bằng phút đươc thống kê bởi bảng sau:
4	5	6	7	6	7	6	4
6	7	6	8	5	6	9	10	
5	7	8	8	9	7	8	8	
8	10	9	11	8	9	8	9
4	6	7	7	7	8	5	8	
Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị là bao nhiêu?
Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?Tính số trung bình cộng? 
Vẽ biểu đồ đoạn thẳng?
Bài 5: Số cơn bão hàng năm đổ bộ vào lãnh thổ Việt Nam trong 20 năm cuối cùng của thế kỷ XX được ghi lại trong bảng sau:
3
3
6
6
3
5
4
3
9
8
2
4
3
4
3
4
3
5
2
2
	a/ Dấu hiệu ở đây là gì?
	b/ Lập bảng “tần số” và tính xem trong vòng 20 năm, mỗi năm trung bình có bao nhiêu cơn bão đổ bộ vào nước ta ? Tìm mốt
	c/ Biểu diễn bằng biểu đồ đoạn thẳng bảng tần số nói trên.
Bài 6: Chiều cao của 40 học sinh lớp 7C được ghi trong bảng (đơn vị đo : cm)
140
143
135
152
136
144
146
133
142
144
145
136
144
139
141
135
149
152
154
136
131
152
134
148
143
136
144
139
155
134
137
144
142
152
135
147
139
133
136
144
Ta nhận thấy dấu hiệu X lấy rất nhiều giá trị khác nhau nhưng các giá trị này lại khá gần nhau do đó ta nhóm các giá trị này thành từng lớp. Hãy lập bảng “ tần số ghép lớp” theo các cột sau:
Cột 1: Chiều cao (theo các lớp sau: Trên 130cm - 135cm; trên 135cm - 140cm; trên 140 cm - 145cm; trên 145cm - 150 cm; trên 150cm - 155cm)
Cột 2: Giá trị trung tâm của lớp (là trung bình cộng của hai giá trị xác định lớp)
Cột 3: Tần số của lớp
Cột 4: Tần suất tương ứng.
+ Đeå tính giaù trò cuûa moät bieåu thöùc ñaïi soá taïi nhöõng giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán,ta thay caùc giaù trò cho tröôùc ñoù vaøo bieåu thöùc roài thöïc hieän caùc pheùp tính .
+ Ñôn thöùc laø bieåu thöùc ñaïi soá chæ goàm tích cuûa moät soá vôùi caùc bieán, maø moãi bieán ñaõ ñöôïc naâng leân luõy thöøa vôùi soá muõ nguyeân döông (moãi bieán chæ ñöôïc vieát moät laàn).
+ Baäc cuûa ñôn thöùc coù heä soá khaùc 0 laø toång soá muõ cuûa taát caû caùc bieán coù trong ñôn thöùc ñoù. Muoán xaùc ñònh baäc cuûa moät ñôn thöùc, tröôùc heát ta thu goïn ñôn thöùc ñoù.
+ Soá 0 laø ñôn thöùc khoâng coù baäc. Moãi soá thöïc ñöôïc coi laø moät ñôn thöùc.
+ Ñôn thöùc ñoàng daïng laø hai ñôn thöùc coù heä soá khaùc 0 vaø coù cuøng phaàn bieán. Moïi soá thöïc ñeàu laø caùc ñôn thöùc ñoàng daïng vôùi nhau.
+ Ñeå coäng (tröø ) caùc ñôn thöùc ñoàng daïng, ta coäng (tröø) caùc heä soá vôùi nhau
 vaø giöõ nguyeân phaàn bieán.
+ Ña thöùc laø moät soá hoaëc moät ñôn thöùc hoaëc moät toång (hieäu) cuûa hai hay nhieàu ñôn thöùc. Moãi ñôn thöùc trong moät toång ñöôïc goïi laø moät haïng töû cuûa ña thöùc ñoù.
+ Baäc cuûa ña thöùc laø baäc cuûa haïng töû coù baäc cao nhaát trong haïng töû ôû daïng thu goïn.
+ Muoán coäng hai ña thöùc, ta vieát lieân tieáp caùc haïng töû cuûa hai ña thöùc cuøng vôùi daáu cuûa chuùng roài thu goïn caùc haïng töû ñoàng daïng (neáu coù).
+ Muoán tröø hai ñôn thöùc, ta vieát caùc haïng töû cuûa ña thöùc thöù nhaát cuøng vôùi daáu cuûa chuùng roài vieát tieáp caùc haïng töû cuûa ña thöùc thöù hai vôùi daáu ngöôïc laïi. Sau ñoù thu goïn caùc haïng töû ñoàng daïng cuûa hai ña thöùc (neáu coù).
+ Ña thöùc moät bieán laø toång cuûa caùc ñôn thöùc cuûa cuøng moät bieán. Do ñoù moãi moät soá cuõng ñöôïc coi laø ña thöùc cuûa cuøng moät bieán.
+ Baäc cuûa ña thöùc moät bieán khaùc ña thöùc khoâng (sau khi ñaõ thu goïn) laø soá muõ lôùn nhaát cuûa bieán coù trong ña thöùc ñoù.
+ Heä soá cao nhaát cuûa ña thöùc laø heä soá ñi cuøng phaàn bieán coù soá muõ lôùn nhaát. Heâï soá töï do laø soá haïng khoâng chöùa bieán.
+ Ngöôøi ta thöôøng duøng caùc chöõ caùi in hoa keøm theo caëp daáu ngoaëc (trong ñoù coù bieán) ñeå ñaët teân cho ña thöùc moät bieán.
	Ví duï: A(x) = 3x3 + 5x + 1. Do ñoù giaù trò cuûa ña thöùc taïi x = -2 laø A(-2).
+ Neáu taïi x = a, ña thöùc P(x) coù giaù trò baèng 0 thì ta noùi a (hoaëc x = a) laø moät nghieäm cuûa ña thöùc ñoù. Ña thöùc baäc n coù khoâng quaù n nghieäm.
II-ĐA THỨC
1-Lý thuyết
2/ Baøi taäp:
Baøi 1: Trong caùc bieåu thöùc sau, bieåu thöùc naøo laø ña thöùc:
3x2; 5x2-4xy; 18; -9xy + 3y3; ; 0; -2
Baøi 2: Thu goïn caùc ña thöùc sau vaø xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc keát quaû:
 M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9.
Bài 3: Nhân đơn thức và tìm bậc của đa thức thu được:
 a) ; b) (5a)(a2b2).(-2b)(-3a).
Baøi 4 : Tính giaù trò cuûa caùc ña thöùc :
5x2y – 5xy2 + xy taïi x = -2 ; y = -1.
xy2 + x2y – xy + xy2 - x2y + 2xy. Taïi x = 0,5 ; y = 1.
Baøi 5 : Tính toång cuûa 3x2y – x3 – 2xy2 + 5 vaø 2x3 -3xy2 – x2y + xy + 6.
Baøi 6 : Cho ña thöùc A = 5xy2 + xy - xy2 - x2y + 2xy + x2y + xy + 6.
Thu goïn roài xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc keát quaû.
Tìm ña thöùc B sao cho A + B = 0
Tìm ña thöùc C sao cho A + C = -2xy + 1.
Bài 7. Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2+ x − và Q(x) = x4 − x3 + x2 + 
a. Tính M (x) = P(x) + Q(x) 
b. Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x).
Baøi 8 : Cho ña thöùc :
	A = 4x2 – 5xy + 3y2; 	B = 3x2 + 2xy - y2
 Tính A + B; A – B ; B – A 
Baøi 9 : Tìm ña thöùc M,N bieát :
M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2	
(3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
Bài 10 : Cho ña thöùc 
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3	 B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5	
Tính : A(x) + B(x); 	A(x) - B(x); 	B(x) - A(x);
Bài 11: Cho các đa thức :
	A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4
	B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4
	C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1.Tính A+B-C
Baøi 12: Cho ña thöùc f(x) = 2x3 – x5 + 3x4 + x2 - x3 + 3x5 – 2x2 – x4 + 1.
Thu goïn vaø xaùc ñònh baäc cuûa ña thöùc treân.
Xaép xeáp ña thöùc theo luõy thöøa giaûm daàn cuûa bieán.
Tính f(1); f(-1)
Baøi 13: Cho A(x) = 3x5 + 2x4 – 4x3 + x2 – 2x + 1 
 vaø B(x) = -x4 + 3x3 – 2x2 + x3 – 3x + 2 – 3x4.
Thöïc hieän thu goïn (neáu coù) caùc ña thöùc treân.
Tính A(x) + B(x); A(x) – B(x).
Bài 14 Cho đa thức M = x2+ 5x4 − 3x3+ 4x2 + x4 +3x3 −x + 5
 và đa thức N=x −5x3− 2x2−8x4+ 4x3−x+5. 
a. Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo luỹ thừa giảm dần của biến; 
b. Tính M + N, M − N ;
Bài 15 Cho đa thức P(x) = 5x − 
 a. Tính : P(1) , P(−)
 b. Tìm nghiệm của đa thức trên 
Bài 16: Thu gọn rồi tìm nghiệm của các đa thức sau:
	a/ f(x) = x(1-2x) + (2x2 -x + 4)
	b/ g(x) = x (x - 5) - x ( x +2) + 7x
	c/ h(x) = x (x -1) + 1
B-PHAÀN HÌNH HOÏC
I-CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC
+ DABC =DA’B’C’ ÛAB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’; 
+ Neáu DABC vaø DMNP coù : AB = MN; AC = MP; BC = NP 
thì DABC =DMNP (c-c-c).
+ Neáu DABC vaø DMNP coù : AB = MN; ; BC = NP 
thì DABC =DMNP (c-g-c).
+ Neáu DABC vaø DMNP coù : ; AB = MN ; 
thì DABC =DMNP (g-c-g).
TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
* Tröôøng hôïp 1: Neáu hai caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng naøy, laàn löôït baèng hai caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng kia thì hai tam giaùc vuoâng ñoù baèng nhau theo tröôøng hôïp c-g-c.
Neáu D ABC vaø D MNP coù =900; AB=MN; AC = MP
Thì D ABC = D MNP (c-g-c)
* Tröôøng hôïp 2: Neáu moät caïnh goùc vuoâng vaø moät goùc nhoïn keà caïnh aáy cuûa tam giaùc vuoâng naøy, baèng moät caïnh goùc vuoâng vaø moät goùc nhoïn keà caïnh aáy cuûa tam giaùc vuoâng kia thì hai tam giaùc vuoâng ñoù baèng nhau theo tröôøng hôïp g-c-g.
Neáu D ABC vaø D MNP coù =900; AC = MP; 
Thì D ABC = D MNP (g-c-g)
* Tröôøng hôïp 3: Neáu caïnh huyeàn vaø moät goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng naøy, baèng caïnh huyeàn vaø moät goùc nhoïn cuûa tam giaùc vuoâng kia thì hai tam giaùc vuoâng ñoù baèng nhau theo tröôøng hôïp g-c-g.
Neáu D ABC vaø D MNP coù =900; BC = NP; 
Thì D ABC = D MNP (g-c-g)
* Tröôøng hôïp 4: Neáu caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng naøy, baèng caïnh huyeàn vaø moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc vuoâng kia thì hai tam giaùc vuoâng ñoù baèng nhau theo tröôøng hôïp c-c-c.
Neáu D ABC vaø D MNP coù =900; BC = NP; AB = MN
Thì D ABC = D MNP (c-c-c)
II-TAM GIÁC CÂN ,TAM GIÁC ĐỀU VÀ ĐỊNH LÝ PITAGO
+ Tam giaùc caân laø tam giaùc coù hai caïnh baèng nhau, hai caïnh baèng nhau goïi laø hai caïnh beân, caïnh coøn laïi goïi laø caïnh ñaùy.
	D ABC coù AB = AC Þ D ABC caân taïi A.
+ Trong moät tam giaùc caân, hai goùc ôû ñaùy baèng nhau.
	D ABC caân taïi A Þ .
+ Muoán chöùng minh moät tam giaùc laø tam giaùc caân, ta caàn chöùng minh tam giaùc ñoù coù hai caïnh baèng nhau hoaëc hai goùc baèng nhau.
+ Tam giaùc ñeàu laø tam giaùc coù ba caïnh baèng nhau.
+ Trong moät tam giaùc ñeàu, ba goùc baèng nhau vaø baèng 600.
	D ABC coù AB = AC=BC Þ D ABC laø tam giaùc ñeàu.
	D ABC laø tam giaùc ñeàu Þ 
+ Muoán chöùng minh moät tam giaùc laø tam giaùc ñeàu, ta caàn chöùng minh:
Tam giaùc coù ba caïnh baèng nhau.
Hoaëc chöùng minh tam giaùc coù ba goùc baèng nhau.
Hoaëc chöùng minh tam giaùc caân coù 1 goùc baèng 600.
(moät soá phöông phaùp khaùc seõ ñöôïc nghieân cöùu sau)
+ Ñònh lí Pitago thuaän: Trong moät tam giaùc vuoâng, bình phöông ñoä daøi caïnh huyeàn baèng toång bình phöông cuûa hai caïnh goùc vuoâng.
	D ABC vuoâng taïi A Þ BC2 = AC2 + AB2.
+ Ñònh lí Pitago ñaûo: Neáu moät tam giaùc coù bình phöông cuûa moät caïnh baèng toång bình phöông cuûa hai caïnh coøn laïi thì tam giaùc ñoù laø tam giaùc vuoâng.
	Neáu D ABC coù BC2 = AC2 + AB2 hoaëc AC2 = BC2 + AB2 
hoaëc AB2 = AC2 + BC2 thì D ABC vuoâng
III-QUAN HEÄ GIÖÕA CAÙC CAÏNH VAØ CAÙC GOÙC TRONG MOÄT TAM GIAÙC
+ Trong moät tam giaùc: Goùc ñoái dieän vôùi caïnh lôùn hôn laø goùc lôùn hôn. Caïnh ñoái dieän vôùi goùc lôùn hôn laø caïnh lôùn hôn. Hai goùc baèng nhau thì hai caïnh ñoái dieän baèng nhau vaø ngöôïc laïi hai caïnh baèng nhau thì hai goùc ñoái dieän baèng nhau.
+ Trong caùc ñöôøng xieân, ñöôøng vuoâng goùc keû töø moät ñieåm naèm ngoaøi moät ñöôøng thaúng ñeán ñöôøng thaúng ñoù, ñöôøng vuoâng goùc laø ñöôøng ngaén nhaát. Ñöôøng xieân naøo coù hình chieáu lôùn hôn thì lôùn hôn, ñöôøng xieân naøo lôùn hôn thì hình chieáu seõ lôùn hôn, neáu hai ñöôøng xieân baèng nhau thì hai hình chieáu baèng nhau vaø ngöôïc laïi hai hình chieáu baèng nhau thì hai ñöôøng xieân baèng nhau.
+ Trong moät tam giaùc, baát kì caïnh naøo cuõng lôùn hôn hieäu vaø nhoû hôn toång cuûa hai caïnh coøn laïi.
	D ABC luoân coù: 	AB – AC < BC < AB + AC
	AB – BC < AC < AB + BC
	AC – BC < AB < AC + BC
IV-TÍNH CHAÁT CAÙC ÑÖÔØNG TRUNG TUYEÁN, ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC, ÑÖÔØNG TRUNG TRÖÏC, ÑÖÔØNG CAO CUÛA TAM GIAÙC
+ Ñöôøng trung tuyeán laø ñöôøng xuaát phaùt töø ñænh vaø ñi qua trung ñieåm caïnh ñoái dieän cuûa tam giaùc.
AM laø trung tuyeán cuûa D ABC Û MB = MC
+ Moät tam giaùc coù 3 ñöôøng trung tuyeán. Ba ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc ñoàng quy taïi moät ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñænh baèng 2/3 ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán ñi qua ñænh ñoù.
+ Giao ñieåm cuûa ba ñöôøng trung tuyeán goïi laø troïng taâm cuûa tam giaùc.
+ Trong moät tam giaùc vuoâng, ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn baèng moät nöûa caïnh huyeàn.
+ Ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc laø ñöôøng thaúng xuaát phaùt töø moät ñænh vaø chia goùc coù ñænh ñoù ra hai phaàn baèng nhau.
+ Moät tam giaùc coù ba ñöôøng phaân giaùc. Ba ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc cuøng ñi qua moät ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñeàu ba caïnh cuûa tam giaùc. (giao ñieåm ñoù laø taâm cuûa ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc)
+ Trong moät tam giaùc caân, ñöôøng phaân giaùc keû töø ñænh ñoàng thôøi laø ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi caïnh ñaùy. 
+ Ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø ñöôøng vuoâng goùc taïi trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng ñoù.
BÀI TẬP
Baøi 1: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, bieát . Tính goùc A vaø goùc B.
Baøi 2: Cho tam giaùc ABC caân taïi A, goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caùc caïnh AC vaø AB. Chöùng minh raèng BE = CF. 
Baøi 3: Cho tam giaùc ABC caân taïi A vaø coù . phaân giaùc cuûa goùc B caét AC taïi D.
Tính soá ño caùc goùc cuûa tam giaùc ABC.
Chöùng minh DA = DB.
Chöùng minh DA = BC.
Baøi 4 : Cho ABC caân taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AB=5cm, BC=6cm.
 Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BH, AH?
Bài 5: Tam giác ABC có AB = 25, AC = 26, đường cao AH = 24. Tính BC.
Baøi 6: Cho ABC caân taïi A (), veõ BD AC vaø CE AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE. 
Chöùng minh : ABD = ACE
Chöùng minh AED caân
Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED
Baøi 7 : Cho goùc nhoïn xOy. Treân tia Ox laáy ñieåm A, treân tia Oy laáy ñieåm B, treân tia phaân giaùc cuûa goùc xOy laáy ñieåm M sao cho OA = OB = OM. Chöùng minh raèng tam giaùc AMB caân.
Baøi 8: Cho tam giaùc MNP coù =900. bieát NP = 13cm; MP = 5cm. Tính MN.
Baøi 9: Cho tam giaùc ABC coù ba goùc nhoïn. Keû AH ^ BC (H Î BC). Bieát AB = 7cm; BH = 2cm; BC = 13 cm. Tính AH, A
Baøi 10 : Cho ABC caân taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AB=5cm, BC=6cm.
Tính ñoä daøi caùc ñoaïn thaúng BH, AH?
Goïi G laø troïng taâm cuûa tam giaùc ABC. Chöùng minh raèng ba ñieåm A,G,H thaúng haøng?
Chöùng minh: ?
Baøi 11: Cho ABC caân taïi A. Goïi M laø trung ñieåm cuûa caïnh BC.
Chöùng minh : ABM = ACM
Töø M veõ MH AB vaø MK AC. Chöùng minh BH = CK
Töø B veõ BP AC, BP caét MH taïi I. Chöùng minh IBM caân.
Baøi 12 : Cho ABC vuoâng taïi A. Töø moät ñieåm K baát kyø thuoäc caïnh BC veõ KH AC. Treân tia ñoái cuûa tia HK laáy ñieåm I sao cho HI = HK. Chöùng minh : 
AB // HK
 AKI caân
 AIC = AKC
Baøi 13: Cho ABC caân taïi A (< 900), veõ BD AC vaø CE AB. Goïi H laø giao ñieåm cuûa BD vaø CE.
Chöùng minh : ABD = ACE
Chöùng minh AED caân
Chöùng minh AH laø ñöôøng trung tröïc cuûa ED
Treân tia ñoái cuûa tia DB laáy ñieåm K sao cho DK = DB. Chöùng minh 
Baøi 14 : Cho ABC caân taïi A. Treân tia ñoái cuûa tia BA laáy ñieåm D, treân tia ñoái cuûa tia CA laáy ñieåm E sao cho BD = CE. Veõ DH vaø EK cuøng vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng BC. Chöùng minh : 
HB = CK
HK // DE
 AHE = AKD
Goïi I laø giao ñieåm cuûa DK vaø EH. Chöùng minh AI DE.
Bài 15: Cho ABC có góc A bằng 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M, tia phân giác của góc C cắt AB tại N. Các tia phân giác cắt nhau tại I .Chứng minh rằng 
BN + CM = BC.
IM = IN
Bài 16: Cho ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng
KC AC.
AK // BC.
Bài 17 Cho ABC, kẻ BD vuông góc với AC, kẻ CE vuông góc với AB. Trên tia đối của tia BD, lấy điểm H sao cho BH = AC. Trên tia đối của tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằngAH = AK.
Bài 18: Cho ABC coù AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng:
a) BE = CD b) KBD = KCE. 
Bài 19: Cho ABC. Gäi D là trung điểm của AC, N D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho ME = MB, Trên tia đối của tia NC lấy điểmF sao cho NF = NC. Chứng minh rằng:
a) MAE = MCB.
b) AE = AF.
c) A,E,F thẳng hàng
Bài 20: Cho đoạn thẳng AB, D là trung điểm của AB. Kẻ Dx vuông góc với AB. Trên Dx lấy hai điểm M và N (M nằm giữa D và N). CHứng minh rằng
a) NAD = NBD.
b) MNA = MNB.
c) ND là phân giác của góc ANB.
d) Góc AMB lớn hơn góc ANB.