Giáo án Dạy thêm Toán Lớp 7 - Buổi 12: Ôn tập Chương IX - Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

Ngày soạn: /./ ..
Ngày dạy:./../ 
BUỔI 12 : ÔN TẬP CHƯƠNG IX: QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG MỘT TAM GIÁC
Thời gian thực hiện: 3 tiết
I. MỤC TIÊU:
1. Về kiến thức: 
- Ôn tập, củng cố các kiến thức về quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác.
-Vận dụng được các kiến thức đã học vào bài toán cụ thể, bài toán thực tế.
2. Về năng lực: Phát triển cho HS:
- Năng lực chung:
+ Năng lực tự học: HS hoàn thành các nhiệm vụ được giao ở nhà và hoạt động cá nhân trên lớp.
+ Năng lực giao tiếp và hợp tác: thông qua hoạt động nhóm, HS biết hỗ trợ nhau; trao đổi, thảo luận, thống nhất ý kiến trong nhóm để hoàn thành nhiệm vụ.
+ Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo:
- Năng lực đặc thù:
+ Năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực tính toán: thông qua các bài tính toán, chứng minh
+ Năng lực giao tiếp toán học: thông qua các thao tác chuyển đổi ngôn ngữ từ đọc sang viết tập hợp, kí hiệu tập hợp; 
3. Về phẩm chất: bồi dưỡng cho HS các phẩm chất:
 - Chăm chỉ: thực hiện đầy đủ các hoạt động học tập và nhiệm vụ được giao một cách tự giác, tích cực.
 - Trung thực: thật thà, thẳng thắn trong báo cáo kết quả hoạt động cá nhân và hoạt động nhóm, trong đánh giá và tự đánh giá.
 - Trách nhiệm: hoàn thành đầy đủ và có chất lượng các hoạt động học tập.
II. THIẾT BỊ DẠY HỌC VÀ HỌC LIỆU:
1. Giáo viên:  
- Thước thẳng, máy chiếu.
- Phiếu bài tập cho HS.
2. Học sinh: Vở ghi, đồ dùng học tập.
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC:
Tiết 1:
HOẠT ĐỘNG 1: MỞ ĐẦU
a) Mục tiêu:
+ Gây hứng thú và tạo động cơ học tập cho HS.
+ Hs làm được các bài tập về số hữu tỉ: 
b) Nội dung: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu.
c) Sản phẩm: Ghi nhớ khái niệm, ký hiệu, cách biểu diễn trên trục số và tìm được một số hữu tỉ bằng số hữu tỉ đã cho.
d) Tổ chức thực hiện:
Kiểm tra trắc nghiệm – Hình thức cá nhân trả lời.
Kiểm tra lí thuyết bằng cách trả lời các câu hỏi trắc nghiệm
BÀI KIỂM TRA TRẮC NGHIỆM ĐẦU GIỜ
Câu 1: Cho có tù, khẳng định nào sau đây là đúng:
A. 	B. 
C. 	 	D.
Câu 2: Bộ ba số đo đoạn thẳng nào sau đây không là độ dài ba cạnh của tam giác?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 3: Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường:
A: trung trực	B: trung tuyến	C. đường cao	D. phân giác
Câu 4: Cho có đường trung tuyến (). Gọi là trọng tâm của tam giác, khi đó độ dài bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 5: Cho là một điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng , biết . Độ dài đoạn thẳng là: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 6: Vịnh Hạ Long là một trong bày kì quan thiên nhiên cùa thế giới, giả sử 3 hòn núi đá tạo thành một1 tam giác, người ta muốn xây dựng một cột đèn để chiếu sáng cả ba hòn núi trên sao cho cột đèn cách đều 3 điểm được đánh dấu trên hòn núi đá. Khi đó vị trí cột đèn sẽ nằm ở:
A. Trọng tâm của tam giác.	 B. Trực tâm cùa tam giác.
C. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác. D. Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giảc.
Câu 7: Cho cân tại , có . Số đo góc là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8: Cho cân ở . Đường phân giác và trung tuyến cắt nhau tại . Đường thẳng :
A. chứa phân giác trong đỉnh 	B. chứa trung tuyến kẻ từ 
C. chứa đường cao kẻ từ 
Câu 9: có vuông góc với ( nằm giữa và ). Chọn phát biểu sai:
A. Nếu thì 	B. Nếu thì 
C. Nếu thì 	D. Nếu thì 
Câu 10: Cho có , . Đường trung trực của cắt cạnh tại . Số đo góc là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Kết quả bài tập trắc nghiệm
Câu 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
Câu 8
Câu 9
Câu 10
D
A
D
C
B
D
A
B
C
B
Hoạt động của GV và HS
Sản phẩm cần đạt
Bước 1:GV giao nhiệm vụ:
NV1: Hoàn thành bài tập trắc nghiệm đầu giờ.
NV2. Nhắc lại kiến thức trọng tâm
Bước 2: Thực hiên nhiệm vụ: 
- Hoạt động cá nhân trả lời.
Bước 3: Báo cáo kết quả
NV1: HS giơ bảng kết quả trắc nghiệm.
(Yêu cầu 2 bạn ngồi cạnh kiểm tra kết quả của nhau)
NV2: HS đứng tại chỗ báo cáo
Bước 4: Đánh giá nhận xét kết quả
- GV cho HS khác nhận xét câu trả lời và chốt lại kiến thức.
- GV yêu cầu HS ghi chép kiến thức vào vở
I. Lý thuyết
1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác: Trong DABC: 
 2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu của nó.
3. Mối quan hệ giữa ba cạnh của tam giác: 
Trong :
4. Các đường đồng quy trong tam giác:
- Tính chất ba đường trung tuyến
- Tính chất ba đường phân giác
- Tính chất ba đường trung trực
- Tính chất ba đường cao
B. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
Hoạt động 3.1: Dạng 1: Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
a) Mục tiêu: Vận dụng các kiến thức về quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác
b) Nội dung: Bài 1,2,3
c) Sản phẩm: Chứng minh các tam giác, các cạnh bằng nhau, tính độ dài của cạnh, chứng minh các bất đẳng thức.
d) Tổ chức thực hiện:
Hoạt động của GV và HS
Sản phẩm cần đạt
Bước 1: Giao nhiệm vụ 1
- GV cho HS đọc đề bài 3.
H1: Để chứng minh cân ta chứng minh cái gì?
b) H2: Chứng minh lớn hơn hay nhỏ hơn nghĩ đến kiến thức gì?
H3: Ba cạnh đã cùng thuộc 1 tam giác chưa?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài, vẽ hình và suy nghĩ làm bài.	
Đ1: HS: Chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau.
Đ2: Bất đẳng thức tam giác
Đ3: Chưa, Phải đưa về cùng 1 tam giác.
- Hoạt động cá nhân 
b) 
 , 
, , BĐT 
, cân tại 
,là cạnh chung, 
Bước 3: Báo cáo kết quả
- 1 HS lên bảng trình bày, các HS còn lại trình bày vào vở .
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm trên bảng và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức tam giác
Bài 1: Cho , phân giác . Qua kẻ đường thẳng song song với cắt ở , qua kẻ đường thẳng song song với cắt ở . Chứng minh 
a) cân.
b) .
Bài làm
a) Do (GT) (2 góc so le trong)
Mà (do phân giác )
 cân tại .
b) * Do (GT) (2 góc so le trong)
Do (GT) (2 góc so le trong)
* Xét và có:
(cmt)
là cạnh chung
(cmt)
(gcg)
 (2 cạnh tương ứng) 	
Mà cân tại (câu a) 
* Xét có (theo bất đẳng thức tam giác)
(do - cmt)
Vậy . 
Bước 1: Giao nhiệm vụ 2
- GV cho HS đọc đề bài 2
H1: Đề bài yêu cầu chứng minh lớn hơn nghĩa là nghĩ đến kiến thức gì?
Gợi ý: Phải đưa về cùng 1 tam giác nào?
=? hay =?
Vẽ thêm hình
H 2: Tạo ra bằng độ dài của cạnh nào đó?
- GV yêu cầu HS làm bài 
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài 1	
Đ1: Bất đẳng thức tam giác.
Đ2: Trên lấy điểm sao cho 
Khi đó 
- HS hoạt động cá nhân làm bài 4
,, 
 BĐT 
, , là cạnh chung
cách vẽ gt
Bước 3: Báo cáo kết quả
- 1 HS lên bảng trình bày bài làm và các HS khác làm vào trong vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập. Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức tam giác (cụ thể là hiệu)
Bài 2: Cho có . Tia phân giác của cắt ở . Trên đoạn thẳng lấy điểm bất kì. Chứng minh .
Bài làm
Trên lấy điểm sao cho 
* Xét và có:
 (theo cách vẽ)
 (gt) 
là cạnh chung
(cgc)
 (2 cạnh tương ứng)
* Xét có (BĐT tam giác)
* Mà (do ), 
.
Vậy .
Tiết 2: 
Hoạt động 3.2: Dạng 2: Các đường đồng quy của tam giác.
a) Mục tiêu: Vận dụng các đường đồng quy của tam giác. 
b) Nội dung: Bài 3, 4
c) Sản phẩm: Chứng minh các tam giác, các cạnh bằng nhau, tính độ dài của cạnh, chứng minh các bất đẳng thức.
d) Tổ chức thực hiện:
Hoạt động của GV và HS
Sản phẩm cần đạt
Bước 1: Giao nhiệm vụ 3
- GV cho HS đọc đề bài 5 và vẽ hình
H1: Em hãy nêu các yếu tố để 
H2: Nêu cách chứng minh cân
H3: Nêu các cách so sánh và .
H4: Nêu các cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng
- GV yêu cầu HS làm bài.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài 5 và vẽ hình
Đ1: HS trả lời
Đ2: 
C1: Chứng minh 
C2: Chứng minh 
Đ3: So sánh: và , chứng minh .
Đ4: d) thẳng hàng
 , 
 là trực tâm => 
I là trọng tâm của cân tại 
của => 
Bước 3: Báo cáo kết quả
- 1 HS lên bảng trình bày bài làm câu a, 2 hs lên làm câu b mỗi hs làm một cách xem cách nào ngắn và dễ hiểu hơn, hs làm cá nhân ý c, d các HS khác làm vào trong vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ:
1. Tính chất của tam giác cân.
2. Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác.
3. Tính chất ba đường cao cảu tam giác
Bài 3. Cho cân tại (). Có các đường cao và cắt nhau tại .
a) Chứng minh .
b) Chứng minh là tam giác cân.
c) So sánh và .
d) Gọi là trung điểm của , là trung điểm của , là giao điểm của và . Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.
Bài làm
a) Xét vuông tại và vuông tại có:
 (cân tại )
 góc chung
Vậy (cạnh huyền – góc nhọn)
b) Vì (cmt) nên: (hai cạnh tương ứng)
Suy ra cân tại => (hai góc ở đáy của tam giác cân) (1)
Mà: (2)
Từ (1, 2) ta có: => cân tại .
c) 
Vì (cmt) nên: (hai cạnh tương ứng) (3)
Vì cân tại nên (4)
Mà (5)
Từ (3, 4, 5) ta có: (6)
Xét vuông tại có: (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) (7)
Từ (6, 7) ta có: 
d) Có (cmt) nên cân tại , là đường trung tuyến cắt nhau tại của nên nằm trên đường trung tuyến ứng với cạnh do đó: (8)
Mà là trực tâm của nên (9)
Từ (8, 9) suy ra 3 điểm thẳng hàng
Bước 1: Giao nhiệm vụ 4
- GV cho HS đọc đề bài 5 và vẽ hình
a) H1: theo trường hợp nào?
b) H2: Để chứng minh là trực tâm của ta phải chỉ ra điều gì?
H3: Có sẵn đường cao nào?
H4: Tìm đường cao thứ 2?
c) H5: đã là 3 cạnh của một tam giác chưa?
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài 5 và vẽ hình
Đ 1: cgc
Đ 2: là giao điểm của hai đường cao.
Đ 3: Đường cao 
Đ 4: Đường cao 
Đ 5: Chưa, phải tìm các cạnh bằng nhau để về cùng tam giác 
b) là trực tâm của .
 là đường cao của 
 là đường cao của 
 , 
 vuông tại , 
 gt 
 (cgc)
, , 
gt 	 đối đỉnh
c) 
, 
 BĐT 
Bước 3: Báo cáo kết quả
- Hs làm cá nhân ý a vào vở. Sau đó tiếp tục lên làm ý b, ý c.
- Hs dưới làm vào vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ:
1. Bất đẳng thức tam giác.
2. Tính chất 3 đường cao của tam giác.
Bài 4: Cho vuông tại (). Vẽ tại . Trên tia đối của tia lấy điểm sao cho .
a) Chứng minh 
b) Trên lấy điểm sao cho . Chứng minh là trực tâm của 
c) Chứng minh .
Bài làm
a) (cgc)
b) Xét và có:
(gt)
 (2 góc đối đỉnh)
 (GT)
 (cgc)
 (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên lại có (do vuông tại ) 
* Xét có 2 đường cao là (do , ) cắt nhau tại 
là trực tâm của .
Vậy là trực tâm của .
c) * Chứng minh tương tự ta có 
 (cgc)
 (2 cạnh tương ứng)
* Xét có (Bất đẳng thức tam giác)
mà (cmt)
Vậy .
Tiết 3: Dạng toán tổng hợp cao và thực tế.
a) Mục tiêu: Vận dụng quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các đường đông quy của tam giác vào giải quyết các bài toán thực tế.
b) Nội dung: Bài 5, 6, 7.
c) Sản phẩm: Điểm cách đều các địa điểm, Tính khoảng cách,.
d) Tổ chức thực hiện:
Hoạt động của GV và HS
Sản phẩm cần đạt
Bước 1: Giao nhiệm vụ 5
- GV cho HS đọc đề bài và vẽ hình
a) H1: theo trường hợp nào?
b) H2: Để chứng minh tam giác cân có mấy cách?
c) H3: Tỉ số gợi nhớ đến kiến thức gì?
H4: không cùng nằm trên đường trung tuyến thì làm thế nào?
d)H5: Em hãy cho biết chu vi của tính như thế nào?
Gợi ý: Chứng minh lớn hơn thì dùng bất đẳng thức tam giác, có số 3 nhớ đến tính chất trọng tâm trong tam giác.
-GV yêu cầu HS làm bài.
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài 4 và vẽ hình
Đ1: cgc.
Đ2: Có 3 cách: chứng minh 2 cạnh bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc bằng nhau, hoặc chứng minh 1 đường vừa là trung tuyến vừa là phân giác...
Đ3: Kiến thức trọng tâm trong tam giác.
Đ4: Chứng minh 
 và 
Đ 5: Chu vi của tam giác bằng tổng 3 cạnh của tam giác.
c) 
, 
, là trọng, 
(cgc) tâm của là tt
 là tt, là tt,là tđ 
 cân tại	
là đường pg 	 
 , 
 cân ở , cân ở 
	câu b 
 , 
 cân tại 
 câu b
d) 
, 
, 	
 là đường cao
của 
, 
cmt 
 , 
 , là trọng
 tâm của 
- HS hoạt động cá nhân làm bài 
Bước 3: Báo cáo kết quả
- HS1 lên bảng trình bày câu a đồng thời HS 2 làm câu b
- Sau đó HS lên làm câu c rồi đến câu d.
- Các HS khác làm vào trong vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ:
1. Bất đẳng thức tam giác.
2. Tính chất của tam giác cân.
3. Tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác.
Bài 5: Cho cân tại , vẽ phân giác của ()
a) Chứng minh: .
b) Gọi là trung điểm của . Qua vẽ đường thẳng vuông góc với , đường thẳng này cắt tại . Chứng minh: cân tại .
c) Gọi là giao điểm của và , là trung điểm của . Chứng minh .
d) Chứng minh chu vi lớn hơn .
Bài làm
a) Xét và có:
(do cân tại )
(gt)
là cạnh chung
(cgc)
b) Xét có vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến (do là trung điểm của và - gt)
 cân tại (theo tính chất của tam giác cân).
c) * Xét cân tại có là đường phân giác (gt) 
vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao (theo tính chất của tam giác cân).
* Vì cân tại (cmt) nên 
Mà 
 cân tại 
Lại có cân tại (cmt) 
là trung điểm của là đường trung tuyến. 
* Xét có là 2 đường trung tuyến cắt nhau tại (cmt)
 là trọng tâm của .
Mặt khác là đường trung tuyến của (do là trung điểm của )
thẳng hàng.
* Chứng minh tương tự ta có: (cgc) (2 cạnh tương ứng)
Theo trên có là trọng tâm của (theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác)
 (đpcm)
d) * Chu vi là:
 (do , là trung điểm của )
* Do là trọng tâm của (theo tính chất 3 đường trung tuyến của tam giác) và (cmt)
* Vì là đường cao của nên (1)
* Xét có (theo bất đẳng thức tam giác)
 (2) 
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
Khi đó hay chu vi lớn hơn .
Bước 1: Giao nhiệm vụ 6
- GV cho HS đọc đề bài và quan sát vẽ hình
H1: Nhắc lại bất đẳng thức với ?
Gv: Thay số vào để chặn .
-GV yêu cầu HS làm bài 
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài 5 và vẽ hình
Đ1: 
Đ 2: 
- HS hoạt động cá nhân làm bài.
Bước 3: Báo cáo kết quả
- 1 HS lên bảng trình bày bài làm và các HS khác làm vào trong vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ: Bất đẳng thức tam giác.
Bài 6. Ba thành phố ở ba địa điểm A, B, C không thẳng hàng như hình vẽ biết 
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b) Cũng hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính bằng .
Bài làm
Xét có: 
a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động thì thành phố B không nhận được tín hiệu vì .
b) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động thì thành phố B nhận được tín hiệu vì .
Bước 1: Giao nhiệm vụ 7
- GV cho HS đọc đề bài và quan sát vẽ hình minh họa: 
H1: Nếu đỗ “thẳng” chiều dài của xe được minh họa bằng đoạn thẳng nào
H2: Nếu đỗ “chéo” chiều dài của xe được minh họa bằng đoạn thẳng nào
H3: So sánh các độ dài đó với độ rộng của đường
- GV yêu cầu HS làm bài 
Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ
- HS đọc đề bài và vẽ hình
Đ1: Độ dài AC
Đ2: Độ dài đoạn AB
- HS hoạt động cá nhân làm bài.
Bước 3: Báo cáo kết quả
- 1 HS lên bảng trình bày bài làm và các HS khác làm vào trong vở.
Bước 4: Đánh giá kết quả
- GV cho HS nhận xét bài làm của HS và chốt lại một lần nữa cách làm của dạng bài tập.
- Kiến thức cần nhớ: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên
Bài 7: Tại các trung tâm thương mại hoặc hầm gửi xe của các khu chung cư, những chỗ đậu xe ô tô thường được ngăn bởi các vạch kẻ xiên (hình vẽ). Điều này khiến các ô tô, xe máy phải đỗ “chéo” và do đó giúp cho lối đi lại quanh khu đỗ xe được rộng hơn. Hãy giải thích.
Bài làm:
Giả sử bãi đỗ xe được giới hạn bở hai đường thẳng m và n. Vị trí của xe ô tô khi đỗ “chéo” được minh họa bởi đường thẳng AB, vị trí ô tô khi đỗ “vuông góc” được minh họa bởi đoạn thẳng AC. Trong trường hợp thứ nhất, khoảng cách từ đuôi xe đến vạch kẻ là độ dài đường vuông góc BH kẻ từ B đến đường thẳng m. Trong trường hợp hai khoảng cách từ đuôi xe đến vạch kẻ là độ dài đoạn thẳng AB. Vì AC = AB (cùng bằng chiều dài thân xe) và AB > BH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) nên AC > BH. Do đó, nếu ô tô đỗ “chéo” thì khoảng không gian dành cho việc đi lại giữa hai vạch kẻ m và n sẽ rộng hơn.
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
- Yêu cầu HS nắm vững kiến thức đã học trong buổi ôn tập.
- Ghi nhớ dạng và phương pháp giải các dạng toán đã học. Làm các bài tập sau:
 BÀI TẬP GIAO VỀ NHÀ
Bài 1: Cho vuông tại , vẽ đường phân giác (). Từ kẻ ()
a) Chứng minh: là đường trung trực của .
b) Gọi là giao điểm của tia và . Chứng minh: 
c) Chứng minh: .
Bài 2: Cho vuông tại . Vẽ đường phân giác (). Trên cạnh lấy điểm sao cho . Gọi giao điểm của và là . Chứng minh: .
Bài 3: Cho có . Trên cạnh lấy điểm sao cho . Vẽ đường phân giác của cắt tại . Chứng minh là đường trung trực của .
Bài 4:
Bạn Hoa có một chiếc bát ăn cơm. Hoa muốn xác định bán kính của miệng bát chỉ bằng cách sử dụng các dụng cụ vẽ hình quen thuộc (thước kẻ có vạch chia, ê ke và bút chì). Hỏi Hoa nên mà như thế nào? 
Hướng dẫn giải BTVN
Bài 1: 
a) Xét và có:
(do gt và )
(gt)
là cạnh chung
(cạnh huyền – góc nhọn)
, (2 cạnh tương ứng) 
 thuộc đường trung trực của và thuộc đường trung trực của 
(theo tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)
Khi đó là đường trung trực của .
b) Xét và có:
 (do gt và ); là cạnh chung; (2 góc đối đỉnh)
 (g – c – g) (2 cạnh tương ứng) 
mà Hay 
 * Xét và có:
 (cmt); (gt); là cạnh chung
(cgc)
c) Vì vuông tại () nên là cạnh huyền nên 
 Mà , 
Cộng vế với vế ta được: 
Bài 2:
* Xét và có:
(gt); (gt); chung
 (c – g – c) (2 góc tương ứng)
Mà (gt) nên 
* Xét có 2 đường cao là (do , ) cắt nhau tại là trực tâm của 
 là đường cao của .
Vậy .
Bài 3:
* Xét có 
Mà 
* Xét có là góc ngoài tại đỉnh 
Khi đó 
 cân tại thuộc đường trung trực của . (1)
* Xét và có:
 (cmt); (gt); chung
 (cgc)
 (2 cạnh tương ứng) thuộc đường trung trực của . (2)
Từ (1) và (2) là đường trung trực của . 
Vậy thuộc đường trung trực của .
Bài 4: Đặt miệng bát lên mặt tờ giấy và dùng bút chì vẽ quanh miệng bát đêt nhận được một đường tròn đúng bằng miệng bát. Trên đường trong vừa vẽ, chọn ba điểm bất kì và xác định giao điểm của ba đường trung trực của tam giác tạo bởi ba điểm đó. Khoảng cách từ giao điểm này đến một trong ba điểm đã chọn bằng đúng bán kính của miệng bát.