Đề tài Phát triển từ một bài toán tính tổng

Phát triển từ một bài toán tính tổng
I - đặt vấn đề
 Thực tiễn giảng dạy trong những năm qua cho ta thấy rằng: nếu chỉ với những bài giảng của người giáo viên thì thời lượng chương trình không thể và cũng không nên đáp ứng hết sự tìm tòi của học sinh . Hãy giành ra một “ khoảng trống ” để phát huy khả năng sáng tạo và khả năng tư duy tình huống trên những ví dụ cụ thể từ đó khơi dâỵ những tiềm năng sẵn có của các em. 
 Niềm say mê trong quá trình học tập là tính sáng tạo. Tính sáng tạo được coi như vấn đề khó và khả năng thực hiện sẽ như thế nào? Giúp học sinh hiểu rằng sáng tạo không phải là bắt chước, mà cần làm sáng tỏ tính tự nhiên, cho phép đem lại giải pháp tối đa về một vấn đề nào đó .Một bài toán có thể có nhiều cách giải, với một phương pháp giảng dạy đúng đắn người giáo viên định hướng cho học sinh nắm bắt cốt lõi của vấn đề để từ đó đưa ra kết quả đúng với những cách giải của riêng các em .Để làm người trợ giúp đắc lực cho quá trình đó người giáo viên có thể đưa ra những gợi ý,những dạng toán ..vv
 Trong khi tự mình giải và đi tìm phương pháp tối ưu cho một dạng toán,giáo viên cũng tìm thấy ở đó nhiều điều thú vị bồi dưỡng thêm kiến thức và kinh nghiệm sư phạm của mình.
 Vì vậy, với một số bài toán nhỏ mà tôi nêu ra dưới đây đều có cùng một dạng được phát triển từ một bài toán cụ thể có thể coi như những ví dụ tiêu biểu minh chứng cho luận điểm của mình
.
II - Nội dung 
 õBài toán 1:Cho A =1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100. Tính giá trị của A
Lời giải 1:Theo đề bài ta có:
A.3=(1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ +98.99(100-97)+99.100(101-97) =1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-3.4.5+4.5.6-4.5.6--97.98.99+98.99.100-98.99.100-99.100.101=99.100.101.
Vậy A = = 333300
 Bây giờ ta tạm thời quên đi đáp số 333300 mà chỉ chú ý tới tích cuối cùng 99.100.101 trong đó 99.100 là số hạng cuối cùng của A và 101là số tự nhiên kề sau của 100 , tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp. Ta dễ dàng nghĩ tới kết quả sau:
1.2+2.3+3.4+4.5+5.6 ++n(n+1)= .
Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết quả này bằng cách giải tuơng tự như trên.
Bây giờ ta tìm lời giải khác cho bài toán .
Lời giải 2:
A.3=(1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =(0.1+1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100).3 =[1.(0+2)+3(2+4)+5(4+6)++97(96+98)+99(98+100)].3 =(1.1.2+3.3.2+5.5.2++97.97.2+99.99.2).3 =(12+32+52++972 +992).2.3=(12+32+52++972+992).6.
Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đàu từ 1,nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có:
(12+32+52++972+992).6=99.100.101, hay (12+32+52++972+992)=
=166650
Hoàn toàn hợp lí khi ta nghĩ ngay tới bài toán tổng quát:
Bài toán 2: Tính tổng:
P=12+32+52+72+92++(2n+1)2
(Kết quả :P=)
Kết quả này có thể chứng minh theo một chách khác , ta sẽ xem xét sau
Sau đây là một số bài toán có liên quan tới bài toán 1 và bài toán 2 chúng ta có thể ứng dụng những kết quả đó để giải và suy nghĩ tìm ra hướng giải nhanh nhất
Bài toán 3
Tính tổng:
Q = 92+112+132+152++(2n+1)2.
Bài toán 4:
Cho A = 1.2+2.3+3.4++97.98+98.99+99.100và C = A + 100.101. Tính giá trị C.
Theo cách tính A của bài toán 1, ta được kết quả :C = 
Theo lời giải 2 của bài toán 1, ta đi đến kết quả : C=2(22+42+62++982+1002)
Tình cờ. Ta lại có kết quả của bài toán tổng quát : Tính tổng bình phương của các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2
Bài toán 5 : Chứng minh rằng ;
22+42+62++(2n)2 =
Từ đây. ta tiếp tục đề xuất và giải quyết được các bài toán khác
Bài toán 6
Tính tổng : 202+ 222++482+502.
Bài toán 7 :
Cho n ọ N* . Tính tổng : n2+(n+2)2+(n+4)+(n+100)2.
ở bài toán này ta xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ; áp dụng kết quả bài toán 2 , bài toán 5 và cách giải bài toán 3
Bài toán chỉ có một kết quả duy nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của n .
Bài toán 8 :
Chứng minh rằng : 12+22+32++n2=.
Lời giải 1
Xét trường hợp bài toán n chẵn ;
12+22+32++n2=(12+32+52+(n-1)2+(22+42+62++n2) = ==.
Tương tự với trường hợp n lẻ ta có điều phải chứng minh
Lời giải 2 :
Ta có : 13=13
23=(1+1)3=13+3.12.1+3.1.12+13
23=(2+1)3=23+3.22.1+3.2.12+13
(n+1)3=n3+3n2.1+3.n.12+13
Cộng từng vế của các đẳng thức trên :
13+23+33++n3+(n+1)3=(13+23+33++n3)+3(13+23+33++n3)+3(1+2+3+.+n)+(1+n) ( n+1)3= 3 (12+22+32++n2)+3(1+2+3++n) =(n+1)3-3(1+2+3++n)-(n+1)= (n+1)2.(n+1)-3.-(n+1) = = 12+22+32++n2=.
Lời giải 3:
12+22+32++n2 = 1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)++n.(n+1-1)=((1.2+2.3+3.4+4.5++n.(n+1))-(1+2+3+4++n) =-=.
Bài toán 9 : Tính giá trị biểu thức :
A = -12+22-32+42--192+202
Lời giải :
Đương nhiên , ta có thể tách A = ( 22+ 42++202)-(12+32++192); Tính tổng các số trong mỗi ngoặc đơn rồi tìm kết quả của bải toán . Song ta còn cách giải như sau :
A=(22-12)+(42-32)++(202-192 )= (2+1).(2-1)+(4-3).(4+3)++(20+19).(20-19)=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39==210
Trở lại bài toán 1 . A .3 vì 3 là số tự nhiên liền sau của 2 trong nhóm đầu tiên : 1.2.Nếu đúng như thế thì ta có thể giải được bài toán sau
Bài toán 10:
Tính A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11)
Lờ giải:
A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11 =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11). =[1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+4.5.6.(7-3)+5.6.7.(8-4)+6.7.8.(9-5)+7.8.9.(10-6)+8.9.10(11-7)+9.10.11.(12-8)]:4 
 =(1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5++7.8.9.10-7.8.9.10+8.9.10.11-8.9.10.11+9.10.11.12):4 = =3170
Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có ngay kết quả tổng quát của bài toán 10
Bài toán 11:
Tính A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5++(n-1).n.(n+1).
Đáp số: A= .
Các bạn tháy đấy, chỉ với một bài toán ta đã tìm ra được nhiều cách giải, đề xuất được những bài toán thú vị, thiết lập được môí liên hệ giữa các bài toán.
III - Kết luận
Trên đây là một ví dụ tôi nhỏ đưa ra tham khảo. chắc còn nhiều cách phát triển hay hơn nữa mong các đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến hoàn thiện hơn. 
 ngày 18 tháng 3 năm 2005