Giáo án dạy thêm môn Toán

Gi¸o ¸n d¹y thªm m«n To¸n
Bài 1: So sánh các số hữu tỉ:
	a) 	b) 	c) 
Giải:
a) 	 và 	
 mà – 3 0 	nên 	 	 hay 	Vậy x < y
b) và 	
 mà – 3 0 	nên 	 	 hay 	Vậy x < y
c) và	 	nên 	Vậy x = y
Bài 2: So sánh các số hữu tỉ sau?
a) và	 
b) và 
c) và 
Bài 3: Cho số hữu tỉ . Với giá trị nào của a thì:
a,x là số hữu tỉ dương
b, x là số hữu tỉ âm
c, x không là số dương cũng không là số hữu tỉ âm.
Giải:a) Để x là số hữu tỉ dương thì: (a – 3) và 2 cùng dấu. Vì 2 > 0 nên a – 3 > 0 hay a – 3 +3 > 0 + 3 	
Vậy a > 3
b) Để x là số hữu tỉ âm thì: (a – 3) và 2 khác dấu,
vì 2 > 0 nên a – 3 < 0 hay a – 3 +3 < 0 + 3 	Vậy a < 3
c) Để x không là số dương cũng không là số hữu tỉ âm thì: x = 0
	vì 2 > 0 nên a – 3 = 0 hay a = 3 	Vậy a = 3.
Bài 4: Tính
a) 	b) c) 	
d)	e) ĐS: a,; b, ; c, ; d, ; e, 
Bài 5: Tính
a) 	 b) 
c) 	 d) ĐS: a, ; b,-35 ; c, ; d, 
Bài 6: Tìm x, biết: 	
a) 	b) 	 	
c) 	d) ĐS: a, ; b, ; c, ; d, 
 Bài 7:
Giải:
 Bài 8: Tìm x, biết
Giải:
 => x = 3,5 hoaëc x = –3,5
 => x = 0
 => x – 2 = 3 hoaëc x – 2 = –3 
 => x = 5 hoaëc x = –1
 hoaëc 
 hoaëc 
 hoaëc 
 hoaëc 
 Bài 9: T×m x ®Ó biÓu thøc:
 a, A = 0,6 + ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
b, B = ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt.
Giải:
a,Ta cã: > 0 víi xÎ Q vµ = 0 khi x = . 
VËy: A = 0,6 + > 0, 6 víi mäi x Î Q. 
VËy A ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 0,6 khi x = . 
b, Ta cã víi mäi x Î Q vµ khi = 0 Þ x = 
VËy B ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng khi x = .
 Baøi 10 : Tính 
Giaûi :
a, 224 và 316 ; b, 4100 vµ 2200 ; 
Giải: 
a, 224 = (23)8 = 88; 316 = (32)8 = 98
Vì 88 < 98 suy ra 224 < 316 
b, Ta cã: 4100 = (22)100 = 22.100 = 2200
 Þ 4100 = 2200
 Baøi 11: Tìm soá töï nhieân n, bieát:
a, 2.16 2n >4; b, 9.27 3n 243
Giải: 
a, Ta có 2.16 = 25 ; 4= 22
 => 25 2n > 22 => 5 n >2
Vậy: n {3; 4; 5}
b, Ttự phần a, ta có:
 35 3n 35 => 5 n 5
Vậy: n=5.
Daïng 3: Tìm x bieát
Daïng 4: Caùc baøi toaùn veà tyû leä thöùc:
1/ Tìm x bieát 
Ta coù: x.8,4 = 1,2 .4,9
 => x = 0,7.
2/ Tìm x, y bieát : , va y – x =30?
 Theo tính chaát cuûa tyû leä thöùc ta coù: , ta suy ra ø 
Bµi 1: Cho hai sè h÷u tØ vµ (b > 0; d > 0) chøng minh r»ng:
NÕu th× a.b < b.c
NÕu a.d < b.c th× 
Gi¶i: Ta cã: 
a. MÉu chung b.d > 0 (do b > 0; d > 0) nªn nÕu: th× da < bc
b. Ng­îc l¹i nÕu a.d < b.c th× 
Ta cã thÓ viÕt: 
Bµi 2: 
a. Chøng tá r»ng nÕu (b > 0; d > 0) th× 
b. H·y viÕt ba sè h÷u tØ xen gi÷a vµ 
Gi¶i:
a. Theo bµi 1 ta cã: (1)
Thªm a.b vµo 2 vÕ cña (1) ta cã:
a.b + a.d < b.c + a.b
	 	a(b + d) < b(c + a) (2)
	Thªm c.d vµo 2 vÕ cña (1): a.d + c.d < b.c + c.d
 	 d(a + c) < c(b + d) (3)
	Tõ (2) vµ (3) ta cã: 
b. Theo c©u a ta lÇn l­ît cã:
	VËy 
Bµi 3: Chøng minh r»ng tõ ®¼ng thøc a. d = b.c (c, d 0) ta cã tØ lÖ thøc 
Gi¶i:
	Chia c¶ hai vÕ cña ®¼ng thøc ad = bc cho cd (c.d 0) ta ®­îc 
Bµi 4: Cho a, b, c, d , tõ tØ lÖ thøc h·y suy ra tØ lÖ thøc 
Gi¶i:
§Æt = k th× a = b.k; c = d.k
Ta cã: (1)
	 (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 
Bµi 5: Chøng minh r»ng: Tõ tØ lÖ thøc (b + d 0) ta suy ra 
Gi¶i:
Tõ a.d = b.c nh©n vµo hai vÕ víi a.b
Ta cã: a.b + a.d = a.b + b.c a(b + d) = b(a + c)
Bµi 6: T×m 5 sè h÷u tØ n»m gi÷a hai sè h÷u tØ vµ 
Ta cã: 
	VËy c¸c sè cÇn t×m lµ: 
Bµi 7: T×m tËp hîp c¸c sè nguyªn x biÕt r»ng
	Ta cã: - 5 < x < 0,4 (x Z)
	Nªn c¸c sè cÇn t×m: x 
Bµi 8: Chøng minh c¸c ®¼ng thøc
	a. ;	b. 
a. ;	
	VP = 
b. 
	VP = 
Bµi 9: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
	= 
Bµi 10: So s¸nh c¸c sè a, b vµ c biÕt r»ng 
Gi¶i: Ta cã: 
Bµi 11: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng vµ a + 2b - 3c = - 20
Gi¶i: 	
	a = 10; b = 15; c = 20
Bµi 12: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng vµ a2 - b2 + 2c2 = 108
Gi¶i: 
	Tõ ®ã ta t×m ®­îc: a1 = 4; b1 = 6; c1 = 8
	A2 = - 4; b2 = - 6; c2 = - 8
Bµi 13: Chøng minh r»ng nÕu a2= bc (víi a b, a c) th× 
Gi¶i: tõ a2 = bc 
Bµi 14: Ng­êi ta tr¶ thï lao cho c¶ ba ng­êi thî lµ 3.280.000 ®ång. Ng­êi thø nhÊt lµm ®­îc 96 n«ng cô, ng­êi thø hai lµm ®­îc 120 n«ng cô, ng­êi thø ba lµm ®­îc 112 n«ng cô. Hái mçi ng­êi nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn? BiÕt r»ng sè tiÒn ®­îc chia tØ lÖ víi sè n«ng cô mµ mçi ng­êi lµm ®­îc.
Gi¶i: Gäi sè tiÒn mµ ng­êi thø nhÊt, thø hai, thø ba ®­îc nhËn lÇn l­ît lµ x, y, z (®ång). V× sè tiÒn mµ mçi ng­êi ®­îc nhËn tØ lÖ víi sè n«ng cô cña ng­êi ®ã lµm ®­îc nªn ta cã:
VËy 	x = 960.000 (®ång)
	y = 1.200.000 (®ång)
	z = 1.120.000 (®ång)
Ng­êi thø nhÊt, ng­êi thø hai, ng­êi thø ba lÇn l­ît nhËn ®­îc lµ: 960.000 (®ång); 1.200.000 (®ång); 11.120.000 (®ång)
Bµi 15: Tæng kÕt häc kú líp 7A cã 11 häc sinh giái, 14 häc sinh kh¸ vµ 25 häc sinh trïng b×nh, kh«ng cã häc sinh kÐm. H·y tÝnh tØ lÖ phÇn tr¨m mçi lo¹i häc sinh cña líp.
Gi¶i: Sè häc sinh cña líp 7A lµ: 11 + 14 + 25 = 50 (häc sinh)
	Sè häc sinh giái chiÕm: 11 : 50 . 100% = 22%
	Sè häc sinh kh¸ chiÕm: 14 : 50 . 100% = 28%
	Sè häc sinh trung b×nh chiÕm: 25 : 50 . 100% = 50%
Bµi 16: T×m x biÕt
a. 	
b.	
Bµi 17: Ba sè a, b, c kh¸c nhau vµ kh¸c sè 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = 
Gi¶i:
Theo ®Ò bµi ta cã: thªm 1 vµo mçi ph©n sè ta cã:
 V× a, b, c lµ ba sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 nªn ®¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi 
	 Thay vµo P ta ®­îc
	P = = 
	VËy P = - 3
Bµi 11: TØ sè chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña mét h×nh ch÷ nhËt b»ng . NÕu chiÒu dµi h×nh ch÷ nhËt t¨ng thªm 3 (®¬n vÞ) th× chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt ph¶i t¨ng lªn mÊy ®¬n vÞ ®Ó tØ sè cña hai c¹nh kh«ng ®æi.
Gi¶i: Gäi chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lÇn l­ît lµ a, b. Khi ®ã ta cã
	Gäi x (®¬n vÞ) ph¶i thªm vµo chiÒu réng th× 
	mµ 2a = 3b 3b + 6 = 3b + 3x x = 2
	VËy khi thªm vµo chiÒu dµi 3 (®¬n vÞ) th× ph¶i thªm vµo chiÒu réng 2 (®¬n vÞ) th× tØ sè gi÷a chiÒu dµi vµ chiÒu réng vÉn lµ .
Bµi 18: Chøng tá r»ng
a. 0,(37) + 0,(62) = 1
	Ta cã: 0,(37) = vµ 0,(62) = 
	Do ®ã: 0,(37) + 0,(62) = + = 
b. 0,(33) . 3 = 1
	Ta cã: 0,(33) = 
	Do ®ã: 0,(33) .3 = 
Bµi 19: T×m c¸c sè h÷u tØ a vµ b biÕt r»ng hiÖu a - b b»ng th­¬ng a : b vµ b»ng hai lÇn tæng a + b.
Gi¶i: 	Theo ®Ò bµi ra ta cã: a - b = 2(a + b) = a : b (1)
	Tõ a - b = 2a + 2b a = - 3b hay a : b = - 3 (2)
	Tõ (1) vµ (2) suy ra: (3)
	Tõ (3) ta t×m ®­îc: a = 
	b = - 1,5- (- 2,5) = 0,75
	VËy hai sè a, b cÇn t×m ®Ó lËp ®­îc
	a - b = a : b = a( a+ b) lµ: a = - 2,25; b = 0,75
Bµi 20: Cã 16 tê giÊy mµu lo¹i 2.000 ®ång; 5.000 ®ång vµ 10.000 ®ång trÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê?
Gi¶i:
 Gäi sè tê giÊy b¹c lo¹i 2.000; 5.000; 10.000 theo thø tù lµ x, y, z (x, y, z N)
Theo ®Ò bµi ta cã: x + y + z = 16 vµ 2000x = 5000y = 10000z
BiÕn ®æi: 2000x = 5000y = 10000z
	Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng nhau
	Suy ra x = 2.5 = 10; y = 2.2 = 4; z = 2.1 = 2
	VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 2.000®; 5.000®; 10.000® theo thø tù lµ: 10; 4; 2.
Bµi 21:
a. BiÕt y tØ lÖ thuËn víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ 3
x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ 15, Hái y tØ lÖ thuËn hay nghÞch víi z? HÖ sè tØ lÖ?
b. BiÕt y tØ lÖ nghich víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ a, x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ 6. Hái y tØ lÖ thuËn hay nghÞch víi z? HÖ sè tØ lÖ?
Gi¶i:
a. y tØ lÖ thuËn víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ 3 nªn: y = 3x (1)
 x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ 15 nªn x . z = 15 x = (2)
 Tõ (1) vµ (2) suy ra: y = . VËy y tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ 45.
b. y tØ lÖ nghÞch víi x, hÖ sè tØ lÖ lµ a nªn y = (1)
 x tØ lÖ nghÞch víi z, hÖ sè tØ lÖ lµ b nªn x = (2)
 Tõ (1) vµ (2) suy ra y = 
	VËy y tØ lÖ thuËn víi z theo hÖ sè tØ lÖ .
Bµi 22: 
a. BiÕt x vµ y tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 5 vµ x . y = 1500. T×m c¸c sè x vµ y.
b. T×m hai sè x vµ y biÕt x vµ y tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 2 vµ tæng b×nh ph­¬ng cña hai sè ®ã lµ 325.
Gi¶i:
a. Ta cã: 3x = 5y 
 mµ x. y = 1500 suy ra 
	Víi k = 150 th× vµ 
	Víi k = - 150 th× vµ 
b. 3x = 2y 
x2 + y2 = mµ x2 + y2 = 325
suy ra 
Víi k = 30 th× x = 
Víi k = - 30 th× x = 
Bµi 23: Häc sinh líp 9A chë vËt liÖu ®Ó x©y tr­êng. NÕu mçi chuyÕn xe bß chë 4,5 t¹ th× ph¶i ®i 20 chuyÕn, nÕu mçi chuyÕn chë 6 ta th× ph¶i ®i bao nhiªu chuyÕn? Sè vËt liÖu cÇn chë lµ bao nhiªu?
Gi¶i:
Khèi l­îng mçi chuyÕn xe bß ph¶i chë vµ sè chuyÕn lµ hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch (nÕu khèi l­îng vËt liÖu cÇn chuyªn chë lµ kh«ng ®æi)
Mçi chuyÕn chë ®­îc	 Sè chuyÕn
	4,5t¹	20
	6t¹	x?
Theo tØ sè cña hai ®¹i l­îng tØ lÖ nghÞch cã thÓ viÕt 
	 (chuyÕn)
VËy nÕu mçi chuyÕn xe chë 6 t¹ th× cÇn ph¶i chë 15 chuyÕn.
Bµi 24: C¹nh cña ba h×nh vu«ng tØ lÖ nghÞch víi 5 : 6 : 10. Tæng diÖn tÝch ba h×nh vu«ng vµ 70m2. Hái c¹nh cña mçi h×nh vu«ng Êy cã ®é dµi lµ bao nhiªu?
Gi¶i: Gäi c¸c c¹nh cña ba h×nh vu«ng lÇn l­ît lµ x, y, z.
TØ lÖ nghÞch víi 5 : 6 : 10
Th× x, y, z tØ lÖ thuËn víi 
Tøc lµ: 
x2 + y2 + z2 = 
VËy c¹nh cña mçi h×nh vu«ng lµ: x = (cm); (cm)
 (cm)