Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh năm học 2004 - 2005 môn: Toán 6 thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
	Tính
a/ A = 
b/ B = 
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng: 1028 + 8 chia hết cho 72
b/ Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + . . . + 22001 + 22002
	 B = 22003
So sánh A và B
c/ Tìm số nguyên tố p để p + 6; p + 8; p + 12; p + 14 đều là các số nguyên tố.
Câu 3 (2 điểm)
	Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em.
Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ?
Câu 4 (3 điểm)
	Cho +ABC có BC = 5,5 cm. Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM = 3 cm.
a/ Tính độ dài BM
b/ Biết BAM = 800; BAC = 600. Tính CAM
c/ Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK = 1 cm.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng:
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 6
Câu 1: 
Tính
a/ A = 	(1 điểm)
b/ B = 	(1 điểm)
Câu 2:
a/ Vì 1028 + 8 có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên tổng đó chia hết cho 9
Lại có 1028 + 8 có 3 chữ số tận cùng là 008 nên chia hết cho 8
Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72	(1/2 điểm)
b/ Có 2A = 2 + 22 + 23 + . . . + 22002 + 22003 => 2A – A = 22003 – 1
=> A = B – 1. Vậy A < B.	(1/2 điểm)
c/ Xét phép chia của p cho 5 ta they p có 1 trong 5 dạng sau:
p = 5k; p = 5k + 1; p = 5k + 2; p = 5k + 3; p = 5k + 4 (k N; k > 0)
+ Nếu p = 5k thì do p nguyên tố nên k = 1 => p = 5
+ Nếu p = 5k + 1 => p + 14 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 2 => p + 8 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 3 => p + 12 = 5(k + 3) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
+ Nếu p = 5k + 4 => p + 6 = 5(k + 2) 5 và lớn hơn 5 nên là hợp số (loại)
Thử lại với p = 5 thoả mãn	(1 điểm)
Câu 3:
Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh là: 10 - 9 = 1 (học sinh)
	(1 điểm)
Do đó số tổ là: 4 : 1 = 4 (tổ)	(1/2 điểm)
Số học sinh là: 4 . 10 – 3 = 37 (học sinh)	(1/2 điểm)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết + kết luận	 (1/2 điểm)
a/ C nằm giữa B và M 
=> BC + CM = BM	(1/2 điểm)
=> BM = 3 + 5,5 = 8,5	(1/2 điểm)
b/ C nằm giữa B và M =>AC là tia 
nằm giữa 2 tia AB và AM	 (1/2 điểm)
=> BAC + CAM = BAM
=> CAM = BAM – BAC
=> CAM = 800 – 600 = 200(1/2 điểm)
c/ Xét 2 trường hợp:
+ Nếu K nằm giữa C và M tính được BK = BC + CK = 5,5 + 1 = 6,5 (cm)
+ Nếu K nằm giữa C và B tính được BK = 4,5 (cm)	(1/2 điểm)
Câu 5:
Ta có:	 
(1/2 điểm)
(1/2 điểm)
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
Thực hiện các phép tính:
a/ 
b/ ( 1 + 2 + 3 + ... + 90 ) ( 12 . 34 - 6 . 68 ) : 
Câu 2 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng 3636 - 910 chia hết cho 45
b/ Tính x, y, z biết rằng:
x + y + z
c/ Tìm các số a, b, c biết: ( - 2a2b3 )10 + ( 3b2c4 )15 = 0
Câu 3 (2 điểm)
Một người đi từ A đến B với vận tốc 4 km/h và dự định đến B lúc 11 giờ 45 phút. Sau khi đi được quãng đường thì người đó đi với vận tốc 3 km/h nên đến B lúc 12 giờ trưa. Tính quãng đường AB, người đó khởi hành lúc mấy giờ?
Câu 4 (3 điểm)
 ở phía ngoài tam giác ABC vẽ tam giác ACE vuông cân (góc ACE = 900). Đường cao Ah của tam giác ABC và đường cao CK của tam giác BCE cắt nhau ở N. Chứng minh AN = BC.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 25 số, trong đó 4 số bất kì nào cũng có tổng là 1 số dương. Chứng minh rằng tổng 25 số ấy là một số dương
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 7
Câu 1:
 = 1	 (1 điểm)
b/ Ta có: 12.34 - 6 . 68 = 0
Do đó giá trị của biểu thức bằng 0.
Câu 2:
a/ Ta có 3636 có tận cùng bằng 6
	 910 có tận cùng bằng 1	 (1/4 điểm)
Do đó 3636 - 910 chia hết cho 5, đồng thời cũng chia hết cho 9, vậy chia hết cho 45	 (1/4 điểm)
b/ Ta có:
	(1)	
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau cho 3 tỉ số đầu ta được:
	(2)
Nếu x + y + z = 0 thì từ (1) suy ra x = 0; y = 0; z = 0.
Nếu x + y + z 0 thì từ (2) suy ra: x + y + z = 	 (1/2 điểm)
Khi đó (1) trở thành:
Do đó: 
Có 2 đáp số: (0; 0; 0) và (1/2; 1/2; -1/2)	 (1/2 điểm)
c/ Ta có: 210 . a20 . b 30 + 315 . b30 . c60 = 0
Hai đơn thức ở vế trái đều không âm mà có tổng bằng 0 nên:
	 (1/4 điểm)
Do đó b = 0, a và c tuỳ ý
hoặc a = 0; c = 0 và b tuỳ ý
hoặc a = 0; b = 0; c = 0.
Câu 3:
Ta có sơ đồ sau:
	 A	C	B	
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 4 km/h là t1 (phút)
Gọi thời gian đi CB với vận tốc 3 km/h là t2 (phút)
=> t2 - t1 = 15 (phút) và v1 = 4 km/h; v2 = 3 km/h.	 (1/2 điểm)
Ta có mà vận tốc và thờigian là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch 
nên:	 (1/2 điểm)
 => t2 = 15 . 4 = 60 (phút) = 1 (giờ)	 (1/2 điểm)
Vậy quãng đường AB bằng: 1 . 5 . 3 = 15 (km)
Và người đó khởi hành lúc: 12 - 1 . 5 = 8 (giờ)
Câu 4:
Vẽ hình, ghi giả thiết, kết luận (1/2 điểm)
Ta có: 
NAC = BCE (Góc có cạnh tương ứng
vuông góc cùng tù) (1)
	(1 điểm)
Lại có:
C2 = E 	 (2)
và AC = CE (gt)	(3) (1 điểm)
Từ (1), (2), (3) =>+ACN =+BEC (gcg)
Vậy AN = BC	 (1/2 điểm)
Câu 5: (1 điểm)
Trong 25 số đã cho, phải có ít nhất 1 số dương vì nếu cả 25 số đều âm, thì tổng 4 số bât kì là âm, trái với đề bài.
Tách riêng một số dương đó, còn lại 24 số, chia thành 6 nhóm. Theo đề bài mỗi nhóm đều có tổng mang giá trị dương nên tổn của 6 nhóm đó là số dương.
Vậy tổng của 25 số đó là số dương. 
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 7x - 6
b/ Giải phương trình: x4 - 30x2 + 31x - 30 = 0
Câu 2 (2 điểm)
a/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, với a, b, c là các số hữu tỉ. Biết rằng f(0), f(1), f(2) có giá trị nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của:	A = 
Câu 3 (2 điểm)
a/ Chứng minh rằng với 4 số bất kỳ a, b, x, y ta có
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
b/ Chứng minh rằng: x3m+1 + x3n+2 + 2 chia hết cho x2 + x + 1 với mọi số tự nhiên m,n.
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với 3 đường cao AA’, BB’, CC’.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 8
Câu 1
a/ Phân tích đa thức thành nhân tử:
x3 - 7x - 6 	= x3 - 4x - 3x - 6 
= x(x2 - 22) - 3(x + 2)	(1/2 điểm)
	 	= x(x + 2)(x - 2) - 3(x + 2)
	= (x + 2)(x2 - 2x - 3)
	= (x + 2)(x2 - 1 - 2x - 2)
	= (x + 2) [(x - 1)(x + 1) - 2(x + 1)]
	= (x + 2)(x + 1)(x - 3)	(1/2 điểm)
b/ x4 -30x2 + 31x - 30 = 0 (x2 - x + 1)(x - 5)(x + 6) = 0 (*)
Vì x2 - x + 1 = (x - 1/2)2 + 1/4 > 0	(1/2 điểm)
=> (*) (x - 5)(x + 6) = 0 	(1/2 điểm)
Câu 2 
a/ Có f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(2) = 4a + 2b + c là các số nguyên (1/2 điểm)
=> a + b + c - c = a + b nguyên => 2a + 2b nguyên => 4a + 2b nguyên 
=> (4a + 2b) - (2a + 2b) = 2a nguyên => 2b nguyên
 Vậy 2a, 2b nguyên.
b/ Có A = 	(1/2 điểm)
Đặt y = => A = y2 – 2y + 3 = (y – 1)2 + 2 2	(1/2 điểm)
=> min A = 2 => y = 1 => x = 2
Vậy min A = 2 khi x = 2	(1/2 điểm)
Câu 3
a/ Ta có (a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2
	 a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 a2x2 + 2axby + b2y2	(1/4 điểm)
	 a2y2 - 2axby + b2x2 0 (ay - bx)2 0	(1/4 điểm)
Vì bất đẳng thức cuối cùng là bất đẳng thức đúng nên bất đẳng thức phải chứng minh là bất đẳng thức đúng.	(1/4 điểm)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay - bx = 0 hay 	(1/4 điểm)
b/ Ta có x3m+1 + x3n+2 + 1 = x3m+1 - x + x3n+2 - x2 + x2 + x + 1	(1/4 điểm)
	= x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + (x2 + x + 1)	(1/4 điểm)
Ta thấy x3m - 1 và x3n - 1 chia hết cho x3 - 1 do đó chia hết cho x2 + x + 1
x3m+1 + x3n+2 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
Câu 4 
+ Có SABC = BC . AA’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHBC = BC . HA’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHAC = AC . HB’ 	(1/2 điểm)
+ Có SHAB = AB . HC’ 	(1/2 điểm)
+ ; ; 	(1/2 điểm)
=> 	
Vậy 	(1/2 điểm)
Câu 5
Do a + b + c = 1 nên 	(1/2 điểm)
Vậy 
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 1/3
Đề thi chọn học sinh giỏi thcs cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 9
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2 điểm)
a/ Tính giá trị biểu thức: P = 
b/ Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương thoả mãn a + c = 2b thì ta luôn có:	
Câu 2 (1,5 điểm)
a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 
Câu 3 (2,5 điểm) Xét đa thức P(x) = x9 + x99
a/ Chứng minh rằng P(x) luôn luôn chẵn với mọi x nguyên dương
b/ Chứng minh rằng P(2) là bội số của 100
c/ Gọi N là số nguyên biểu thị số trị của P(4). Hỏi chữ số hàng đơn vị của N có thể là chữ số 0 được không ? Tại sao ?
Câu 4 (3 điểm)
Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Hãy tìm trên Ox, Oy các điểm A, B sao cho chu vi tam giác MAB nhỏ nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn điều kiện a + b > c và |a - b| < c. Chứng minh rằng phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 luôn luôn vô nghiệm.
Đáp án đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp tỉnh
Năm học 2004 - 2005
Môn: Toán 9
Câu 1 
a/ P = 
 (1/2 điểm)	(1/2 điểm)
b/ Ta có:
VT = 	(*)	(1/4 điểm)
Từ a + c = 2b => a = 2b – c thay vào (*) ta có	(1/4 điểm)
VT = 	(**)
	(1/4 điểm)
Thay b = vào (**) ta có
VT = VP (Đpcm)	(1/4 điểm)
Câu 2
a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2x2 + 4x = 19 - 3y2 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2
 (2x + 2)2 = 6(7 - y2)	(1/4 điểm)
Vì (2x + 2)2 0 => 7 - y2 0 => 7 y2 mà y Z => y = 
	(1/4 điểm)
+ Với y = 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) 2x2 + 4x - 16 = 0
=> x1 = 4; x2 = -2.
+ Với y = 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 Z (loại)	(1/4 điểm)
+ Với y = 0 =>2x2 + 4x - 19 = 0 => x1, x2 Z (loại)
Vậy cặp nghiệm (x, y) của phương trình là: (4; 1); (4; -1); (-2; 1); (-2; -1).
b/ Nhận xét rằng nếu x = 0 thì M = 0, giá trị này không phải là giá trị lớn nhất. Vậy M đạt giá trị lớn nhất với x khác 0. Chia cả tử và mẫu cho x2 ta được:
	M = 	(1/2 điểm)
M đạt giá trị lớn nhất khi nhỏ nhất => = 2 => x = 1
Vậy M lớn nhất bằng 1/3 khi x = 1
Câu 3 Ta có P(x) = (x3)3 + (x33)3 = (x3 + x33)( x6 – x36 + x66)
	= (x + x11)(x2 – x12 + x22)(	x6 – x36 + x66)	(1/4 điểm)
a/ Với x chẵn thì x9, x99 đều chẵn	
	x lẻ thì x9, x99 đều lẻ
	=> x9 + x99 đều chẵn với mọi x nguyên dương	(1/4 điểm)
b/ Ta có x11 = 2048 nên x + x11 = 2050	(1/4 điểm)
Vì x = 2 nên các thừa số còn lại đều chẵn do đó p là bội của 4100
Vậy P(2) chia hết cho 100	(1/4 điểm)
c/ Ta có N = P(4) = 49 + 499 = (29)2 + (299)2 = (29 + 299)2 – 2 . 29 . 299
	(1/4 điểm)
Theo câu b thì số bị trf có chữ số hàng đơn vị là 0 mà số trừ lại có số hàng đơn vị khác 0 hay hiệu của chữ số hàng đơn vị khac 0
Vậy chữ số của N khác 0.
Câu 4
- Dựng A’ đối xứng với M qua Ox (1 điểm)
- Dựng B’ đối xứng với M qua Oy 
- Nối A’B’ cắt Ox tại A, cắt Oy tại B (1 điểm)
=> AM = AA’ (A Ox trung trực của A’M)
 BM = BB’ (B Oy trung trực của B’M)
	 (1/2 điểm)
=> P(AMB) = AA’ + AB + BB’ nhỏ nhất
 (vì A’, A, B, B’ thẳng hàng)
Câu 5 
Tính biệt số = [(a – b)2 – c2][(a + b)2 – c2]
	(1/2 điểm)
Vì a + b > c > 0 và 0 < | a – b| < c 
nên (a – b)2 (a – b)2 – c2 < 0
và (a + b)2 > c2 => (a + b)2 – c2 > 0
Do vậy Phương trình vô nghiệm	(1/2 điểm)