Giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

Phòng GD – ĐT Huyện Thuận Bắc CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Trường THCS Hà Huy Tập	 Độc Lập – Tự Do – Hạnh Phúc
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN DỰA VÀO TÍNH CHẤT CỦA TỶ LỆ THỨC
	Tên: kysibongdem1089@yahoo.com
	Chức vụ: Giáo viên. Dạy môn Toán 7
I/- Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến kinh nghiệm:
 Toán học không những là môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội mà nó còn góp phần quan trọng trong phát triển chủ thuể xã hội đó là con người. Là một giáo viên dạy toán 7 tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 ( kể cả học sinh có năng lực ) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết tỷ lệ thức để vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập học sinh còn lúng túng nhiều từ việc tìm ra hướng giải quyết đến việc thực hiện các bước giải kể cả những bài tương đối đến khó.Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức khá quan trọng trong việc tìm đọ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác trong, trong các tam giác đồng dạng
 Chính vì vậy sau khi học xong kiến thức tỷ lệ thức tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7/1 ( lớp tôi trực tiếp giảng dạy ) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức và kết quả như sau:
Lớp
Số HS được khảo sát
Số HS giải được
Số HS biết hướng nhưng không giải được
Số HS không thể giải được
SL
%
SL
%
SL
%
7/1
37
3
8
6
16
28
76
Để góp phần nâng cao chất lượng, giúp học sinh hình thành kỷ năng giải toán trong trường THCS. Bản thân tôi đã nghiên cứu phần “ giải một số bài toán dựa vào tính chất của tỷ lệ thức” chương trình lớp 7 nhằm hình thành năng lực giải toán cho học sinh THCS
Vì điều kiện thời gian cũng như trình độ kiến thức còn hạn chế nên tôi chỉ đi vào một số vấn đề sau;
 * Lý thuyết:
 - Định nghĩa tỷ lệ thức
 - Tính chất của tỷ lệ thức 
 * Bài tập:
 - Lập tỷ lệ thức
 - cho một tỷ lệ thức suy ra các tỷ lệ thức khác.
 - Các bài toán thực tế trong đời sống liên quan đến tỷ lệ thức.
II/- Quá trình thực hiện và các giải pháp:
 Thời gian từ thang 8 năm 2010 đến hết tháng 2 năm 2011
Để đề tài đạt hiệu quả ta cần chú trọng tới phương pháp dạy khái niệm, tính chất, kiến thức mới, phương pháp dạy tiết luyện tập. Ta cần thức hiện các bước sau;
 Bước 1: Nhắc lại một cách hệ thống các nội dung ly thuyết đã học, sau đó mới mở rộng cho phép khắc sâu lý thuyết thông qua kiểm tra miệng hoặc bài tập tập trác nghiệm đúng sai với hệ thống từ đơn giản đến khó.
 Bước 2: Cho học sinh trình bày bài tập ở nhà để kiểm tra học sinh về kỹ năng vân dụng lý thuyết giải bài tập, kỹ năng tính toán, cách diễn đạt bằng lời, cách trình bày lời giải bài toán. Phải chót lại cá vấn đề có tính giáo dục( phân tích cách giải đúng sai ở từng bài rồi đưa ra cách giải thong minh, hợp lý, ngắn gọn hơn..)
 Bước 3: cho học sinh trình bày làm một bài tập mới theo chủ định của giáo viên nhằm kiểm tra ngay sự hiểu biết của học sinh, khắc phục những sai xót học sinh mắc phải. Rèn luyên ,ột kỹ năng hoặc một thuật toán nào đó cơ bản cho học sinh mà giáo viên cho là cần thiết trong thời điểm này.
 NỘI DUNG KIẾN THỨC NGHIÊN CỨU
*Lý thuyết:
 1. Định nghĩa:
 Tỷ lệ thức là một dẳng thức của hai tỷ số hoặc a : b = c : d.
Trong đó các số a, b, c, d được gọi là số hạng của tỷ lệ thức. Các số a và d gọi là ngoại tỷ, b và c gọi là trung tỷ.
 2. Tính chất:
 a. Tính chất 1: Nếu thì a.d = b.c
 b. Tính chất 2: Nếu a,d = c.d ( a,b,c,d khác 0) thì:
 ; ; ; 
 c. Tính chất 3: a, = (b ≠ )
 b, = (Các mẫu số khác 0).
 * Bài tập:
 Dạng 1: Lập tỷ lệ thức
Bài 1: Các tỷ số sau đây có lập thành tỷ lệ thức hay không:
a,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 có lập thành tỷ lệ thức hay không :
b, 4,86: ( -11,34) và ( -9,3) : 21,6
 Giải:
 a, có ( 0,3) : 2,7 
 (- 1,71 ) : 15,39 vậy ( - 0,3 ) : ( 2,7 ) = ( -1,71) : 15,39
Suy ra các tỷ số ,( - 0,3 ) : ( 2,7 ) và ( -1,71) : 15,39 lập thành tỷ lệ thức
b, Tac có : 4,81 : ( 11,34 )
 -9,3 : 21,6 vậy 4,86 : ( 11,34 ) -9,3 : 21,6
Nên các tỷ số đã cho không lập thành mootjt ỷ lệ thức.
Bài 2: Lập tất cả các tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau:
a, 7 . ( -28 ) = (-49 ). 4
b, 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17
 Giải:
a,Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:
7 . ( -28 ) = (-49 ).
b, Từ 0,36 . 4,25 = 0,9 . 17 áp dụng tính chất của tỷ lệ thức ta có:
Bài 3: Lập tất cả các tỷ lệ thức có thể có được từ các số sau: 5; 25; 125; 625
 Giải: 
Ta có đẳng thức: 5.625 = 25.125 Từ đó ta có 5 tỷ lệ thức:
Bài tập vận dụng:
1/ Lập tất cả các dãy tỷ lệ thức có được từ đảng thức sau:
.a, 6.6,3 = 9.42
.b, 0,24.1,61 = 0,84.0,46
2/ Lập tất cả các dãy tỷ lệt hức có thể được tuef tỷ lệ sau:
3/ Từ các tỷ số sau đây có thể lập thành tỷ lệ thức không?
 .a, 3,5 : 5, 25 và 2,1 : 3,5
 .b, và 2,1 : 3,5
D¹ng 2: Cho tØ lÖ thøc, h·y suy ra tØ lÖ thøc kh¸c:
a, VÝ dô: Cho tØ lÖ thøc: ;
h·y chøng minh ta cã tØ lÖ thøc sau:
 ( gi¶ sö a ≠ b; c ≠ d; a,b,c,d ≠ 0 )
b, C¸c c¸ch gi¶i:
* C¸ch 1: §Ó chøng minh ta xÐt t­êng tÝch a.(c-d) vµ c.(a-b).
Ta cã: a.(c-d) = ac - ad (1)
 c.(a-b) = ac - cb (2)
Ta l¹i cã: a.d = b.c (3)
Tõ (1), (2), (3) a(c-d) = c(a-b)
Do ®ã: 
* C¸ch 2: Dïng ph­¬ng ph¸p ®Æt
 = K th× a = bK ; c = dK
Ta tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c tû sè: theo K ta cã:
 (1)
 (2)
Tõ (1) vµ (2) .
* C¸ch 3: Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña tû lÖ thøc:
 ta ®­îc 
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta ®­îc:
Ho¸n vÞ c¸c trung tû cña ta ®­îc .
* C¸ch 4: tõ 
 .
Tõ 4 c¸ch trªn ta ®i ®Õn nhËn xÐt. §Ó chøng minh tû lÖ thøc th­êng ta dïng 2 ph­¬ng ph¸p chÝnh :
Ph­¬ng ph¸p 1: chøng tá r»ng ad=bc.
Ph­¬ng ph¸p 2: Chøng tá 2 tû sè vµ cã cïng mét gi¸ trÞ.
 NÕu trong ®Ò tµi ®· cho tr­íc mét tû lÖ thøc kh¸c th× ta ®Æt c¸c gi¸ trÞ cña méi tû sè ë tû lÖ thøc ®· cho b»ng K, råi tÝnh gi¸ trÞ cña mçi tû sè ë tû lÖ thøc ph¶i chøng minh theo K (c¸ch 2). Còng cã thÓ ta dïng c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc nh­ng ho¸n vÞ c¸c sè h¹ng tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau. TÝnh chÊt cña ®¼ng thøc ®Ó biÕn ®æi tû lÖ thøc ®· cho ®Õn tû lÖ thøc ph¶i chøng minh (c¸ch 3 vµ 4).
c, Bµi tËp vËn dông:
Bµi 1: cho tû lÖ thøc sau 
H·y chøng minh r»ng c¸c tû lÖ thøc sau ®©y (gi¶ thiÕt c¸c tû lÖ thøc ®Òu cã nghÜa). 
a, 
b, 
c, .
Tõ 4 c¸ch gi¶i ë vÝ dô mµ gi¸o viªn ®· ra, Häc sinh cã thÓ gi¶i theo mét c¸ch, Gi¸o viªn nhÊn m¹nh gi¶i theo c¸ch 2 vµ h­ìng dÉn häc sinh cïng thùc hiÖn.
Gi¶i:
§Æt = K th× a = bK vµ c = dK
a, (1).
 (2).
Tõ (1) vµ (2) 
C©u: (b, c) häc sinh tù gi¶i.
d, bµi tËp tù gi¶i:
* Bµi 1: cho a, b, c, d ≠ 0 Tõ tû lÖ thøc 
 h·y suy ra tØ lÖ thøc 
* bµi 2: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc: 
.
* Bµi 3: Chøng minh r»ng tû lÖ thøc:
 HÖ thøc a2 = bc.
- D¹ng 3: T×m c¸c sè ch­a biÕt khi biÕt c¸c tû lÖ thøc
a, C¸ch gi¶i:
* ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau.
* VËn dông tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n sè.
* §Æt tû lÖ thøc ®· cho b»ng K. t×m mèi quan hÖ cña Èn sè qua K.
b, VÝ dô:
+ VÝ dô 1:
T×m 2 sè x, y biÕt: vµ x + y = 21
BiÕt: 7x = 3y vµ x – y = 16
Gi¶i:
Tõ ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
 Do ®ã: x = 5.3 = 15 ; y = 2.3 = 6.
Tõ 7x = 3y 
 x = ; y = .
VÝ dô 2: 
T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng vµ 2x + 3y – z = 186
Víi bµi nµy gi¸o viªn cho häc sinh nhËn thÊy vµ ph¶i ®­a vÒ c¸c ph©n sè
( hoÆc tØ sè) cã cïng chung mÉu sè lµ 20.
VËy: hay (1)
T­¬ng tù: (2)
Gi¶i:
Tõ gi¶i thiÕt: ; 
Theo tÝnh chÊt b»ng nhau cña tØ lÖ thøc:
c, Bµi tËp vËn dông:
T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
Gi¶i:
¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tû sè b»ng nhau ta cã:
=
= v× ( x + y + y ≠ 0 ).
Do ®ã: x + y + z = 0,5 x + y = 0,5 – z. T­¬ng tù t×m x + z vµ y + z; thay kÕt qu¶ nµy vµo ®Ò bµi ta ®­îc:
.
Tøc lµ: 
VËy: .
d, Bµi tËp tù gi¶i:
Bµi 1: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng:
a, vµ a + 2b - 3c = -20.
b, vµ a – b + c = -49.
c, vµ .
Bµi 2: T×m c¸c sè x, y, z biÕt r»ng:
a, vµ 5x + y - 2z = 28.
b, 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x – y + z = 32.
c, vµ 2x – 3y + z = 6.
d, vµ x + y +z = 49.
e, vµ 2x + 3y – z = 50.
g, vµ xyz = 810.
D¹ng 4:
Bµi tËp vËn dông tû lÖ thøc vµo thùc tiÔn, ®êi sèng con ng­êi, vµo h×nh häc .
a, VÝ dô 1: T×m sè ®o c¸c gãc cña tam gi¸c ABC biÕt r»ng sè ®o c¸c gãc nµy tû lÖ víi 2, 3, 4.
Gi¶i:
Sè ®o c¸c gãc cña rABC lµ ; ; . Gi¶ sö theo thø tù nµy, c¸c gãc ®ã tØ lÖ víi 2, 3 vµ 4 nghÜa lµ : : = 2 : 3 : 4 hay 
Do ®ã: ; ; 
b, VÝ dô 2: 
Mét ng­êi ®i A B ®· tÝnh r»ng nÕu ®i víi vËn tèc lµ 6km/h th× tõ B lóc 11h45’. V× r»ng ng­êi ®ã chØ ®i ®­îc qu·ng ®­êng víi vËn tèc ®Þnh tr­íc vµ qu·ng ®­êng cßn l¹i chØ ®i víi vËn tèc 4,5km/h nªn ddÐn B lóc 12h. Hái ng­êi ®i bé khëi hµnh lóc mÊy giê vµ qu·ng ®­êng AB dµi bao nhiªu km ?
Gi¶i:
Gäi AC lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 6km/h. CB lµ qu·ng ®­êng ®i víi vËn tèc 4,5km/h. theo ®Ò bµi ta cã:
 A B
CB = AB, Gi¶i sö ®Ó ®i qu·ng ®­êng CB víi vËn tèc 6km/h cÇn thêi gianlµ giêi. Cßn ®i víi vËn tèc 4,5km/h víi thêi gian giê. Ta cã:
 - = 12h – 11h45 = (h) vµ 6 = 4,5
 Tõ ®ã = 1h; = 
Qu·ng ®­êng Ab lµ : 4,5 . 5 = 22,5km
Qu·ng ®­êng Cb lµ : = 4,5km
Thêi gian ®Ó ®i bé tõ A B lµ 4 + = 3h + 1h = 4h
Thêi gian khëi hµnh ®Ó ®i bé lµ 12 - 4 = 8h.
c, Bµi tËp tù gi¶i:
* Bµi 1: Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 2 000®; 5 000® vµ 10 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu nh­ nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê ?
* Bµi 2: Trªn mét c«ng tr­êng x©y dùng cã 3 ®éi coong nh©n lµm viÖc. BiÕt r»ng sè c«ng nh©n ®éi I b»ng sè c«ng nh©n ®éi II b»ng sè c«ng nh©n ®éi III. BiÕt r»ng sè c«ng nh©n ®éi I Ýt h¬n tæng sè c«ng nh©n cña ®éi I vµ ®éi II lµ 18 ng­êi. TÝnh sè c«ng nh©n cña mçi ®«i.
* Các phương pháp được sử dụng
- Tham khảo các tài liệu: đổi mới phương pháp dạy và học ở trường THCS, các phương pháp dạy học, sgk và bài tập toán 7, ôn luyện toán 7, nâng cao và phát triển toán.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Học hỏi kinh nghiệm của các đồng nghiệp.
* Các biện pháp xử lí.
- Ở đề tài nầy tôi hệ thống lại và bổ sung thêm một số lượng kiến thức và bài tập cho mỗi đơn vị kiến thức. Mỗi đơn vị kiến thức được trình bày riêng biệt đẻ tiện cho việc dạy. 
 Khi dạy đối với mỗi kiến thức tôi dạy lý thuyết trước sau đó có ví dụ minh họa và bài tập kèm theo. Các bài tập dduocj phân chia thành từng dạng và cách giải cho từng dạng.
 Tất cả các phần kiến thức này tôi dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép vào một số tiết học có liên quan đến đề tài. Sau mỗi phần tôi để cho học sinh kiểm tra nắm bắt ưu, nhược điểm của học sinh.
* Phạm vi được thực hiện trong đề tài: Áp dụng tại nhà trường cho học sinh lớp 7.
III/- Đánh giá hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm:
So sánh và đối chứng:
* Khi chưa được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm :
Học sinh chưa hiểu và nắm bắt được kỹ năng giải toán tỷ lệ thức.
Ít quan tâm khi nghe giảng bài.
Học sinh chưa thể hiện được ý tưởng làm bài.
Chưa phát huy được khả năng tự học, tự sáng tạo
Chưa phát huy tính tích cực trong học tập.
* Khi được áp dụng thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm :
Rất thích thú và phấn khởi khi được giải bài tập tỷ lệ thức.
Chủ động hỏi ý kiến giáo viên để lựa chọn bài tập phù hợp.
Phát huy được tính sáng tạo, hăng say trong học tập.
Các em rất phấn khởi khi mình giải được bài tập.
Tiết học thoải mài và vui tươi hơn.
Hiệu quả giáo dục:
Giúp các em hiểu và nắm vững kiến thức tỷ lệ thức.
Giáo dục có hiệu quả giúp các em tự tin trong học toán.
Loại bỏ được sự nhút nhát rụt rè khi giải toán tỷ lệ thức.
Học sinh hình thành được ký năng giải toán tỷ lệt hức..
Các số liệu chứng minh: 
Lớp
Số HS được khảo sát
Số HS giải được
Số HS biết hướng nhưng không giải được
Số HS không thể giải được
SL
%
SL
%
SL
%
7/1
37
28
76
7
19
2
5
Sáng kiến này đã được dạy vào thời gian thêm của lớp tại trường và dạy lồng ghép 
 vào một số tiết học có liên quan đến đề tài.
IV/- Kết luận:
1. Tự đánh giá SKKN:
 - Với sụ nỗ lực không ngừng của cả giáo viên và học sinh. Cô trò tôi đã thu được nhưng kết quả đáng mừng. Trước tiên là tôi thấy học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp cũng như các giờ ôn luyện học sinh khá, giỏi. Với học sinh lớp 7/1 mà tôi giảng dạy , các dạng toán trên liên quan đén tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa. Với đè tài này mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em có tiến bộ rõ rệt. Ngoài các bài toán trên các em còn có sưu tầm thêm các bài toán liên quan đén tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để làm.
2. Bài học kinh nghiệm:
Qua nhiều lần áp dụng đề tài này cần chú ý các vấn đề sau :
Để đỡ mất thời gian thực hiện ta nên cần giao nhiêm vụ giải bài tập cụ thể cho các em, giao cho các nhóm giải theo các dạng.
Giáo viên nên tham khảo nhiều hơn ý về các sách phương pháp dạy học đổi mới.
 * Do điều kiện về thời gian và kinh nghiệm bản than chưa nhiều nên đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong các đồng nghiệp và hội đòng thẩm định các cấp góp ý góp ý kiến chân thành để đè tài của tôi được hoàn thiện..
	Tôi xin chân thành cảm ơn!
Nhận xét của HĐKH	
 Chủ tịch HĐKH
Bắc Sơn, ngày 25 tháng 3 năm 2011
 Người viết
 Nguyễn Xuân Dũng