Đề thi học sinh giỏi vòng cụm lớp 8 - Năm học 2008 - 2009 môn: Toán

 phòng GD - ĐT Hạ Hoà
 Cụm thi THCS Hạ Hòa
Đề thi học sinh giỏi vòng cụm 
lớp 8 - Năm học 2008-2009
Môn: Toán
 Thời gian : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) 
Ngày thi : 20.05.2009
Câu 1: Chứng minh rằng: 
 Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho 9.
Câu 2. Cho biểu thức: 
Rút gọn A
Tính giá trị của A biết 3a2 + 3b2 = 10ab và a > b > 0
Câu 3. Giải phương trình:
Câu 4. 
 Cho hỡnh vuụng ABCD cạnh a, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc cạnh AD sao cho CM=AN. Cỏc đường thẳng AM,BN cắt CD theo thứ tự ở E,F.
 a)Chứng minh CE.DF=a2.
 b)Gọi I là giao điểm của FA và EB.Chứng minh tam giỏc CEB đồng dạng với tam giỏc DAF và gúc EIF=900.
 c) Cỏc điểm M và N cú vị trớ như thế nào thỡ EF cú độ dài nhỏ nhất .
	Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Hướng dẫn chấm môn Toán.
Lời giải
Điểm
Câu 1: (2 đ) Chứng minh rằng: Tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì luôn chia hết cho 9.
Xét A=n3+(n+1)3+(n+2)3 Với n là số nguyên tùy ý
Ta có A=....=3n3+9n2+15n+9 =(3n3-3n)+9(n2+2n+1)
 =3n(n-1)(n+1)+9(n+1)2 
Có 9(n+1)2 chia hết cho 9
Lại có n;n-1;n+1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3,
do đó: 3(n(n-1)(n+1)chia hết cho 9. 
Vậy A chia hết cho 9 với mọi số nguyên n. 
0,25
0,75
0,25
 0,5
 0,25
Câu 2. (2 đ) a) Rút gọn: 
b)Từ 3a2 + 3b2 = 10ab biến đổi ta có: (3a-b)(a-3b)=0
 vì a > b > 0 nên 3a-b>0 do đó: a-3b=0 Û a=3b 
Thay a=3b vào biểu thức A ta có: A=3/35 . 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu 3. Giải phương trình:
 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=4015
b) Ta có: (x2-9)2=12x+1
 Û(x2-9)2+36x2=36x2+12x+1Û(x2-9)2+36(x2-9) +182=36x2+12x+1
 Û(x2-9+18)2=(6x+1)2 Û(x2+9)2=(6x+1)2
 Û(x2-6x+8)(x2-6x+10)=0Û(x-2)(x-4) [(x-3)2+1]=0
 Û x=2 hoặc x=4 
Vậy Phương trình có tập nghiệm là S={2;4}
______________________________________________________ 
Câu 4: Vẽ hình:
a) Vì ABCD là hình vuông nên ta có AB//EF
Theo hệ quả của định lý Thalets ta có:
b)Ta có:
Do đó:CEB=DAF ịCEB+AFD=DAF+AFD=900ịDIFE vuông tại ỊEIF=900.
c) Ta có (CE-DF)2>0 Û (CE+DF)2 > 4CE.DF Dấu bằng xảy ra Û CE=DF
Theo a) CE.DF=a2 nên(CE+DF)2 > 4CE.DF=4a2 Dấu bằng xảy ra Û CE=DF=a 
Nên EF>3a. Giá trị nhỏ nhất là EF=3a đạt được khi CE=DF=a Û M;N là trung điểm của BC;AD
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,75
0,5
0,75
0,75
0,25
0,5
0,25