Giáo án Bồi dưỡng HSG Toán 7

 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
3, 8, 15, 24, 35, ... 
3, 24, 63, 120, 195, ...
1, 3, 6, 10, 15, ...
2, 5, 10, 17, 26, ...
6, 14, 24, 36, 50, ...
4, 28, 70, 130, 208, ...
2, 5, 9, 14, 20, ...
3, 6, 10, 15, 21, ...
2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
n(n+2)
(3n-2)3n
1+n2
n(n+5)
(3n-2)(3n+1)
Bài 2: Tính:
	a,A = 1+2+3++(n-1)+n
	b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
	a,A = 1+2+3++(n-1)+n
	A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
	3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
	3A = 99.100.101
 	A = 333300
Tổng quát: 
A = 1.2+2.3+3.4+. + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
	A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
Hướng dẫn:
	A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
	A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
	A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 
A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:
	A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:
	A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
	A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
	A = 333300 + 9900
	A = 343200
Bài 5: Tính:
	A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
A= 666600
Bài 6: Tính:
	A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:
	2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
	A= 333300:2
	A= 166650
Bài 7: Tính:
	A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
	2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
	A = 338250:2
	A = 169125
Bài 8: Tính:
	A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
	2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
	A = 343200:2
	A = 171600
Bài 9: Tính:
	A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
	4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
	4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
	4A = 98.99.100.101
	A = 2449755
Tổng quát: 
	A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
	A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
	A = 12+22+32+...+992+1002
Hướng dẫn:
	A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
	A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
	A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
	A = 333300 + 5050
	A = 338050
Tổng quát:
	A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2
	A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
	A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
	A = 22+42+62+...+982+1002
Hướng dẫn:
	A = 22(12+22+32+...+492+502)
Bài 12: Tính:
	A = 12+32+52+...+972+992
Hướng dẫn:
	A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)
	A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)
Bài 13: Tính:
	A = 12-22+32-42+...+992-1002
Hướng dẫn:
	A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)
Bài 14: Tính:
	A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992
Hướng dẫn:
	A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
	A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
	A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
	A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
	A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
	A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
	A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
	A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
	A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
	A = 13+23+33+...+993+1003
Hướng dẫn:
	A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)
	A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100- 98.99+(12+22+32+...+992+1002)
	A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)
Bài 18: Tính:
	A = 23+43+63+...+983+1003
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
	A = 13+33+53+...+973+993
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
	A = 13-23+33-43+...+993-1003
Hướng dẫn:
Chuyên đề:
TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số (hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu thì 
Tính chất 2: Nếu và a, b, c, d thì ta có các tỉ lệ thức sau:
 , , , 
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 
-Tính chất: Từ suy ra: 
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: 
 suy ra: 
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết và 
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra: , 
Theo giả thiết: 
Do đó: 
KL: 
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
Do đó: 
KL: 
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết 
mà 
Do đó: 
KL: 
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: , và 
Giải:
Từ giả thiết: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (*)
Ta có: 
Do đó: 
KL: 
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt ( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) 
Từ giả thiết: 
mà 
Suy ra: , 
KL: 
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: và 
Giải: 
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt , suy ra , 
Theo giả thiết: 
+ Với ta có: 
+ Với ta có: 
KL: hoặc 
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
Nhân cả hai vế của với x ta được: 
+ Với ta có 
+ Với ta có 
KL: hoặc 
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) , và 
c) và d) và 
 e) và f) 
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: 
a) và b) và 
c) và d) và 
e) f) và 
Bài 5: Tìm x, y biết rằng: 
Bài 6: Tìm x, y biết rằng: 
Bài 7: Cho và 
Tìm giá trị của: 
Giải: ( Vì)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a) và 5x – 2y = 87;	b) và 2x – y = 34;
b) và x2 + y2 + z2 = 14. c) 
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;
x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
	 b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y.
	 Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: . Biết a+b+c.Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải: 
=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)
=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
 Để chứng minh tỉ lệ thức: ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C 
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số và có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+) 
+) 
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức .Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có: (1)
 (2) 
Từ giả thiết: (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: (PP2)
Đặt , suy ra 
Ta có: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: (PP3)
Từ giả thiết: 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 (đpcm)
Hỏi: Đảo lại có đúng không ?
Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức . Chứng minh rằng: 
Giải:
Cách 1: Từ giả thiết: (1)
Ta có: (2)
 (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: 
 (đpcm)
Cách 2: Đặt , suy ra 
Ta có: (1) 
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: (đpcm)
Cách 3: Từ giả thiết: 
 (đpcm)
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Cho tỉ lệ thức: . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
Bài 2: Cho tỉ lệ thức: .
Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).
a) b) c) 
d) e) f)
g) h) i) 
Bài 3: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 4: Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 5: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: 
	CMR: Ta có đẳng thức: 
Bài 7: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 8: Cho 
 Chứng minh rằng: 
Bài 9: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 10: Cho và 
Chứng minh rằng: 
Bài 11: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không?
Bài 12: Chứng minh rằng nếu : thì 
Bài 13: Cho . CMR: 
Bài 14. Cho tỉ lệ thức : . Chứng minh rằng: .
Giải. Ta có : =;
Bài 15: Chứng minh rằng nếu: thì 
Bài 16: CMR: Nếu thì . Đảo lại có đúng không?
Bài 17: CMR nếu 
trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
Bài 18: Cho . CMR: 
Bài 19: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 20: Chứng minh rằng nếu: thì 
Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: 
và 
Chứng minh rằng: 
Bài 22: CMR nếu .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : 
Bài 23: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x. 
Bài 24: Cho biết : . CMR: abc + a’b’c’ = 0.
Bài 25: Cho . Các số x, y, z, t thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: và 
Chứng minh rằng: 
Bài 27: Cho . Chứng minh rằng nếu thì giá trị của P không phụ thuộc vào x.	
Bài 28: Cho tỉ lệ thức: ; Chứng minh rằng: .
Bài 29: Cho dãy tỉ số : ; CMR: .
Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 
Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A> MỤC TIÊU
 Thông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh, rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn. 
B> THỜI LƯỢNG
Tổng số :(6 tiết)
1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)
2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)
1. Lý thuyết
*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của một số a( a là số thực)
* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó.
 TQ: Nếu 
 Nếu 
 Nếu x-a ³ 0=> = x-a
 Nếu x-a £ 0=> = a-x
*Tính chất
 Giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm
 TQ: 	 với mọi a Î R
Cụ thể:
 =0 a=0
 ≠ 0 a ≠ 0
* Hai số bằng nh ... trị dương với mọi giá trị của x.
Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:
 a) b) c) d) (x-2) + y- 2= 0 (nN)
Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:
a) b*) 
ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :
 a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b) b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2) 
 c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2 d) 5an + (- 2a)n + 6an 
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau :
 a) b) 3ab.ac – 2a.abc - a2bc 
 c) .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c2 
Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y Z và x + y chia hết cho 13 thì A + B chia hết cho 13 
Bài 4: Cho biểu thức :
 P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n N) 
Với giá trị nào của a thì P > 0 
Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k N) 
Với giá trị nào của x và k thì Q < 0 
Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n N; n 0) 
Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1 
Chứng tỏ rằng A + B + C = xyz 
Bài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:
Bài9: Tính tổng :
 a) 
 b)
Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :
a) 10n+1- 66.10n b) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2n c)90.10k – 10k+2 + 10k+1
d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1 
Nâng cao
Bài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a 0; b 0) 
Tìm GTNN của M 
Bài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0 
Bài 3: Chứngminh rằng với n N* 
a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số không 
b) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25 
c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300 
Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0 
Bài 5: Rút gọn:
a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4 
b) 2y – x - với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2 
c) 5x – 3 - 
Bài 6: Tìm x,biết :
a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6 
b) ( ) – - = - 
Bài 7: Tìm số tự nhiên ( a > b > c) sao cho : = 666 
Bài 8: Có số tự nhiên nào mà tổng là một số chính phương không ?
Bài9 : Tính tổng :
(- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5) 
(2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)
(15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2)
(4x2+x2y -5y3)+()+()+ ()
Bài 10: Rút gọn biểu thức sau 
 a/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)
 d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26x e) 
Bài 11: Tìm x biết:
a) x +2x+3x+4x+..+ 100x = -213
b) c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10 d) 
e) f) 
g) h) i) k) + =3
m) (2x-1)2 – 5 =20 n) ( x+2)2 = p) ( x-1)3 = (x-1) 
 q*) (x-1)x+2 = (x-1)2 r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tự nhiên 
 Chủ đề: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.
 	I/ MỤC TIÊU:
 	1/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất có liên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.
 	2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chính phương và giảimột số dạng toán có liên quan.
 	3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.
 	II/ LÝ THUYẾT: 
	1.Định nghĩa:
Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiên
 Ví dụ: 
 Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chính phương
2. Một số tính chất:
 a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi 2; 3; 7; 8.
 b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.
 Thật vậy ,giả sử = 
Vì chữ số hàng chục của và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của số M là 2
Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ.
 Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6
 thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6. 
 Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),
 Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.
 Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N là số lẻ.
 d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .
 Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz trong đó a,b,c ,là các số nguyên tố khác nhau,còn x,y,zlà các số nguyên tố dương thế thì ,
 A = m2 = (ax by cz)2 = a2x.b2y.c2z 
Từ tính chất này suy ra
-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.
 -Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.
 -Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.
 -Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
 3/ Nhận biết một số chính phương: 
 4/ Hằng đẳng thức vận dụng:
	(a b)2 = a2 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)
 5. Các ví dụ:
Ví dụ 1. Chứng minh rằng :
 a) Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2 
 họăc 4n +3 (nÎN);
Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nÎN).
Giải
Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (kÎN), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chia hết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (kÎN) ,
 Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1. 
 Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4 
 hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc 4n+3(nÎN) 
Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k1 (kÎ N) khi đó bình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc có dạng (3k1)2= 9k26k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(nÎN).
Ví dụ 2:
 Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau 
 còn chữ số hàng đơn vị đều là 6.
 Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương.
Giải
 Cách 1 . 
 Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9 khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương. 
 Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của số a là số chẵn, do đó a2 nên a2 4.
Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là 16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có :
1+3+5+7+9=25=52là số chính phương
 Ví dụ3:
 Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chính phương
Trả lời
 n là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100, 
 do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻ 
 nên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.
 Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.
 Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị : 
 37; 73; 121; 181; 253. 
 Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.
 Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.
Ví dụ 4:
Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số chính phương
Giải
 Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 
 và p không chia hết cho 4 (1)
 Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (mÎN)
Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .
 Đặt m=2k+1 (kÎN) 
 Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1 
 do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)
Vậy p+1 không là số chính phương
b)Ta có p = 2.3.5là số chia hết cho 3. 
 Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương
III/ BÀI TẬP:
BÀI TẬP
BÀI GIẢI
Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 mệnh đề đúng và một mệnh đề sai: 
1/ n có chữ số tận cùng là 2
2/ n + 20 là một số chính phương
3/ n – 69 là một số chính phương
Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n – 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chính phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3. Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2) và (3) đúng.
Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b N và a > b)
=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1
Do đó: suy ra a = 45. Vậy n = 452 – 20 = 2005
Bài 2: Cho N là tổng của 2 số chính phương. Chứng minh rằng:
a/ 2N cũng là tổng của 2 số chính phương.
b/ N2 cũng là tổng của 2 số chính phương.
Gọi N = a2 + b2 (a, b N)
a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab 
 = (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chính phương.
b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 + b2+ 4a2b2
 = (a2 – b2)2 + (2ab)2
Bài 3: Cho A, B, C, D là các số chính phương. Chứng minh rằng:(A + B)(C + D) là tổng của 2 số chính phương.
Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2;
Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) = 
= a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd – 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) là tổng của 2 số chính phương.
Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, z sao cho: x = y + z. Chứng minh rằng: 2(xy + xz – yz) là tổng của 3 số chính phương.
Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0
=> x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 0
=> 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2
Bài 5: Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn: a – b = c + d. Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 + d2 luôn là tổng của 3 số chính phương.
Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0 
=> 2a(a – b – c – d) = 0
Nên ta suy ra:
a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b – c – d)
= (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2
Bài 6: Cho 2 số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của 2 số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.
 Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 =
= (n2 + n + 1)2
n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ. 
Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.
Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... + n
a/ Tính an+1
b/ Chứng minh rằng an + an+1 là một số chính phương
a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n + 1)
b/ an + an+1 = + = = 
= (n + 1)2
C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
 Bài 1. 
 Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1, 
 số B chỉ gồm m chữ số 4.
 Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.
 Bài 2.
 Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó và số viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.
 Bài3. 
 Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,
 hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.
 Bài 4.
 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm các chữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có số nào là số chính phương không?
Bài 5
Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tự tuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?