Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7

Phòng giáo dục - đào tạo tp nd
Trường THCSTrần Đăng Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Năm học 2009-2010
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1:
Tìm x, y biết:
Bài 2:
Chứng minh rằng: với mọi x là số nguyên thì biểu thức:
P(x) = có giá trị nguyên.
Bài 3:
Cho đa thức f(x) = ax2+ bx+ c.
Chứng tỏ rằng: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2 ;x3 mà x1 x2 x3 thì a = b = c = 0
Bài 4:
Cho tam giác ABC vuông tại A; AB < AC. Gọi I là trung điểm AC. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc BC, qua C kẻ đường thẳng vuông góc AC, chúng cắt nhau tại E.Chứng minh rằng: AE vuông góc với BI.
Bài 5:
Cho tam giác ABC, góc C bằng 450, góc A lớn hơn góc C và khác 900. Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, vẽ tia Bx sao cho CBx = CBA. Đường thẳng Bx cắt AC tại D. Kẻ AH vuông góc với BD, H thuộc BD. Tính góc CDH.
đáp án chấm hsg Toán 7
Bài 1: 4 điểm
Vì (1)
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
=> (2)
* Nếu 2x+3y-1 0
Từ (2) => 6x = 12 => x = 2
Mà => 3y - 2 = 7 => y = 3 
* Nếu 2x + 3y - 1 = 0
Từ (1) => = 0 => 2x + 1 = 3y -2 = 0 
=> x = ; y = 
Vậy: và thoả mãn đề bài.
* Nếu HS không xét 2 trường hợp của 2x+3y-1 thì chỉ được 1,5 điểm toàn bài
1,5 điểm
1 điểm
1 điểm
0,5 điểm
Bài 2: 3 điểm
+ Ta có: P(x) = = 
= + 
= + 
+ Chứng minh: Với x Z thì : 
x(x-1)(x+1) 6
3x2(x+1) 6
=> Z 
mà Z 
 => + Z 
=> P(x)Z 
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 3: 4 điểm
Vì x1 ;x2 ;x3 là các nghiệm của đa thức f(x) = ax2+ bx+ c nên ta có:
ax12+ bx1+ c = 0 (1)
ax22+ bx2+ c = 0 (2)
ax32+ bx3+ c = 0 (3)
+) Nếu a = 0 thì: 
 => b(x1 - x2) = 0 mà x1 x2 => x1 - x2 0
 => b = 0 => c = 0
vậy a = b = c =0
+) Nếu a 0, chia 2 vế của (1) và (2) cho a, ta có:
ax12+ bx1+ c = 0 => x12 + x1 + c = 0
ax22+ bx2+ c = 0 => x22 + x2 + c = 0
=> x12 + x1 + c - (x22 + x2 + c ) = 0
=> (x12 - x22) + (x1 - x2) = 0
=> (x1 + x2)(x1 - x2) + (x1 - x2) = 0
=> (x1 - x2)(x1 + x2 + ) = 0 mà x1 x2 => x1 - x2 0
=>x1 + x2 + = 0 => x1 + x2 = - 
Chứng minh tương tự, ta cũng có: x2 + x3 = - 
=>x1 + x2 = x2 + x3 => x1 = x3 (Vô lý vì x1 x3) -> loại.
Vậy: nếu f(x) có nghiệm x1 ;x2 ;x3 mà x1 x2 x3 thì a = b = c = 0
0,5điểm
1 điểm
2 điểm
0,5 điểm
Bài 4: 4 điểm
 E
B
A // //
 I C
 M
+) Gọi M là gđiểm của BA và EI
=> AIM = CIE (g.c.g)
=> IM = IE (2 cạnh t/ư)
+) AIE = CIM (c.g.c)
=> EÂI = MCI (2 góc t/ư)
=> AE // CM (dấu hiệu nhận biết...)
+) Xét BMC có: CA BM; MI BC
CA cắt MI tại I
=> I là trực tâm của BCM
=> BI CM (tính chất 3 đg` cao)
Mà AE // CM (cmt)
=> BI AE (quan hệ giữa tính và tính //)
1điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bài 5: 5 điểm
	y
 A
 3 2 1
 12 C
B
H
* Nếu BÂC > 900: 
+) Gọi Ay là tia đối của tia AB
=> Â1 = B1 + 450 (tính chất góc ngoài )
Trong AHB: Â3 = 900 - ABD = 900 - 2B1
Mà Â1 + Â2 + Â3 = 1800
=> Â2 = 1800 -(Â1 + Â3) = 1800 - (B1+ 450+900 -2B1)
=> Â2 = 450 + B1
=> Â1 = Â2 => AC là tia phân giác của HÂy
=> C cách đều 2 cạnh AH và Ay 
 (tính chất tia phân giác của góc) (1)
 +) Vì B1=B2 => BC là tia phân giác ABD
 D x => C cách đều 2 cạnh BA và BD
 (t/c tia p/g của góc) (2)
Từ (1) và (2) => C cách đều 2 cạnh HA và HD
=> HC là tia phân giác của AHD 
 (tính chất tia phân giác của góc)
=> CHD = AHD = 450 
1,5điểm
1 điểm
0,5điểm
D
 y
 4 A 
 1 2 1
 H
 B 12 C
 x
* Nếu 450 < BÂC < 900:
+) Ta có: Â2 = 1800 -(B2 + C) = 1350 - B2
Â1 = Â4= H1 - D = 900 - D (1)
 (tổng 2 góc nhọn trong vuông )
Mặt khác: B1 = C + D (tính chất góc ngoài BCD )
=> D = B1 - C = B1 - 450
Thay vào (1) ta có:
Â1 = 900 -(B1 - 450) = 1350 -B1 =1350 -B2
=> Â1 = Â2
+) Chứng minh tương tự như phần a)
Ta có: HC là phân giác của AHB
=> H3 = 450
Mà CHD + H1 = 1800 (2 góc kề bù)
=> CHD = 1350
1 điểm
1 điểm
* Lưu ý:
- Bài 5: nếu học sinh sử dụng bài toán phụ để làm bài thì phải chứng minh BTP (1 điểm)
- Học sinh làm cách khác đúng thì cho điểm tương đương.
Phòng giáo dục - đào tạo
Trường THCSTrần Đăng Ninh
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 7
Học kì I - Năm học 2010-2011
Thời gian làm bài : 150 phút
Bài 1:
Cho hàm số y = (a +1) + a2 - 4.
Tìm a biết đồ thị hàm số trên đi qua điểm A(4; - 4)
 Vẽ đồ thị hàm số theo giá trị của a vừa tìm được và x 0.
Bài 2:
Cho các số tự nhiên a, b, c, d thoả mãn: a + b = c + d và ab = cd +1.
 Chứng minh rằng: a = b
Bài 3:
Chứng minh rằng: 
Nếu a, b, c, d, nN thì số M = (a2 + b2)(c2 + d2) và số P = 2n(a2 + b2) có thể viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai số tự nhiên.
Bài 4:
Cho tam giác ABC, góc C = 600. Kẻ phân giác AD, BE, chúng cắt nhau tại O. (D thuộc BC, E thuộc AC) . Tính các góc của tam giác DOE?
Bài 5:
Cho tam giác ABC, góc A < 900. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ BDAB, BD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ CEAC, CE = AC . Gọi M là trung điểm của DE. Xác định dạng của tam giác MBC và chứng minh?
	************************