Giáo án Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7 - Năm học 2012-2013

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
	Tiết 1:
	Ngày soạn: 28/11/2012
	Ngày giảng: 30/11/2012
 Chuyền đề 1: Cỏc bài toỏn thực hiện phộp tớnh:
Cỏc kiến thức vận dụng:
Tớnh chất của phộp cộng , phộp nhõn
 Cỏc phộp toỏn về lũy thừa: 
an = ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a 0, mn)
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; 
 2 . Một số bài toỏn :
 Bài 1: a) Tớnh tổng : 1+ 2 + 3 +. + n , 1+ 3 + 5 +. + (2n -1)
 b) Tớnh tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + ..+ n.(n+1)
 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 Với n là số tự nhiờn khỏc khụng.
 HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
 1+ 3+ 5+ + (2n-1) = n2
 b) 1.2+2.3+3.4+ + n(n+1) 
 = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + ..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
 = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 ++ n( n+1)(n+2)] : 3
 = n(n+ 1)(n+2) :3
 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + .+ n(n+1)(n+2)
 = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + + n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
 = n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quỏt: 
Bài 2: a) Tớnh tổng : S = 1+ a + a2 +..+ an 
 b) Tớnh tổng : A = với a2 – a1 = a3 – a2 =  = an – an-1 = k
 HD: a) S = 1+ a + a2 +..+ an aS = a + a2 +..+ an + an+1 
 Ta cú : aS – S = an+1 – 1 ( a – 1) S = an+1 – 1
 Nếu a = 1 S = n
 Nếu a khỏc 1 , suy ra S = 
Áp dụng với b – a = k
Ta cú : A = 
 = 
 = 
Bài 3 : a) Tớnh tổng : 12 + 22 + 32 + . + n2
 b) Tớnh tổng : 13 + 23 + 33 + ..+ n3
 HD : a) 12 + 22 + 32 + .+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
 b) 13 + 23 + 33 + ..+ n3 = ( n(n+1):2)2
Bài 3: Thực hiện phép tính:
 a) A = 
 b) 
HD : A = ; B = 
Bài 4: 1, Tớnh: P = 
 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. 
Tớnh: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
*******************************************
	Tiết 2:
	Ngày soạn: 28/11/2012
	Ngày giảng: 30/11/2012
Bài 5: a) Tính 
b) Cho 
Chứng minh rằng .
Bài 6: a) Tớnh : 
 b) Tính 
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = .
 = 
c) 
Bài 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 
 b) Chứng tỏ rằng:
Bài 8: a) Tính giá trị của biểu thức:
b) Chứng minh rằng tổng:
*********************************************
*******************************************
	Tiết 3:
	Ngày soạn: 28/11/2012
	Ngày giảng: 30/11/2012
 Chuyờn đề 2: Bài toỏn về tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau:
Kiến thức vận dụng :
 - 
 -Nếu thỡ với gt cỏc tỉ số dều cú nghĩa
- Cú = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk
2. Bài tập vận dụng
 Dạng 1 Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho . Chứng minh rằng: 
 HD: Từ suy ra 	
 khi đú 
 	= 
Bài 2: Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả món b2 = ac. Chứng minh rằng:
 = 
HD: Ta cú (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac
 = a( a + 2.2012.b + 20122.c)
 (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2
 = c( a + 2.2012.b + 20122.c)
Suy ra : = 
Bài 3: Chứng minh rằng nếu thì 
HD : Đặt a = kb, c = kd . 
Suy ra : và 
 Vậy 
Bài 4: Biết với a,b,c, d 0 Chứng minh rằng :
 hoặc 
 HD : Ta cú = (1)
 = (2)
Từ (1) và (2) suy ra : 
Xột 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
 và 
HD : Xuất phỏt từ biến đổi theo cỏc 
hướng làm xuất hiện 
Bài 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
HD : Từ 
 Suy ra : 
Nếu a + b + c + d = 0 a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) 
 = -4
Nếu a + b + c + d 0 a = b = c = d = 4
Bài 7 : a) Chứng minh rằng: 
Nếu 
Thì 
 b) Cho: .
Chứng minh: 
HD : a) Từ 
 (1)
 (2)
 (3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra : 
Bài 8: Cho 
chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên.
HD Từ 
 Nếu x + y + z + t = 0 thỡ P = - 4
 Nếu x + y + z + t 0 thỡ x = y = z = t P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức : B = 
Bài 10 : a) Cho cỏc số a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
 T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011
 Biết x,y,z,t thỏa món:
 b) Tỡm số tự nhiờn M nhỏ nhất cú 4 chữ số thỏa món điều kiện:
 M = a + b = c +d = e + f
 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và ;;
Cho 3 số a, b, c thỏa món : .
 Tớnh giỏ trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 
 Một số bài tương tự 
 Bài 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
Tính 
Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khỏc 0 thỏa món điều kiện : 
 ( n là số tự nhiờn)
 và x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
************************************
*******************************************
	Tiết 4:
	Ngày soạn: 05/12/2012
	Ngày giảng: 07/12/2012
 Dạng 2 : Vận dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau để tỡm x,y,z,
Bài 1: Tỡm cặp số (x;y) biết : 
 HD : Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> với y = 0 thay vào khụng thỏa món
 Nếu y khỏc 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta được:
 =>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y = 
Vậy x = 2, y = thoả mãn đề bài
Bài 3 : Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
Tớnh b, c.
 HD : từ a = b = c = 2012
Bài 4 : Tỡm cỏc số x,y,z biết :
HD: Áp dụng t/c dóy tỉ số bằng nhau:
 (vỡ x+y+z 0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 từ đú tỡm được x, y, z
Bài 5 : Tỡm x, biết rằng: 
 HD : Từ 
 Suy ra : 
Bài 6: Tìm x, y, z biết: (x, y, z )
 HD : Từ 
 Từ x + y + z = x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức ban đầu để tỡm x.
Bài 7 : Tìm x, y, z biết và 
Bài 8 : Tỡm x , y biết : 
	Tiết 5:
	Ngày soạn: 05/12/2012
	Ngày giảng: 07/12/2012
 Chuyờn đề 3: Vận dụng tớnh chất phộp toỏn để tỡm x, y 
Kiến thức vận dụng :
Tớnh chất phộp toỏn cộng, nhõn số thực
Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
Tớnh chất về giỏ trị tuyệt đối : với mọi A ; 
Bất đẳng thức về giỏ trị tuyệt đối : 
 dấu ‘=’ xẩy ra khi AB 0; dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
 ; với m > 0
Tớnh chất lũy thừa của 1 số thực : A2n 0 với mọi A ; - A2n 0 với mọi A
Am = An m = n; An = Bn A = B (nếu n lẻ ) hoặc A = B ( nếu n chẵn)
 0< A < B An < Bn ; 
Bài tập vận dụng
 Dạng 1: Cỏc bài toỏn cơ bản
Bài 1: Tỡm x biết
 a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 b) 
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
 x( 1 + 2 + 3 + .+ 2011) = 2012.2013
 b) Nhận xột : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
 Từ 
Bài 2 Tỡm x nguyờn biết
 a) 
 b) 1- 3 + 32 – 33 + .+ (-3)x = 
*******************************************
	Tiết 6:
	Ngày soạn: 05/12/2012
	Ngày giảng: 07/12/2012
Dạng 2 : Tỡm x cú chứa giỏ trị tuyệt đối 
Dạng : và 
 Khi giải cần tỡm giỏ trị của x để cỏc GTTĐ bằng khụng, rồi so sỏnh cỏc giỏ trị đú để chia ra cỏc khoảng giỏ trị của x ( so sỏnh –a và –b)
Bài 1 : Tỡm x biết :
 a) b) 
HD : a) (1) do VT = 
 nờn VP = x – 2012 (*)
Từ (1) 
 Kết hợp (*) x = 4023:2
 b) (1)
 Nếu x 2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy)
 Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại) 
 Nếu x từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012 x = 6033:2(lấy)
 Vậy giỏ trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
 Một số bài tương tự:
 Bài 2 : a) Tìm x biết 
Tìm x biết: 
Tìm x biết: 
 Bài 3 : a)Tìm các giá trị của x để: 
Tỡm x biết: 
Bài 4 : tỡm x biết :
 a) b) 
*******************************************
	Tiết 7:
	Ngày soạn: 12/12/2012
	Ngày giảng: 14/12/2012
 Dạng 3: Sử dụng BĐT giỏ trị tuyệt đối
 Bài 1 : a) Tỡm x ngyờn biết :
 b) Tỡm x biết : 
HD : a) ta cú (1) 
 Mà suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=” 
Hay do x nguyờn nờn x {3;4;5}
 b) ta cú (*)
 Mà nờn (*) xẩy ra dấu “=” 
Suy ra: 
 Cỏc bài tương tự
 Bài 2 : Tỡm x nguyờn biết : 
 Bài 3 : Tỡm x biết 
 Bài 4 : Tìm x, y thoả mãn: = 3
 Bài 5 : Tỡm x, y biết :
 HD : ta cú với mọi x,y và với mọi x
 Suy ra : với mọi x,y mà 
Bài 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
*******************************************
	Tiết 8:
	Ngày soạn: 12/12/2012
	Ngày giảng: 14/12/2012
 Dạng 4: Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tỡm số tự nhiờn x, biết :
 a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650 5x = 25 x = 2
3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162 3x – 1 = 27 x = 4
Bài 2 : Tỡm cỏc số tự nhiờn x, y , biết:
 a) 2x + 1 . 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
 HD : a) 2x + 1 . 3y = 12x 
 Nhận thấy : ( 2, 3) = 1 x – 1 = y-x = 0 x = y = 1
 b) 10x : 5y = 20y 10x = 102y x = 2y
Bài 3 : Tỡm m , n nguyờn dương thỏa món : 
 a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256
HD: a) 2m + 2n = 2m +n 2m + n – 2m – 2n = 0 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) = 1
 (2m -1)(2n – 1) = 1 
 b) 2m – 2n = 256 2n ( 2m – n - 1) = 28 
Dễ thấy m n, ta xột 2 trường hợp :
 + Nếu m – n = 1 n = 8 , m = 9
 + Nếu m – n 2 thỡ 2m – n – 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đú VT chứa TSNT khỏc 2, mà VT chỉ chứa TSNT 2 suy ra TH này khụng xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
Bài 4 : Tỡm x , biết : 
 HD :
Bài 5 : Tỡm x, y biết : 
 HD : ta cú với mọi x,y và (y – 1)2012 0 với mọi y 
 Suy ra : với mọi x,y . Mà 
 Cỏc bài tập tương tự :
Bài 6 : Tỡm x, y biết : 
 a) b) 
*******************************************
	Tiết 9:
	Ngày soạn: 12/12/2012
	Ngày giảng: 14/12/2012
 Chuyờn đề 4: Giỏ trị nguyờn của biến , giỏ trị của biểu thức :
 1 . Cỏc kiến thức vận dụng:
 - Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 - Phõn tớch ra TSNT, tớnh chất của số nguyờn tố, hợp số , số chớnh phương
 - Tớnh chất chia hết của một tổng , một tớch 
 - ƯCLN, BCNN của cỏc số 
 2. Bài tập vận dụng :
 * Tỡm x,y dưới dạng tỡm nghiệm của đa thức 
Bài 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
 b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 
 c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
 d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000 17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nờn x mà x NT x = 2. Lại cú 1000 – 13y , 1000 – 13y > 0 và y NT y = 
 b) Từ (1)
 do 7(x–2004)2 0 
Mặt khỏc 7 là số NT vậy y = 3 hoặc y = 4 thay vào (1)
 suy ra : x= 2005 ,y =4 hoặc x = 2003, y = 4
Ta cú xy + 3x - y = 6 ( x – 1)( y + 3) = 3 hoặc 
hoặc hoặc 
x2-2y2=1 
 do VP = 2y2 chia hết cho 2 suy ra x > 2 , mặt khỏc y nguyờn tố 
Bài 2 a) Tỡm cỏc số nguyờn thỏa món : x – y + 2xy = 7 
 b) Tỡm biết: 
HD : a) Từ x – y + 2xy = 7 2x – 2y + 2xy = 7 (2x - 1)( 2y + 1) = 13
 b) Từ y2 25 và 25 – y2 chia hết cho 8 , suy ra y = 1 hoặc y = 3 hoặc y = 5 , từ đú tỡm x 
Bài 3 a) Tìm giá trị nguyên dương của x và y, sao cho: 
 b) Tìm các số a, b, c nguyên dương thoả mãn :
 và 
HD : a) Từ 5 ( x + y) = xy (*) 
 + Với x chia hết cho 5 , đặt x = 5 q ( q là số tự nhiờn khỏc 0) thay vào (*) suy ra:
 5q + y = qy 5q = ( q – 1 ) y . Do q = 1 khụng thỏa món , nờn với q khỏc 1 ta cú Ư(5) , từ đú tỡm được y, x
 b) a2 ( a +3) = 5b – 5 , mà a2. 5c = 5( 5b – 1 – 1)
 Do a, b, c nguyờn dương nờn c = 1( vỡ nếu c >1 thỡ 5b – 1 - 1 khụng chia hết cho 5 do đú a khụng là số nguyờn.) . Với c = 1 a = 2 và b = 2
Bài 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
HD : 
Do p nguyờn tố nờn và 2013 – q2 > 0 từ đú tỡm được q
Bài 5 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho: chia  ... đối đỉnh)
 DN = AE ( = AC) và AE // DN vỡ ( cặp gúc so le trong )
( cặp gúc trong cựng phớa) mà 
 Xột ∆ABC và ∆DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN và ( chứng minh trờn ) ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) 
 Xột ∆AHC và ∆DQN cú : AC = DN , và 
 ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ∆AHC vuụng tại H hay MA BC
* Khai thỏc bài toỏn 1.3
+ Từ bài 1.2 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MABC , ngược lại 
nếu AH BC tại H thỡ tia HA sẽ đi qua trung điểm M của DE , ta cú bài toỏn 1.4
 Bài 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A đến BC . Chứng minh rằng tia HA đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE 
 HD : Từ bài 1.2 ta cú định hướng giải như sau: 
Kẻ DQ AM tại Q, ERAM tại R . 
 Ta cú : + ( Cựng phụ )
 AD = AB (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn) 
 DQ = AH (1)
 + ( cựng phụ )
AC = AE (gt) ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – gúc nhọn)
 ER = AH ( 1) . Từ (1) và (2) ER = DQ 
Lại cú ( hai gúc đối đỉnh ) 
 ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) MD = ME hay M là trung 
điểm của DE
 + Từ bài 1.3 ta thấy với M là trung điểm của DE thỡ tia MADE , ngược lại 
nếu H là trung điểm của BC thỡ tia KA sẽ vuụng gúc với DE, ta cú bài toỏn 1.4
 Bài 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 900. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gọi H trung điểm của BC . 
 Chứng minh rằng tia HA vuụng gúc với DE
HD : Từ bài 1.3 ta dễ dạng giải bài toỏn 1.4 
 Trờn tia AH lấy điểm A’ sao cho AH = HA’ 
 Dễ CM được ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g)
 A’B = AC ( = AE) và 
 AC // A’B ( cặp gúc trong cựng phớa)
Mà 
 Xột ∆DAE và ∆ABA’ cú : AE = A’B , AD = AB (gt)
 ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) 
 mà 
 Suy ra HA vuụng gúc với DE
*******************************************
	Tiết 23:
	Ngày soạn: 23/01/2013
	Ngày giảng: 25/01/2013
 Bài 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
 c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC
 * Phõn tớch tỡm lời giải
 a) Để cm DM = EN 
 Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g)
 Cú BD = CE (gt) , ( MD, NEBC)
 ( ∆ABC cõn tại A)
Để Cm Đường thẳng BC cắt MN tại trung 
 điểm I của MN Cần cm IM = IN
 Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g)
Gọi H là chõn đường vuụng gúc kẻ từ A xuống BC , O là giao điểm của AH với đường thẳng vuụng gúc với MN kẻ từ I Cần cm O là điểm cố định
 Để cm O là điểm cố định
 Cần cm OC AC
 Cần cm 
 Cần cm : và 
 Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) và ∆OAB = ∆OAC (c.g.c)
 *Khai thỏc bài 2
 Từ bài 2 ta thấy BM = CN , vậy ta cú thể phỏt biểu lại bài toỏn như sau:
 Bài 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N sao cho BM = CN . Đường thẳng BC cắt MN tại I .
 Chứng minh rằng:
a) I là trung điểm của MN
 b) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi
 lời giải:
Từ lời giải bài 2 để giải bài 2.1 ta cần kẻ MDBC ( D BC)
 NE BC ( EBC) 
 Bài 3 : Cho ∆ABC vuụng tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuụng gúc với AK , đường thẳng này cắt cỏc đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm của DE .
Chứng minh rằng : AI BC
 Cú thể núi DE nhỏ hơn BC được khụng ? vỡ sao? 
*Phõn tớch tỡm lời giải 
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI 
 Để cm AI BC Cần cm 
 Để cm 
 Cú 
 cần cm và 
 Cần cm ∆AIE cõn tại I và ∆AKC cõn tại K
b) Để so sỏnh DE với BC 
 cần so sỏnh IE với CK( vỡ 2.IE = DE, 2CK = BC)
 So sỏnh AI với AK ( vỡ AI = IE, AK = CK)
 Cú AI AK 
 Lời giải :
a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cõn tại I và ∆AKC cõn tại K cần cm và mà AI BC
b) ta cú BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) 
 Mà AI AK , DE = BC khi K trựng với I khi đú ∆ABC vuụng cõn tại A
 Bài 4: Cho tam giỏc ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuụng gúc với tia phõn giỏc của gúc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: 
 a) 
 b) .
 c) BE = CF 
 lơỡ giải 
Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giỏc vuụng AFH, ta cú: 
 HF2 + AH2 = AF2
Mà AHE = AHF (g-c-g) nờn HF = EF; AF = AE 
Suy ra: 
Từ Suy ra 
Xét có là góc ngoài suy ra 
 có là góc ngoài suy ra 
vậy 
 hay (đpcm). 
Từ Suy ra AE = AF và 
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) => 
 Lại cú: (cặp gúc đồng vị) Do đú cõnCF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF 
*******************************************
	Tiết 24:
	Ngày soạn: 23/01/2013
	Ngày giảng: 25/01/2013
 Bài 5 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B và gúc C là hai gúc nhọn .Trờn tia đối của tia
 AB lấy điểm D sao cho AD = AB , trờn tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. 
 a) Chứng minh rằng : BE = CD.
 b) Gọi M là trung điểm của BE , N là trung điểm của CB. Chứng minh M,A,N thẳng hàng.
 c)Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC. Gọi H,K lần lượt là hỡnh chiếu của B và C trờn tia Ax . Chứng minh BH + CK BC.
 d) Xỏc định vị trớ của tia Ax để tổng BH + CK cú giỏ trị lớn nhất.
 *Phõn tớch tỡm lời giải 
 Để cm BE = CD 
 Cần cm ABE = ADC (c.g.c)
 Để cm M, A, N thẳng hàng. 
 Cần cm 
Cú Cần cm 
 Để cm 
 Cần cm ABM = ADN (c.g.c)
 Gọi là giao điểm của BC và Ax 
 Để cm BH + CK BC
 Cần cm 
 Vỡ BI + IC = BC
BH + CK cú giỏ trị lớn nhất = BC 
 khi đú K,H trựng với I , do đú Ax vuụng gúc với BC 
Bài 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH (M, N thuộc AH).
 a) Chứng minh: EM + HC = NH.
 b) Chứng minh: EN // FM.
*Phõn tớch tỡm lời giải
 a) Để cm EM + HC = NH
Cần cm EM = AH và HC = AN
 + Để cm EM = AH cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – gúc nhon) 
 + Để cm HC = AN cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – gúc nhon) 
b) Để cm EN // FM
 ( cặp gúc so le trong)
 Gọi I là giao điểm của AN và EF
 để cm 
 Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) 
 Bài 7 : Cho tam ABC vuụng tại A , đường cao AH, trung tuyến AM. Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. 
 Chứng minh: AE = BC
*Phõn tớch tỡm lời giải
 Gọi F là giao điểm của BA và IE 
 để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB
Để cm : ∆AFE = ∆ CAB
Cần cm AF = AC (2); (1); (3)
 + Để cm (1) : 
 Cm CI // AE vỡ cú FI // AC và 
 Để Cm CI // AE 
 Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c)
 + Để cm (2) : AF = AC 
 Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – gúc nhọn)
 + Cm (3) : ( vỡ cựng phụ ) 
 *Khai thỏc bài toỏn : 
 Từ bài 7 ta thấy AH AM HE AM + BC = 3AM ( vỡ AM = MB = MC)
 Vậy HE lớn nhất = 3AM = BC khi H trựng M khi đú tam giỏc ABC vuụng cõn
 Bài 8 Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng:
 a) AE = AF
b) BE = CF
c) 
* Phõn tớch tỡm lời giải
a) Để cm AE = AF 
 ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)
Hoặc ∆AEF cõn tại A 
( Cú AH vừa là tia phõn giỏc , vừa là đương cao)
b) Để cm BE = CF 
 cần tạo tam giỏc chứa BE( hoặc cú 1 cạnh = BE) mà bằng tam giỏc MCF 
 + Kẻ BI // AC ∆MBI = ∆CMF( c. g . c)
 Để cm BE = CF ∆ BEI cõn tại B Cú ( cặp gúc đồng vị ) mà vỡ ∆AEF cõn tại A 
AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC và AE = AF 
 2 AE = AB + AC hay 
Bài 9 Cho tam giác ABC có góc A khác 900, góc B và C nhọn, đường cao AH. Vẽ các điểm D, E sao cho AB là trung trực của HD, AC là trung trực của HE. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của DE với AB và AC.
Chứng minh : Tam giỏc ADE cõn tại A
Tính số đo các góc AIC và AKB ?
 *Phõn tich tỡm hướng giải 
 - Xột TH gúc A < 900 
 a) Để cm ∆ ADE cõn tại A 
 cần cm : AD = AH = AE
( Áp dụng t/c đường trung trực)
b) Dự đoỏn CI IB , BK KC
 Do IB, KC tia phõn giỏc gúc ngoài của ∆ HIK
nờn HA là tia phõn giỏc trong. Do nờn HC
là tia phõn giỏc ngoài đỉnh H . Cỏc tia phõn giỏc gúc ngoài đỉnh H và K của ∆ HIK cắt nhau ở C nờn IC là tia phõn giỏc của gúc HIK , do đú IB IC , Chứng minh tượng tự 
 ta cú BK KC
 - Xột TH gúc A>900
*Khai thỏc bài toỏn : 
Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ sao cho AB là trung trực của D’M, AC là trung trực của ME’ . Khi đú ta cú ∆ AD’E’ cõn tại A và gúc DAC cú 
Từ đú ta cú bài toỏn sau:
 Bài 9.1 Cho tam giỏc ABC nhọn . Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực của MD, AC là đường trung trực của ME thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất.
 HD . Tự nhận xột bài 9 dễ dàng tỡm được 
 vị trớ điểm M trờn cạnh BC.
*******************************************
Tiết 25:
	Ngày soạn: 23/01/2013
	Ngày giảng: 25/01/2013
Bài 10. Cho ∆ ABC với gúc A khụng vuụng và gúc B khỏc 135o. Gọi M là trung điểm của BC. Về phớa ngoài ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuụng cõn đỏy AB. Đường thẳng qua A vuụng gúc với AB và đường thẳng qua C song song với MD cắt nhau tại E. Đường thẳng AB cắt CE tại P và DM tại Q . Chứng minh rằng Q là trung điểm của BP.
 HD. Trờn tia đối của tia MQ lấy điểm H sao cho MH = MQ
 - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) 
 BQ = CH (1) và 
 BQ//CH hay PQ // CH ( vỡ là
cặp gúc so le trong)
 - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g)
 PQ = CH (2) , Do Q nằm giữa B và P dự gúc B nhỏ hơn 1350
 Từ (1) và (2) Suy ra đpcm. 
Bài 11. Cho tam giỏc ABC cõn tại A cú , vẽ tam giỏc đều DBC (D nằm trong tam giỏc ABC). Tia phõn giỏc của gúc ABD cắt AC tại M. Chứng minh:
Tia AD là phõn giỏc của gúc BAC
 AM = BC
HD a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c) 	
suy ra 	
Do đú 	
b) ABC cõn tại A, mà (gt) 
nờn 
ABC đều nờn 	
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC 
suy ra .
 Tia BM là phõn giỏc của gúc ABD 
nờn 	
Xột tam giỏc ABM và BAD cú:
AB cạnh chung ; 
Vậy: ABM = BAD (g.c.g) 
suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nờn AM = BC
Bài 12. Cho tam giỏc ABC vuụng tại A ( AB > AC) . Tia phõn giỏc gúc B cắt AC ở D. Kẻ DH vuụng gúc với BC. Trờn tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Đường thẳng vuụng gúc với AE tại E cắt tia DH ở K . Chứng minh rằng :
 a) BA = BH 
 b) 
 c) Cho AB = 4 cm, tớnh chu vi tam giỏc DEK
HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – gúc nhọn)
 b) Qua B kẻ đường thẳng vuụng gúc với EK , cắt EK tại I 
 Ta cú : , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cạnh gúc vuụng) 
 mà 	
Chu vi tam giỏc DEK = DE + EK + KD = .. = 2.4 = 8 cm
* Từ bài ta thấy khi thỡ chu vi ∆DEK = 2. AB vậy nếu cú chu vi ∆DEK = 2 thỡ ta cũng cm được . Ta cú bài toỏn sau :
 Bài 12.1 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1. Trên các cạnh AB, AD lấy các điểm P, Q sao cho chu vi DAPQ bằng 2. 
Chứng minh rằng góc PCQ bằng 450.