Đề tài Giúp giải được 1 số bài toán Hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ

A- Phần mở đầu:
 Trong quá trình giảng dạy môn Toán lớp 7, phân môn Hình học, có những bài tập khi giải nếu vẽ thêm các yêu tố phụ giúp cho việc giải các bài toán trở nên dễ dàng và thuận lợi hơn. Tuy vậy vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào cho có lợi trong việc giải toán đó là điều khó khăn và phức tạp.
 Thực tế khi dạy học, tôi thấy rằng không có một phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ, mà còn phải tuỳ theo yêu cầu của từng bài toán cụ thể. Việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt được mục đích là tạo điều kiện để việc giải bài toán thuận lợi, đồng thời vẫn phải tuân theo các phép dựng hình cơ bản và các bài toán dựng hình cơ bản.
 Việc vẽ thêm yêu tố phụ nhằm giúp 3 vấn đề cơ bản sau:
Giúp giải được 1 số bài toán Hình học mà nếu không vẽ thêm yếu tố phụ thì có thể sẽ dẫn đến bế tắc.
Trình bày lời giải 1 số bài toán hay và gọn hơn.
Phát hiện những vấn đề mới chưa được học bằng những vốn kiến thức còn hạn chế mà mặc dù sau này các vấn đề đó khi học đến có thể là đơn giản.
 Để minh hoạ cho những ý kiến đã nêu ở trên, sau đây tôi xin nêu ra một số bài tập khi giải cần vẽ thêm các yếu tố phụ.
	B- Nội dung
I- Dạng toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau; góc bằng nhau:
 I.1- Bài toán 1:
	 Cho ABC có góc B bằng góc C. Chứng minh rằng: AB = AC.
	Hướng dẫn giải:
* Nhận xét: 
 +Bài tập này cần giải quyết khi chưa được sử dụng tính chất của cân.
 * Cách 1: Để chứng minh AB = AC ta cần làm xuất hiện 2 tam giác chứa 2 đoạn thẳng đó và chứng minh 2 tam giác đó bằng nhau.
 Ta vẽ đường phụ là 1 trong các cách như sau:
+ Vẽ AI là phân giác của ABC và c/m 2 bằng nhau trường hợp g.c.g.
+ Vẽ AI BC và c/m 2 bằng nhau trường hợp g.c.g.
 * Cách 2: Bài toán này có thể sử dụng phương pháp c/m phản chứng:
 + Bắt đầu từ giả sử AB > AC, ta chọn 1 điểm D trên AB sao cho AD = AC. Từ đó lập luận để suy ra điều vô lí. Vậy AB > AC là sai.
 +Tương tự AB < AC cũng sai.
 + Như vậy AB = AC.
	Giải:
 A	 
 B I C 
+ Lấy I là giao điểm của tia phân giác BÂC với BC BÂI = CÂI
Xét AIB và AIC có: B = C
 BÂI = CÂI
 AIB = AIC (tổng 3 góc trong)
 AIB = AIC (g.c.g)
 AB = AC (2 cạnh t/ư )
 I.2- Bài toán 2:
Cho ABC có AM là trung tuyến và là phân giác của ABC.
Chứng minh: ABC cân.
Hướng dẫn giải:
 + Để chứng minh ABC cân ta cần c/m AB = AC.
 + Đối với bài tập này yếu tố phụ mà ta cần vẽ thêm là điểm D thuộc tia đối của tia MA sao cho MD = MA; sau đó c/m AB = AC qua 1 đoạn thẳng trung gian là CD.
	Giải:
 A
 B M C 
D
+ Lấy D thuộc tia đối của tia MA : MD = MA.
+AMB = DMC (c.g.c)
 AB = DC (2 cạnh t/ư )
 Và BAM = MDC (2 góc t/ư)
 Mà BÂM = MÂC (GT)
MDC = MAC
ACD cân tại C(theo bài toán I.1)
 AC = DC
Mà AB = DC (CMT)
AB = AC
ABC cân tại A
 I.3- Bài toán 3: 
Cho ABC có M là trung điểm của AB; N là trung điểm của AC. Chứng minh rằng: MN // BC ; MN = BC . 
	Hướng dẫn giải:
 + Để giải quyết bài tập này ta cần làm xuất hiện 1 đoạn thẳng trung gian = 2MN; và ta c/m cho đoạn thẳng đó = BC. 
 + Ta vẽ yếu tố phụ là điểm E tia đối của tia NM: NE = NM. Sau đó c/m cho ME = BC và ME // BC. 
	Giải:
 A
 x
 M N E
 x
 B C
+ Lấy E tia đối của tia NM: NE = NM
+ AMN = CEN(c.g.c) nên:
 AM = CE AM = MB = CE
 Â = ACE ME // BC
 MCE = BMC( so le trong)
+ MBC = CEM (g.c.g) nên có:
 ME = BC
 EMC = MCB 
mà 2 góc này là 2 góc so le trong
 ME // BC (dấu hiêụ nbiết 2 đ thẳng //)
+ Vì ME = BC (CM)
 MN = ME (cách vẽ)
 MN = BC.
* Bài tập này chính là nội dung định lý về tính chất đường trung bình của tam giác trong chương trình Toán 8. Sau khi c/m xong, có thể sử dụng bài toán này như 1 bài toán phụ có thể giúp học sinh giải quyết rất nhiều bài tập mà bình thường nếu không áp dụng tính chất sẽ rất khó khăn khi làm bài hoặc không thể giải quyết được.
I.4- Bài toán 4:
Cho ABC có BC = 2AB, M là trung điểm của cạnh BC, D là trung điểm của BM. Chứng minh rằng: AC = 2AD.
	Hướng dẫn giải:
 + Để c/m AC = 2 AD, ta tìm cách tạo ra 1 đoạn thẳng trung gian = 2AD, rồi c/m đoạn thẳng đó = AC; hoặc tạo ra 1 đoạn thẳng = AC, rồi c/m đoạn thẳng đó = AD.
 + Ta vẽ yếu tố phụ là 1 trong 2 cách sau đây:
 * C1: vẽ điểm E tia đối của tia DA: DE = DA; sau đó c/m AE = AC.
 * C2: Lấy N là trung điểm của AB, sau đó c/m: MN= AD và MN = AC
	Giải:
Cách 1:
 A
N 
 // //
B D M C
 E
+ Vẽ điểm E tia đối của tia DA: DE = DA
DAB = DEM (c.g.c)
 AB = ME; BAD = MED
 AB // ME (dấu hiệu nbiết)
BAM + AME = 1800 
 (2 góc trong cùng phía)
+ Vì AB = MB = BC 
BAM cân tại B
BAM = BMA (t/c )
Mà BMA + AMC = 1800 (2 góc kề bù)
AME = AMC
 MC = ME = BC = AB
+ AME = AMC (c.g.c)
AE = AC (2 cạnh t/ư)
Mà AE = 2AD (cách vẽ)
AC = 2AD
Cách 2: Lấy N là trung điểm của AB.
+ ABC có M; N là trung điểm của BC ; AB 
 MN = AC (theo bài I.3)
+ Vì BD = BN = AB = BM
ADB = MNB (c.g.c) AD = MN (2 cạnh t/ư)
 AD = AC hay AC = 2AD.	
Nhận xét: rõ ràng nếu sử dụng kết quả bài toán I.3 thì việc giải bài toán này trở nên đơn giản và gọn hơn nhiều.
* Một số bài tập tự luyện:
1- Cho ABC có AB < AC. Từ trung điểm M của BC kẻ đường phân giác của  cắt AB tại D và AC tại E. CMR: BD = CE.
2- Cho ABC có góc B = 600. Hai phân giác AD và CE của ABC cắt nhau tại I. CMR: IDE cân tại I.
3- Cho xÂy = 600; Az là tia phân giác. Từ điểm B trên Ax vẽ đg` thẳng // Ay cắt Az tại C. Vẽ BD vuông góc với Ay. CMR: BD = AC.
II- Dạng toán tính số đo góc:
II.1- Bài toán 1: 
	Cho ABC vuông tại A; AB = BC. Tính góc B và góc C?
Hướng dẫn giải:
 + Để giải bài tập này chúng ta phải làm xuất hiện 1 tam giác đều, dựa vào các góc của tam giác đó để tính góc B và C.
 + Dựa vào GT: AB = BC, yếu tố phụ mà ta cần vẽ thêm là điểm D thuộc tia đối của tia AB: AD = AB, từ đó c/m CBD là tam giác đều.
	Giải:
 C
 // //
D A B
+Lấy điểm D thuộc tia đối của tia AB: AD = AB
BD = 2AB mà BC = 2AB( GT) BC = BD
+ ABC = ADC (c.g.c)
BC = DC (2 cạnh t/ư)
BC = BD = DC
BCD đều
B = 600 C = 300
Bài tập này được coi như 1 bài toán phụ để giúp học sinh khi giải quyết các bài tập hình được nhanh chóng và dễ dàng hơn:
BTP: nếu 1 vuông có 1 cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó = 300.
II.2- Bài toán 2:
Cho ABC cân tại A có Â = 400. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tia Bx sao cho góc CBx = 100. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho: BD = BA. Tính số đo góc BDC?
Hướng dẫn giải:
 + Khi làm các bài tập về tính số đo góc ta thường dựa vào các đặc biệt: cân; đều; vuông cân.
 + Đối với bài này chúng ta cần làm xuất hiện đều cạnh BC và thuộc cùng nửa mặt phẳng chứa điểm A.
	Giải:
 + Vẽ BCE đều; E thuộc cùng nửa mặt phẳng chứa điểm A.
 + AEB = AEC (c.c.c)
 BÂE = CÂE = 200
 A
 E
 x x
 \ /
 B C
	 D x
+ Xét ABC có: 
ABC = (1800- BÂC): 2 = 700
 EBA = 700 – 600 = 100
+ ABE = DBC ( c.g.c)
BDC = BAE = 200
II.3- Bài toán 3:
Cho ABC cân tại A có Â = 800. Gọi D là điểm trong tam giác sao cho DBC = 100; DCB = 300. Tính số đo BÂD ?
	Hướng dẫn giải:
Nhận xét: 
 +Ta tính được ABC = ACB = 500 mà DBC = 100; DCB = 300;cần tính BÂD. Từ các số liệu trên và qua kinh nghiệm giải các bài toán về tính số đo góc, vẽ thêm tam giác đều là pp thường sử dụng nhiều nhất.
 + Yếu tố cần vẽ thêm là: BEC đều; E và A thuộc cùng nửa mp bờ BC. 
Giải:
 E
 1 2
 A
 \\ //
 X D X
B // C
+ Vẽ BEC đều; E;A thuộc cùng nửa mp bờ BC
+ EBA = ECA(c.c.c)
E1 = E2 = 300()
+ EBA = BDC (g.c.g)
BA = BD
BAD A
ABD = 500 – 100 = 400
BÂD = (1800- 400 ): 2 = 700
II.4- Bài 4:
Cho xÔy vuông và Oz là tia phân giác. Từ 1 điểm A trên Oz kẻ ABOx, AC Oy (BOx; COy). Lấy điểm M trên AB, nối MO. Từ M vẽ 1 đg` thẳng tạo với MO 1 góc bằng góc BMO cắt AC tại N.
Chứng minh rằng: MÔN = 450
	Hướng dẫn giải:
C/m : MÔN = 450 MÔN = xÔy
+ Từ OAB = OAC (cạnh huyền- góc nhọn) cho ta OB = OC
 Kết hợp với M1 = M2 giúp ta nghĩ đến vẽ thêm OD MN (D MN)
 Điều này giúp ta có:BOM = DOM vàDON = CON 
 Từ đó ta có MÔN = BÔM + NÔC MÔN = = xÔy.
	Giải:
 x
 z
 M
 B	 A
 D
 N
 O C y
+ Vẽ OD MN (D MN)
+BOM = DOM( cạnh huyền- góc nhọn)
Nên OB = OD
+OAB = OAC (cạnh huyền- góc nhọn)
Suy ra: OB = OC
+ DON = CON(cạnh huyền- cạnhg.vuông)
NÔD = NÔC
Ta có: BÔM + NÔC= DÔM + DÔN
có MÔN = BÔM + NÔC
 MÔN = = xÔy= 450.
 * Chú ý: có nhiều bài tập về tính số đo góc giải tương tự như các bài toán II.2 và II.3; nhưng có những bài ta cần vẽ thêm hình như bài toán II.4. Và còn rất nhiều các bài tập khi giải cần vẽ thêm hình; và tuỳ từng bài với các yếu tố cho trước mà ta suy luận để tìm cách vẽ thêm hình cho phù hợp.
 * Sau đây là 1 số bài tương tự:
1- Cho ABC có góc B = 450; góc C = 1200. Lấy D thuộc tia đối của tia CB sao cho: CD = 2 CB. Tính góc ADB?
2- Cho ABC cân tại A; Â = 200. Trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia Cx sao cho: góc ACx = 600, trên Cx lấy D: CD = CB. Tính góc ADC?
3- Cho ABC cân tại A; Â = 1000. Lấy D thuộc AC: AD = BC. Tính góc ABD?
III- Dạng toán về quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác:
III.1- Bài toán 1:
Cho ABC có AB < AC, AM là trung tuyến. So sánh BÂM và CÂM?
Hướng dẫn giải:
 + Hai góc BÂM và CÂM không cùng thuộc 1 tam giác. Do vậy cta phải tìm 1 góc trung gian thuộc cùng 1 tam giác với 1 trong 2 góc BÂM hoặc CÂM; sau đó so sánh chúng với nhau.
 +Yếu tố phụ cần vẽđể giải bài toán này là điểm D trên tia đối của tia MA: MD = MA.
	Giải:
 A
 /
 B // M // C
 /
 D
+Lấy điểm D trên tia đối của tia MA: 
MD = MA.
+ AMB = DMC (c.g.c)
BÂM = MDC; AB = CD (1)
Mà AB < AC
 CD < AC
+ Xét ACD: CD < AC
CÂM < MDC(Qhệ góc và cạnh đd trong)
Kết hợp với (1)
CÂM < BÂM.
III.2- Bài toán 2:
Cho ABC:AM là trung tuyến; BÂM > CÂM. Chứng minh:AB < AC
	Hướng dẫn giải:
 Đây là bài toán đảo của bài toán III.1. Phương pháp giải giống bài III.1
III.3- Bài toán 3:
Cho ABC; AB = AC; D là 1 điểm bất kì trong tam giác sao cho
 ADB > ADC. Chứng minh rằng: DC > DB.
Hướng dẫn giải:
 + Tương tự như các bài toán trên ta tìm cách tạo ra tam giác có 2 cạnh có độ dài bằng DC; DB
 + Yếu tố phụ cần vẽ là tia Ax trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B sao cho CÂx = BÂD và trên tia Ax lấy điểm E: AE = AD.
 + DEC đạt được yêu cầu đặt ra.
	Giải:
 A
 \ / 
 X X 1 E
 D 1 2 
 2 x
B C
+ Vẽ tia Ax trên nửa mp bờ AC không chứa điểm B sao cho CÂx = BÂD ; trên tia Ax lấy điểm E: AE = AD.
+ ABD = ACE (c.g.c)
CE = BD; ADB = AEC 
mà ADB > ADC
AEC > ADC
D1 +D2 < E1 + E2
+ ADE cân tại A D1 = E1
 D2 < E2
+ CDE: D2 < E2 CE < DC( qhệ )
 CE = DB(CMT)
DB < DC
II.4- Bài toán 4:
Cho ABC có AB > AC; AD là phân giác của tam giác ABC; M là 1 điểm nằm trên đoạn AD. CMR: MB – MC < AB - AC.
	Hướng dẫn giải:
 + Từ điều cần c/m và từ GT: AD là tia p/g của BÂC giúp ta nghĩ đến điểm E trên AB sao cho AE = AC.
 + Ta sẽ có: AB – AC = EB; ME = MC
 MEB cho ta MB – ME = EB
 Do đó ta đi đến MB – MC < AB – AC
	Giải:
 A
 X X
 E M
B D C
+Trên cạnh AB lấy đ’ E: AE = AC.
AB – AC = AB – AE = EB
+AME = AMC (c.g.c)
ME = MC
+ MEB: MB – ME < EB (qhệ 3 cạnh trong )
 Do đó ta có: MB – MC < AB - AC
* Lưu ý: khi giải các bài tập vễ qhệ giữa các yếu tố trong tam giác; khi cần vẽ thêm yếu tố phụ cần lưu ý đến việc các đlí; tính chất khi áp dụng phải xét trong cùng 1 tam giác.
* Một số bài toán tự luyện:
1- Cho ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy các đ’ D và E sao cho: BD = DE = EC. Chứng minh rằng: BÂD < DÂE.
2- Cho ABC có Â= 900 ; góc B = 540; trên cạnh AC lấy đ’ D sao cho góc DBC = 180. CMR: BD < AC.
3- Cho ABC có M là đ’ thuộc tia phân giác ngoài của góc C. 
CMR: MA + MB > AC + AB.
IV- Dạng toán về chứng minh các điểm thẳng hàng và các đường đồng qui:
IV.1- Bài toán1 : 
Cho ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy đ’ D, trên tia đối của tia CA lấy đ’ E: BD = CE. Gọi I là trung đ’ của đoạn thẳng DE. Chứng minh 3 điểm B; I; C thẳng hàng.
	Hướng dẫn giải:
Yếu tố phụ cần vẽ thêm ở bài toán này là đg` thẳng qua D và // BC.
	Giải:
 A
 D K
 x
 C
 B I x 
 E
+ Vẽ DK // BC; K AC
+ ADK cân tại A AD = AK
BD = CK mà BD = CE nên CK = CE
+ Xét DKE: I; K là trung đ’ của DE và KE
CI // DK (áp dụng bài I.3)
Mà BC // DK
B; I; C thẳng hàng (tiên đề Ơclít
IV.2- Bài toán 2:
Cho ABC , đg` cao AH. Vẽ ở phía ngoài ấy các vuông cân ABD ,ACE( ABD =ACE =900).
a) Qua đ’ C vẽ đg` t’ BE, cắt đt’ HA tại K. C/m: CD BK.
b) C/m: 3 đt’ AH, BE, CD đồng qui.
	Hướng dẫn giải:
b) + Để c/m3 đt’ AH, BE, CD đồng qui ta nghĩ đến việc c/m AH; BE; CD là 3 đg` cao của 1 tam giác có 1 cạnh là BC.
 + Từ B vẽ đt CD; từ C vẽ đt BE; gđiểm K của 2 đg` này nằm trên đường AH.
Ta cũng có: ABK = BDC AK = BC
 * Do vậy yếu tố phụ để giúp giải bài toán này là vẽ K thuộc tia đối của tia AH : AK = BC
 + C/m: CKBE và BKCD
 + Trong KBC có 3 đg` cao KH, CD, BE đồng qui.
	Giải:
 K
 1
D A E
 \\ x 
 // x
B 1 C
 H
a) + KAC = BCE(gcg)
AK = BC
+ KAB = CBD(cgc)
K1 = C1 
K1 + KBH = C1 + KBH = 900
CD KB
b) +Vẽ K thuộc tia đối của tia AH : AK = BC
Gọi M là gđ’ của BK và CD.
+ ABK = BDC (c.g.c)
KBA = BDC
+ BDM: DBM + BDM = 900
DMB = 900 CD KB
+ Tương tự ta có: BE KC
+ BKC: KH; BE; CD là 3 đg` cao của tam giác nên cùng đi qua 1 điểm.
c- Kết luận
 Trên đây là một số bài toán hình học trong chương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi môn Toán 7 mà trong quá trình giảng dạy tôi đã truyền đạt cho học sinh; những bài toán này khi giải đều phải vẽ thêm các yếu tố phụ; có những bài vẽ thêm hình thì giúp học sinh làm bài gọn gàng hơn so với các cách làm khác; nhưng cũng có những bài nếu không vẽ thêm hình thì thực sự học sinh không giải được. Rõ ràng việc vẽ thêm yếu tố phụ đã giúp các em giải bài tập một cách nhanh gọn, chính xác hơn.
 Đối với các bài tập hình nói chung còn rất nhiều cách vẽ hình không theo một phương pháp mẫu nào cả; trong các trường hợp đó học sinh cần phải dựa vào các điều kiện đã cho ở đề bài và điều cần phải chứng minh để tìm ra cách vẽ hình phù hợp; điều này còn phụ thuộc vào tư duy của các em.
 Về phần giáo viên; tôi đã cố gắng truyền thụ cho các em những phương pháp để giải một bài tập hình nói chung và phương pháp vẽ thêm các yếu tố phụ trong những bài tập cần thiết; giúp các em có những kiến thức cơ bản để giải quyết các bài tập từ dễ đến khó. Không những làm cho các em làm quen dần với tư duy toán học một cách có hệ thống mà còn giúp các em yêu thích, say mê môn Hình học ; một môn học rất khô khan vốn làm cho nhiều học sinh không thích.
 Với những suy nghĩ của tôi đã nêu ở trên, hy vọng rằng sẽ góp một phần nhỏ giúp cho việc giảng dạy môn Hình học lớp 7 thuận lợi hơn, giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức một cách nhanh nhạy, tăng cường khả năng tư duy sáng tạo của các em, góp phần giúp các em học tốt môn Hình học.
 Bài viết trên là những ý kiến chủ quan của cá nhân tôi rút ra được từ quá trình dạy học của bản thân; có thể có nhiều ý kiến chưa được sâu sắc và hoàn thiện. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các đồng nghiệp để giúp tôi tiến bộ hơn trong sự nghiệp dạy học của mình.