Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2007 - 2008 môn: Toán học lớp 6

Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học – Lớp 6
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I(2 điểm) : 
Tính nhanh: A = 
So sánh 2 phân số : và 
3- Rút gọn phân số A= mà không cần thực hiện phép tính ở tử 
Câu II( 3 điểm)
 1-Tìm x ,y ẻZ : 
a-	 với x – y =5
b-	 (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = -55
Cho A= 
 	Tìm nẻZ để A có giá trị nguyên
Câu III( 3,0 điểm)
 Trên cùng nửa mặt phẳng cho trớc có bờ Ox vẽ hai tia Oy và Oz sao cho số đo 
xOy=700 và số đo yOz = 300
a.	Xác định số đo của xOz
b.	Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B (điểm A không trùng với điểm O và độ dài OB lớn hơn độ dài OA ) Gọi M là trung điểm của OA . Hãy so sánh độ dài MB với trung bình cộng độ dài OB và AB.
Câu IV ( 2,0 điểm ) 
 Tìm 2 số tự nhiên a và b biết tổng BCNN với CLN của chúng là 15
Hớng dẫn chấm đề thi HSG lớp 6 năm học 2007 –2008
Câu
Nội dung yêu cầu
Điểm
1-I
0.5đ
Tính nhanh A=
 =
 =-1 +
 A= 
0,25
0,25
2-I
0.5đ
So sánh 2 phân số và
Ta có P/S : =
 P/s : = 
 Vậy 2 phân số trên bằng nhau
0,25
0,25
3-I
1.0đ
Rút gọn A= không biến đổi tử số
 =
 =
 = 
 = =
0,25
0,25
0,25
0,25
1-II
a-1-II
0,75đ
b-1-II
1,5đ
Tìm x 
Điều kiện y ạ3 ta có : 3x –12 = 4y-12 Û 3x=4y
Từ x-y=5 Û x=5+y
Ta có : 3y+15 = 4y Ûy=15
 x=5+15 = 20
Vậy x=20 ; y=15
(x + 1 ) .( 3y – 2 ) = -55
Û (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-11).5 =(-5).(11)
*Nếu : (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-11).5
Ta có (Loại)
 Hoặc
* Nếu : (x + 1 ) .( 3y – 2 ) = (-5)(11)
 Ta có : (Loại ) 
 Hoặc 
Vậy (x=4 , y=-3) hoặc ( x=-6 , y=-1)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2-II
1.0 đ
Tìm nẻZ để A= có giá trị nguyên
A== 3 + 
để A có giá trị nguyên khi có giá trị nguyên . Vậy để có giá trị nguyên thì n+4 phải là ớc của –17 .
Ta có các ớc của –17 là U-17=
Lập bảng 
x+4
-1
1
-17
17
n
-5
-3
-21
13
Vậy với n = -5 ; n=-3 ; n=-21 ; n=13 thì A có giá trị nguyên 
0,25
0,5
0,25
a-III
1.0đ
- Trờng hợp hình ( A) khi Oz nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có :
 Số đo góc xOz = 700-300 = 400
- Trờng hợp hình (B) khi Oz không nằm giữa 2 tia Ox và Oy ta có
 Số đo góc xOy = 700+300 = 1000
Vẽ đúng đợc 1 trờng hợp cho 0,25 đ
0,25
0,25
b-III
2.0đ
 - Ta có trung bình cộng sđ của BO và BA là 
 - Ta lại có BO=BA+AO nên (I)
- Mặt khác ta có BM = BA + AM mà M là trung điểm của OA nên 
BM = (II)
 - Từ (I) và (II) suy ra BM = . Hay số đo BM bằng trung bình cộng số đo của BO và BA
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
IV
2.0đ
Tìm 2 số t nhiên a, b biết tổng BCNN và UCLN của chúng bằng 15
- Gọi UCLN (a,b)=d suy ra a=d.m và b=d.n khi đó (m,n)=1.
ta có a.b = d.m.d.n. 
-Mặt khác ta có tích của 2 số bằng tích của BCNN với UCLN của 2 số đó nên .
-Ta có BCNN [a,b] = =d.m.n
-Vậy BCNN[a,b] + UCLN(a,b) = d.m.n+d=d.(m.n+1) = 15
Giả sử aÊb khi đó mÊ n và m.n+1³2 
Lập bảng
d
m.n+1
m.n
m
n
a
b
1
15
14
1
14
1
14
2
7
2
7
3
5
4
1
4
3
12
5
3
2
1
2
5
10
 Vậy ta tìm đợc các số sau:
 (a=1 ; b=14) ; (a=2 ,b=7) ; (a=3 ; b=12 ) và (a=5 , b=10)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học – Lớp 7
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1(2 điểm ):
	So sánh A và B biết :
	A=[0,8 .7+(0,8)2] . (1,25 . 7 - . 1,25 ) – 47,86
	B= 
Câu II( 2,5 điểm ) 
	1) Tìm n ẻ N biết 32 ³ 2n > 4
2) Tìm x biết: a) 
	 b) x- 
Câu III: (1,5đ)
 Tìm x , y z biết 	và x+y+z = 49 
Câu IV (2 đ) Cho tam giác ABC có A= 600 ; BM , CN ( M thuộc AC và N thuộc AB ) lần lợt là phân giác của góc ABC và góc ACB . BM và CN cắt nhau tại I 
Tính BIN
Chứng minh INM = IMN 
Câu V ( 2 điểm ) 
	 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số mà khi chia cho 11 d 5 và chia 13 d 8.
Hết 
 ( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm )
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 7
năm học 2007 – 2008
Câu
Nội dung yêu cầu
Điểm
I
A= 0,8.0,25 .(49- 0,64) = 48,36 – 47,86 = 0,5 
B= = 0,5
Vậy A=B 
1 đ
0,75đ
0,25đ
1-II
	25³ 2n > 22
Nên 5 ³ n > 2 
Mà n ẻ N nên n = 
0,25
0,25
a-2-II
Tìm x
	= 0
	2008 – x = 0
x = 2008
0,25đ
0,25
0,25đ
0,25đ
b-2-II
Tìm x
0,25
0,25
0,25
0,25
III
Ta có: 
Theo dãy tỷ số bằng nhau ta có:
=
ịx=12.
y=12.=16 
z=12.
Vậy x=18 ; y=16 và z = 15
0,5
0,5
0,25
0,25
IV
a-IV
b-IV
 -Xét tam giác IBC có NIB =IBC +ICB ( t/c ngoài )
 - Xét Tam giác ABC ABC+ACB = 1800-600 =1200(vì BAC=600)
-1	Mặt khác do BM và CN là phân giác nên 
 IBC=1/2ABC và ICB=1/2ACB
	IBC +ICB = = 60 0
-2	Vậy NIB = 600
- Kẻ phân giác IH của góc BIC 
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) ị IH=IN (1)
- CM đợc Tam giác INB = Tam Giác IHB (g.c.g) ị IH=IM (2)
- Từ (1) và(2) ị Tg IMN cân vậy INM =IMN 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
V
-3	Giả sử số cần tìm là a khi đó theo bài ra ta sẽ có:
 + a + 6 11 (a+6)+77 11 a+83 11 (1)
+ a + 5 13 (a+5) + 78 13 a+83 13 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a+ 83 BCNN (11, 13 ) mà BCNN ( 11,13) = 143 
Ta có : a+ 83 143 
	 a= 143.k – 83 ( kẻ N*)
Để a nhỏ nhất thì 143.k nhỏ nhất hay k nhỏ nhất 
 Nếu k=1 thì a= 60 là số có 2 chữ số ( Loại )
 Nếu k=2 thì a = 203 .
Vậy số 203 là số nhỏ nhất thỏa mãn đầu bài đã cho 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Phòng GD- ĐT
huyện Tĩnh Gia
Đề thi học sinh giỏi cấp huyện
Năm học 2007-2008
Môn : Toán học – Lớp 8
( Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề )
Câu I (2 điểm ) :
	1) Tính giá trị biểu thức : A= x5- 5x4+5x3-5x2+5x –1 với x=4 
	2) Tìm điều kiện để phân thức : B= có nghĩa.
Câu II ( 3 điểm )
Với giá trị nào của a phơng trình có một nghiệm duy nhất .
Tìm giá trị lớn nhất của B =
Ngời ta đặt một vòi nớc chảy vào bể nớc và một vòi chảy ra ở lng chừng bể . Khi bể cạn , nếu mở cả 2 vòi thì sau 2 giờ 42 phút bể đầy nớc . Còn nếu đóng vòi chảy ra , mở vòi chảy vào thì sau 1 giờ 30 phút bể đầy nớc . Biết vòi chảy vào mạnh gấp 2 lần vòi chảy ra .
Tính thời gian nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến lúc nớc ngang chỗ đặt vòi chảy ra?
Câu III (2 điểm ): Cho tam giác vuông ABC () Một đờng thẳng song song với BC lần lợt cắt AB và AC tại D và E .
a-	Chứng minh CB2 – CD2 = EB2 – ED2
b-	Hãy xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE. 
Câu IV :( 2 điểm ) cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng < 1 
	 	 Hết
 (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi lớp 8
Năm học 2007 – 2008
Câu
Nội dung cần đạt
Điểm
a-I
Thay x=4 vào biểu thức A ta có
A= 45- 5.44 +5.43- 5.42 + 5.4 –1
 = 45 – (4+1).44 +(4+1).43 -(4+1).42 + (4+1).4 –1 
 = 45- 45 – 44+ 44 + 43 – 43 – 42 + 42 +4 – 1
A = 3 
0,25
0,25
0,25
0,25
b-I
Tìm điều kiện để phân thức B= có nghĩa
Để B có nghĩa khi x2- 7x + 12 ạ 0
 Û x2 – 4x – 3x + 12ạ 0
 Û x(x-4) –3(x-4) ạ 0
 Û (x-4).(x-3) ạ 0
 Û x ạ4 ; xạ 3.
Vậy điều kiện để B có nghĩa là mọi x ạ3 và xạ 4 
0,25
0,25
0,25
0,25
1-II
Điều kiện để PT 
nếu có nghiệm là xạ-1 ; 1 
ta viết PT dới dạng 
x-a2x+a = 1
(1-a2).x = 1- a.
- Nếu a ạ-1: 1 thì x= là nghiệm nếu ạ 1 ; -1 hay aạ0 và aạ -2
- Nếu a=1 thì 0x = 0 phơng trình có vô số nghiệm khác –1 và 1
- Nếu a=-1 thì 0x=2 PT vô nghiệm 
Vậy để phơng trình có nghiệm duy nhất thì aạ1 , aạ-1 , aạ0 và aạ -2
0,1
0,2
0,1
0,2
0,2
0,2
2-II
* Tìm giá trị lớn nhất của B=
B= 
B= 3 + 
B= 3 +
Để B có giá trị lớn nhất khi (I) có giá trị lớn nhất . Mà để (I) có giá trị lớn nhất khi (x+1)2+ 2 (II) có giá trị bé nhất . (II) có giá trị bé nhất khi (x+1)2 = 0 hay x=-1 
Vậy Max B = khi x= -1
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
3-II
- Gọi thể tích bể nớc quy ớc là 1 ( đơn vị thể tích ) . Gọi Thời gian vòi nớc chảy vào từ lúc bể cạn đến mực nớc nơi vòi chảy ra là x ( x>0 ; đv thời gian).
Theo bài ra ta có: 
- Trong 1 giờ vòi chảy vào đợc là (thể tích bể)
- Trong 1 giờ vòi chảy ra chảy đơc ( thể tích bể)
- Vậy nếu mở đồng thời cả vòi chảy vào và vòi chảy ra thì lợng nớc trong bể trong thời gian chảy 1 giờ là : (thể tích bể)
- Trong x giờ đầu , chỉ có 1 vòi chảy vào nên lợng nớc trong bể là (I)
-Thời gian cả 2 vòi chảy vào và ra sẽ là (2h42’ – x) hay 2,7h – x
- Lợng nớc trong khoảng thời gian (2,7h –x) ở trong bể khi cả 2 vòi chảy ra , chảy vào là : (II)
- Từ (I) và (II) ta có phơng trình : + = 1
- Giải phơng trình x=0,3 . 
- Trả lời : để vòi chảy vào từ khi bể cạn đến mực nớc đầy đến nơi đặt vòi chảy ra là 0,3 h 
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
III
a-III
1.0đ
b-III
2.0đ
a)	*-Xét D ADC có DC2 = AC2+AD2 (Pitago)
-Xét DABC có BC2=AC2+AB2 ( Pitago)
 - Vậy BC2- CD2 = AC2+AB2 – AC2-AD2 = AB2-AD2 ( I)
 *- Xét D ADE có ED2 = EA2+AD2
 - Xét D ABE có BE2= EA2+AB2 
 - EB2-ED2 = EA2 +AB2 – EA2 – AD2 = AB2-AD2 (II)
 Từ (I) và (II) suy ra CB2 – CD2 = EB2 – ED2 ( đpcm)
b)	Phân tích : Giả sử Ta xác định đợc điểm D thoả mãn DC2=BC.DE khi đó ta có :
 (I)
 Mặt khác ta có é EDC=é DCB (so le trong ) (II)
 Từ I và II ta suy ra đợc tam giác EDC phải đồng dạng với tam giác DCB 
 Từ đó suy ra đợc Góc ACD = Góc ABC 
 Vậy để xác định điểm D thoả mãn DC2=BC.DE . Qua điểm C vẽ góc ACx về phía nửa mf chứa điểm B sao cho góc ACx bằng góc B. Tia Cx cắt AB tại đâu thì đó là điểm D 
 Cách dựng : 
-0	Dựng góc ACy= Góc B Cắt AB tại D
 Chứng minh 
-1	Kẻ DE //BC ta có 
-2	DCED Đồng dạng với DBDC có ị CD2=BC.DE
Biện luận : - Bài toán có duy nhất một điểm D
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
Ta biết nếu <1 Û -1< x < 1 Û
Ta có chứng tỏ 
Thật vậy luôn đúng 
Vậy ( 1)
Tơng tự (2)
 (3)
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức (1) ,(2),(3) ta đợc
<=1 
Tơng tự ta cũng có <1 
Suy ra đợc < 1 ( đ.p.c.m)
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25